Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[turistas]

Έστω συνάρτηση f ορισμενη και συνεχης [0,1] με f(0)=f(1).
(i)Να βρεις το πεδιο ορισμου της συναρτησης g(x)=f(x)-f(x+1/3)
(ii)Υπολογισε την τιμη του αθροισματος g(0)+g(1/3)+g(2/3)
(iii)Να δειξεις οτι η εξισωση f(x)=f(x+1/3) εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [0,1)
Μπορει καποιος να με βοηθησει στο iii?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Έστω συνάρτηση f ορισμενη και συνεχης [0,1] με f(0)=f(1).
(i)Να βρεις το πεδιο ορισμου της συναρτησης g(x)=f(x)-f(x+1/3)
(ii)Υπολογισε την τιμη του αθροισματος g(0)+g(1/3)+g(2/3)
(iii)Να δειξεις οτι η εξισωση f(x)=f(x+1/3) εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [0,1)
Μπορει καποιος να με βοηθησει στο iii?

(i) 0<=x<=1 και 0<=x+(1/3)<=1 => -(1/3)<=x<=2/3. Από την συναλήθευση των ανισοτήτων προκύπτει 0<=x<=2/3. Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το [0, 2/3] και η g είναι συνεχής σε αυτό επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1].

(ii) g(0)+g(1/3)+g(2/3)=f(0)-f(1/3)+f(1/3)-f(2/3)+f(2/3)-f(1)=f(0)-f(1)=0 αφού f(0)=f(1)

(iii) Αν g(0)=0 ή g(1/3)=0 ή g(2/3)=0 τότε το 0 ή το 1/3 ή το 2/3 αντίστοιχα αποτελεί ρίζα της εξίσωσης g(x)=0 και ανήκουν στο διάστημα [0,2/3].

Θα εξεταστεί η περίπτωση κανένα από αυτά να μην είναι μηδέν

α. Αν g(0)>0 και g(1/3)>0 τότε g(2/3)=-g(0)-g(1/3)<0 οπότε g(1/3)g(2/3)<0
β. Αν g(0)>0 και g(2/3)>0 τότε g(1/3)=-g(0)-g(2/3)<0 οπότε g(0)g(1/3)<0 και g(1/3)g(2/3)<0
γ. Αν g(1/3)>0 και g(2/3)>0 τότε g(0)=-g(1/3)-g(2/3)<0 οπότε g(0)g(1/3)<0
δ. Αν g(0)<0 και g(1/3)<0 τότε g(2/3)=-g(0)-g(1/3)>0 οπότε g(1/3)g(2/3)<0
ε. Αν g(0)<0 και g(2/3)<0 τότε g(1/3)=-g(0)-g(1/3)>0 οπότε g(0)g(1/3)<0 και g(1/3)g(2/3)<0
στ. Αν g(1/3)<0 και g(2/3)<0 τότε g(0)=-g(1/3)-g(2/3)>0 οπότε g(0)g(1/3)<0
ζ. Αν g(0)>0 και g(1/3)<0 ή g(0)<0 και g(1/3)>0 τότε g(0)g(1/3)<0
η. Αν g(0)>0 και g(2/3)<0 ή g(0)<0 και g(2/3)>0 τότε g(0)g(2/3)<0
θ. Αν g(1/3)>0 και g(2/3)<0 ή g(1/3)<0 και g(2/3)>0 τότε g(1/3)g(2/3)<0

Αν g(0), g(1/3) και g(2/3) διάφορα του μηδενός τότε σε κάθε περίπτωση όπως αποδείχτηκε υπάρχουν τουλάχιστον δύο x1, x2 τέτοια ώστε 0<=x1<x2<=2/3 ώστε g(x1)g(x2)<0 και επειδή η g είναι συνεχής στο [x1, x2], τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (x1,x2) γνήσιο υποσύνολο του [0,2/3] γνήσιο υποσύνολο του [0,1) ώστε να ισχύει g(x0)=0

Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο [0, 2/3] ώστε g(x0)=0 => f(x0)=f(x0+1/3).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[NoName]

παιδια βοηθεια σε μια ασκηση...δεν μου βγαινει...Εστω μια συναρτηση φ(χ)=χ*-1..... Να προσδιορισετε αν υπαρχει σημειο οτυ διαγραμματος της φ τετοιο ωστε η εφαπτομενη στο σημειο αυτο α)να ειναι παραλληλη προς την ευθεια ψ=2χ-1 β)να ειναι παραλληλη προς τον αξονα χ'χ γ)να σχηματιζει γωνια π/4 με τον αξονα χ'χ δ)να διερχεται απο το σημειο Α(1,-1)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αντώνης]

παιδια βοηθεια σε μια ασκηση...δεν μου βγαινει...Εστω μια συναρτηση φ(χ)=χ*-1..... Να προσδιορισετε αν υπαρχει σημειο οτυ διαγραμματος της φ τετοιο ωστε η εφαπτομενη στο σημειο αυτο α)να ειναι παραλληλη προς την ευθεια ψ=2χ-1 β)να ειναι παραλληλη προς τον αξονα χ'χ γ)να σχηματιζει γωνια π/4 με τον αξονα χ'χ δ)να διερχεται απο το σημειο Α(1,-1)

Θα βρεις την παράγωγο της φ.
α) δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν τους ίδιους συντελεστές διεύθυνσης (λύνεις την εξίσωση της ευθείας ως προς υ και ο συντελεστής του χ είναι το λ), ίδια λ αν προτιμάς από πέρυσι. Φέτος μάθαμε πως η παράγωγος του Xo όπου Xo η τετμημένη του σημείου της γραφικής παράστασης της φ, πχ του A(Χο,φ(Χο)), δείχνει τον συντελεστή δίυθυνσης της εφαπτομένης της γραφ, παράστασης της φ στο σημείο Α. Για να υπάρχει τέτοια εφαπτομένη αρκεί να υπάρχει σημείο Xo ώστε φ'(Χο)=λε, όπου λε ο συντελεστής της ζητούμενης ευθείας.
β)μια ευθεία είναι παράλληλη στον χ'χ όταν έχει λ=0.
Όμοια θα πηγαίνουν τα υπόλοιπα.

=================-======================-===============

Παραθέτω την παρακάτω άσκηση για να λυθεί χωρίς αντιπαραγωγίσεις, διότι μας έδειξε έναν άλλο τρόπο ο καθηγητής μου που πραγματικά με εντυπωσίασε και θα ήθελα να σας "δώσω" την ευκαιρία να τη σκεφτείτε.

Αν
να δείξετε πως f(x)=(x+1)lnx. Τα παραπάνω για χ>0.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[NoName]

ευχαριστω πολυ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Gver]

καμια ιδεα για αυτην εδω?
δινονται πολ/μα Π(Ζ)=αΖ^2+βΖ+γ
Φ(Ζ)=αΖ^2+βΖ+γ-δ και σ(Ζ)=αΖ+(β^2-4αγ)^(1/2)Ζ+δ με α.β.γ.δ πραγμ και το υπορριζο μεγαλυτερο η ισο του μηδενος
δειξτε οτι |Π(Χ+Ψi)|=|Φ(Χ)+σ(Ψi)|

Παραθέτω την παρακάτω άσκηση για να λυθεί χωρίς αντιπαραγωγίσεις, διότι μας έδειξε έναν άλλο τρόπο ο καθηγητής μου που πραγματικά με εντυπωσίασε και θα ήθελα να σας "δώσω" την ευκαιρία να τη σκεφτείτε.

Αν
να δείξετε πως f(x)=(x+1)lnx. Τα παραπάνω για χ>0.

Αντιπαραγωγιση εννοεις ολοκληρωση?ο αλλος τροπος παιζει κατι με ορια(με τον ορισμο της παραγωγου κλιμακωτα?)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[infamous]

εστω φ:[α,β]->R μια συνεχης συναρτηση. αν α,β οι ριζες της εξισωσης 3χ^2-4000χ+2001=0 να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον ξε[α,β] τετοιο ωστε να ισχυει :
α*φ[(2α+β)/3]+[(α+β)/2]*φ[(α+β)/2]+β*φ[(α+2β)/3]=2000*φ(ξ)

καμια ιδεα? εγω λεω α+β=4000/3 και τα λυνω ως προς α ολα και μετα δεν γινεται τιποτα...

α και αν φ(2)=3 και φ(αντιστροφης)(2)=3 τοτε μπορω να πω οτι φ(3)=2 και φ(αντιστροφης)(3)=2 κατευθειαν χωρις δηλαδη να αποδειξω κατι και να πω μετα οτι αρα αφου φ(2)>φ(3) αρα φθινουσα και
φ(αντ)(2)>φ(αντ)(3) αρα φθινουσα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Αφού οι α,β είναι ρίζες της εξίσωσης από τύπους vieta είναι . Οπότε . Εφαρμόζεις τώρα την κλασσική τεχνική που ακολουθείται σε τέτοιες ασκήσεις, δηλαδή Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής + θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τελείωσες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Χαρουλιτα]

Θα ηθελα οποιος μπορει να λυσει αναλυτικα την Ασκηση 3 (Β ομαδας) Σελιδα 257 του σχολικου βιβλιου...
Εχουν σχηματιστει καποιες εντονες διαφωνιες!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antwwwnis]

Θα ηθελα οποιος μπορει να λυσει αναλυτικα την Ασκηση 3 (Β ομαδας) Σελιδα 257 του σχολικου βιβλιου...
Εχουν σχηματιστει καποιες εντονες διαφωνιες!!!

υ=S'(t)
a=S''(t)
i) S'(t)=0 ...
ii)S'(t)>0 και S'(t)<0...
iii)S''(t)>0 και S''(t)<0...
Οι λύσεις να ανήκουν στο κλειστό [0,5]
Που προβληματίζεστε;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Χαρουλιτα]

Για το τριτο ερωτημα, υποστηριζεται το οτι για να αυξανεται η ταχυτητα δεν ειναι παντα επιταχυνομενη κινηση (αυξανεται η επιταχυνση) και για να μειωνεται δεν ειναι παντα επιβραδυνομενη (ελαττωνεται η επιταχυνση)...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Πιστευω πως αν η ταχητυτα αυξανεται, τοτε εχουμε επιταχυνομενη κινηση του σωματος .Ισως οχι παντα ομαλα επιταχυνομενη αλλα επιταχυνόμενη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[JaneWin]

Για το τριτο ερωτημα, υποστηριζεται το οτι για να αυξανεται η ταχυτητα δεν ειναι παντα επιταχυνομενη κινηση (αυξανεται η επιταχυνση) και για να μειωνεται δεν ειναι παντα επιβραδυνομενη (ελαττωνεται η επιταχυνση)...

Η ταχύτητα αυξάνεται,όταν η συνάρτηση της ταχύτητας ως προς τον χρόνο είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή η επιτάχυνση,που είναι η παράγωγός της,είναι θετική.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[infamous]

Αφού οι α,β είναι ρίζες της εξίσωσης από τύπους vieta είναι . Οπότε . Εφαρμόζεις τώρα την κλασσική τεχνική που ακολουθείται σε τέτοιες ασκήσεις, δηλαδή Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής + θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τελείωσες.

στο τελος πρεπει να πω αν Μ=m και αν m<M?και τι γινεται σε καθε περιπτωση?
για μια αλλη ασκηση αυτο ισχυει?: αν φ(2)=3 και φ(αντιστροφης)(2)=3 τοτε μπορω να πω οτι φ(3)=2 και φ(αντιστροφης)(3)=2 κατευθειαν χωρις δηλαδη να αποδειξω κατι και να πω μετα οτι αρα αφου φ(2)>φ(3) αρα φθινουσα και
φ(αντ)(2)>φ(αντ)(3) αρα φθινουσα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vimaproto]

Θα ηθελα οποιος μπορει να λυσει αναλυτικα την Ασκηση 3 (Β ομαδας) Σελιδα 257 του σχολικου βιβλιου...
Εχουν σχηματιστει καποιες εντονες διαφωνιες!!!

Δες το αρχείο
Νομίζω πως είμαι σαφής

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

στο τελος πρεπει να πω αν Μ=m και αν m<M?και τι γινεται σε καθε περιπτωση?

Δεν χρειάζεται να πάρεις ξεχωριστές περιπτώσεις. Απλά χρησιμοποιείς το σύμβολο

για μια αλλη ασκηση αυτο ισχυει?: αν φ(2)=3 και φ(αντιστροφης)(2)=3 τοτε μπορω να πω οτι φ(3)=2 και φ(αντιστροφης)(3)=2 κατευθειαν χωρις δηλαδη να αποδειξω κατι και να πω μετα οτι αρα αφου φ(2)>φ(3) αρα φθινουσα και
φ(αντ)(2)>φ(αντ)(3) αρα φθινουσα?

οπότε άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα. Εαν βέβαια σου δίνεται ότι είναι γνήσια μονότονη. Εκτός αν δεν κατάλαβα καλά αυτό που έγραψες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Χαρουλιτα]

Οκ, καταλαβα! Ευχαριστω πολυ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[infamous]

Δεν χρειάζεται να πάρεις ξεχωριστές περιπτώσεις. Απλά χρησιμοποιείς το σύμβολο

οπότε άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα. Εαν βέβαια σου δίνεται ότι είναι γνήσια μονότονη. Εκτός αν δεν κατάλαβα καλά αυτό που έγραψες.

ναι αυτο μου δινεται οτι η φ ειναι γνησιως μονοτονη..αλλα παρακατω μου χρειαζετεται να αποδειξω οτι και η αντιστροφη ειναι γνησιως φθινουσα..πως ξερω οτι η αντιστροφη ειναι γνησιως μονοτονη?
α στην προηγουμενη ασκ που ρωτησα πως ξερω οτι ισχυει οτι α< (2α+β)/3<β ? ενταξει αν το λυσω καταληγω οτι α<β που ισχυει..αν δν το κανω αυτο πως το δειχνω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

ναι αυτο μου δινεται οτι η φ ειναι γνησιως μονοτονη..αλλα παρακατω μου χρειαζετεται να αποδειξω οτι και η αντιστροφη ειναι γνησιως φθινουσα..πως ξερω οτι η αντιστροφη ειναι γνησιως μονοτονη?

Θα δείξουμε ότι για κάθε με ισχύει . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε θα υπάρχουν κάποια με και . Όμως εμείς γνωρίζουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα άτοπο. Άρα πράγματι η είναι γνήσια φθίνουσα.

α στην προηγουμενη ασκ που ρωτησα πως ξερω οτι ισχυει οτι α< (2α+β)/3<β ? ενταξει αν το λυσω καταληγω οτι α<β που ισχυει..αν δν το κανω αυτο πως το δειχνω?

Μπορείς κατασκευαστικά αλλά είναι η ίδια σειρά συνεπαγωγών. Δεν γράφω δηλαδή κατι διαφορετικό από αυτό που έκανες
b \Rightarrow \frac{2a+b}{3}<b " />

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostie]

γεια σας και καλη χρονια...

Δινετε η συναρτηση f:R=>R παραγωγισιμη στο 0 με f'(o) διαφορο του 0.
lim(x->0) [f(x) - f(o)* ριζα(χ^2 + 1) ]/[ f(ημχ) -f(0)]

ζηταει αυτο το οριο,δεν μου δινει αλλα δεδομενα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.