Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

turistas · 19-12-11

Έστω συνάρτηση f ορισμενη και συνεχης [0,1] με f(0)=f(1).
(i)Να βρεις το πεδιο ορισμου της συναρτησης g(x)=f(x)-f(x+1/3)
(ii)Υπολογισε την τιμη του αθροισματος g(0)+g(1/3)+g(2/3)
(iii)Να δειξεις οτι η εξισωση f(x)=f(x+1/3) εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [0,1)
Μπορει καποιος να με βοηθησει στο iii?

Civilara · 20-12-11

Αρχική Δημοσίευση από turistas:
Έστω συνάρτηση f ορισμενη και συνεχης [0,1] με f(0)=f(1).
(i)Να βρεις το πεδιο ορισμου της συναρτησης g(x)=f(x)-f(x+1/3)
(ii)Υπολογισε την τιμη του αθροισματος g(0)+g(1/3)+g(2/3)
(iii)Να δειξεις οτι η εξισωση f(x)=f(x+1/3) εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [0,1)
Μπορει καποιος να με βοηθησει στο iii?

(i) 0<=x<=1 και 0<=x+(1/3)<=1 => -(1/3)<=x<=2/3. Από την συναλήθευση των ανισοτήτων προκύπτει 0<=x<=2/3. Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το [0, 2/3] και η g είναι συνεχής σε αυτό επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1].

(ii) g(0)+g(1/3)+g(2/3)=f(0)-f(1/3)+f(1/3)-f(2/3)+f(2/3)-f(1)=f(0)-f(1)=0 αφού f(0)=f(1)

(iii) Αν g(0)=0 ή g(1/3)=0 ή g(2/3)=0 τότε το 0 ή το 1/3 ή το 2/3 αντίστοιχα αποτελεί ρίζα της εξίσωσης g(x)=0 και ανήκουν στο διάστημα [0,2/3].

Θα εξεταστεί η περίπτωση κανένα από αυτά να μην είναι μηδέν

α. Αν g(0)>0 και g(1/3)>0 τότε g(2/3)=-g(0)-g(1/3)<0 οπότε g(1/3)g(2/3)<0
β. Αν g(0)>0 και g(2/3)>0 τότε g(1/3)=-g(0)-g(2/3)<0 οπότε g(0)g(1/3)<0 και g(1/3)g(2/3)<0
γ. Αν g(1/3)>0 και g(2/3)>0 τότε g(0)=-g(1/3)-g(2/3)<0 οπότε g(0)g(1/3)<0
δ. Αν g(0)<0 και g(1/3)<0 τότε g(2/3)=-g(0)-g(1/3)>0 οπότε g(1/3)g(2/3)<0
ε. Αν g(0)<0 και g(2/3)<0 τότε g(1/3)=-g(0)-g(1/3)>0 οπότε g(0)g(1/3)<0 και g(1/3)g(2/3)<0
στ. Αν g(1/3)<0 και g(2/3)<0 τότε g(0)=-g(1/3)-g(2/3)>0 οπότε g(0)g(1/3)<0
ζ. Αν g(0)>0 και g(1/3)<0 ή g(0)<0 και g(1/3)>0 τότε g(0)g(1/3)<0
η. Αν g(0)>0 και g(2/3)<0 ή g(0)<0 και g(2/3)>0 τότε g(0)g(2/3)<0
θ. Αν g(1/3)>0 και g(2/3)<0 ή g(1/3)<0 και g(2/3)>0 τότε g(1/3)g(2/3)<0

Αν g(0), g(1/3) και g(2/3) διάφορα του μηδενός τότε σε κάθε περίπτωση όπως αποδείχτηκε υπάρχουν τουλάχιστον δύο x1, x2 τέτοια ώστε 0<=x1<x2<=2/3 ώστε g(x1)g(x2)<0 και επειδή η g είναι συνεχής στο [x1, x2], τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (x1,x2) γνήσιο υποσύνολο του [0,2/3] γνήσιο υποσύνολο του [0,1) ώστε να ισχύει g(x0)=0

Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο [0, 2/3] ώστε g(x0)=0 => f(x0)=f(x0+1/3).

NoName · 23-12-11

παιδια βοηθεια σε μια ασκηση...δεν μου βγαινει...Εστω μια συναρτηση φ(χ)=χ*-1..... Να προσδιορισετε αν υπαρχει σημειο οτυ διαγραμματος της φ τετοιο ωστε η εφαπτομενη στο σημειο αυτο α)να ειναι παραλληλη προς την ευθεια ψ=2χ-1 β)να ειναι παραλληλη προς τον αξονα χ'χ γ)να σχηματιζει γωνια π/4 με τον αξονα χ'χ δ)να διερχεται απο το σημειο Α(1,-1)

Αντώνης · 23-12-11

Αρχική Δημοσίευση από NoName:
παιδια βοηθεια σε μια ασκηση...δεν μου βγαινει...Εστω μια συναρτηση φ(χ)=χ*-1..... Να προσδιορισετε αν υπαρχει σημειο οτυ διαγραμματος της φ τετοιο ωστε η εφαπτομενη στο σημειο αυτο α)να ειναι παραλληλη προς την ευθεια ψ=2χ-1 β)να ειναι παραλληλη προς τον αξονα χ'χ γ)να σχηματιζει γωνια π/4 με τον αξονα χ'χ δ)να διερχεται απο το σημειο Α(1,-1)

Θα βρεις την παράγωγο της φ.
α) δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν τους ίδιους συντελεστές διεύθυνσης (λύνεις την εξίσωση της ευθείας ως προς υ και ο συντελεστής του χ είναι το λ), ίδια λ αν προτιμάς από πέρυσι. Φέτος μάθαμε πως η παράγωγος του Xo όπου Xo η τετμημένη του σημείου της γραφικής παράστασης της φ, πχ του A(Χο,φ(Χο)), δείχνει τον συντελεστή δίυθυνσης της εφαπτομένης της γραφ, παράστασης της φ στο σημείο Α. Για να υπάρχει τέτοια εφαπτομένη αρκεί να υπάρχει σημείο Xo ώστε φ'(Χο)=λε, όπου λε ο συντελεστής της ζητούμενης ευθείας.
β)μια ευθεία είναι παράλληλη στον χ'χ όταν έχει λ=0.
Όμοια θα πηγαίνουν τα υπόλοιπα.

=================-======================-===============

Παραθέτω την παρακάτω άσκηση για να λυθεί χωρίς αντιπαραγωγίσεις, διότι μας έδειξε έναν άλλο τρόπο ο καθηγητής μου που πραγματικά με εντυπωσίασε και θα ήθελα να σας "δώσω" την ευκαιρία να τη σκεφτείτε.

Αν $f(1)={f(1)}^{''}=0, {f(1)}^{'}=2, {f(x)}^{'''}=\frac{2-x}{{x}^{3}}$
να δείξετε πως f(x)=(x+1)lnx. Τα παραπάνω για χ>0.

NoName · 23-12-11

ευχαριστω πολυ

Gver · 30 Δεκεμβρίου 2011

καμια ιδεα για αυτην εδω?
δινονται πολ/μα Π(Ζ)=αΖ^2+βΖ+γ
Φ(Ζ)=αΖ^2+βΖ+γ-δ και σ(Ζ)=αΖ+(β^2-4αγ)^(1/2)Ζ+δ με α.β.γ.δ πραγμ και το υπορριζο μεγαλυτερο η ισο του μηδενος
δειξτε οτι |Π(Χ+Ψi)|=|Φ(Χ)+σ(Ψi)|

Αρχική Δημοσίευση από Αντώνης:
Παραθέτω την παρακάτω άσκηση για να λυθεί χωρίς αντιπαραγωγίσεις, διότι μας έδειξε έναν άλλο τρόπο ο καθηγητής μου που πραγματικά με εντυπωσίασε και θα ήθελα να σας "δώσω" την ευκαιρία να τη σκεφτείτε.

Αν $f(1)={f(1)}^{''}=0, {f(1)}^{'}=2, {f(x)}^{'''}=\frac{2-x}{{x}^{3}}$
να δείξετε πως f(x)=(x+1)lnx. Τα παραπάνω για χ>0.

Αντιπαραγωγιση εννοεις ολοκληρωση?ο αλλος τροπος παιζει κατι με ορια(με τον ορισμο της παραγωγου κλιμακωτα?)

infamous · 30-12-11

εστω φ:[α,β]->R μια συνεχης συναρτηση. αν α,β οι ριζες της εξισωσης 3χ^2-4000χ+2001=0 να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον ξε[α,β] τετοιο ωστε να ισχυει :
α*φ[(2α+β)/3]+[(α+β)/2]*φ[(α+β)/2]+β*φ[(α+2β)/3]=2000*φ(ξ)

καμια ιδεα? εγω λεω α+β=4000/3 και τα λυνω ως προς α ολα και μετα δεν γινεται τιποτα...

α και αν φ(2)=3 και φ(αντιστροφης)(2)=3 τοτε μπορω να πω οτι φ(3)=2 και φ(αντιστροφης)(3)=2 κατευθειαν χωρις δηλαδη να αποδειξω κατι και να πω μετα οτι αρα αφου φ(2)>φ(3) αρα φθινουσα και
φ(αντ)(2)>φ(αντ)(3) αρα φθινουσα?

rebel · 31-12-11

Αφού οι α,β είναι ρίζες της εξίσωσης $3x^2-4000x+2001=0$ από τύπους vieta είναι $a+\beta=4000/3$ . Οπότε $a+(a+b)/2+b=3(a+b)/2=2000$ . Εφαρμόζεις τώρα την κλασσική τεχνική που ακολουθείται σε τέτοιες ασκήσεις, δηλαδή Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής + θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τελείωσες.

Χαρουλιτα · 31-12-11

Θα ηθελα οποιος μπορει να λυσει αναλυτικα την Ασκηση 3 (Β ομαδας) Σελιδα 257 του σχολικου βιβλιου...
Εχουν σχηματιστει καποιες εντονες διαφωνιες!!!

antwwwnis · 31-12-11

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Θα ηθελα οποιος μπορει να λυσει αναλυτικα την Ασκηση 3 (Β ομαδας) Σελιδα 257 του σχολικου βιβλιου...
Εχουν σχηματιστει καποιες εντονες διαφωνιες!!!

υ=S'(t)
a=S''(t)
i) S'(t)=0 ...
ii)S'(t)>0 και S'(t)<0...
iii)S''(t)>0 και S''(t)<0...
Οι λύσεις να ανήκουν στο κλειστό [0,5]
Που προβληματίζεστε;

Χαρουλιτα · 31-12-11

Για το τριτο ερωτημα, υποστηριζεται το οτι για να αυξανεται η ταχυτητα δεν ειναι παντα επιταχυνομενη κινηση (αυξανεται η επιταχυνση) και για να μειωνεται δεν ειναι παντα επιβραδυνομενη (ελαττωνεται η επιταχυνση)...

g1wrg0s · 31-12-11

Πιστευω πως αν η ταχητυτα αυξανεται, τοτε εχουμε επιταχυνομενη κινηση του σωματος .Ισως οχι παντα ομαλα επιταχυνομενη αλλα επιταχυνόμενη

JaneWin · 31-12-11

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Για το τριτο ερωτημα, υποστηριζεται το οτι για να αυξανεται η ταχυτητα δεν ειναι παντα επιταχυνομενη κινηση (αυξανεται η επιταχυνση) και για να μειωνεται δεν ειναι παντα επιβραδυνομενη (ελαττωνεται η επιταχυνση)...

Η ταχύτητα αυξάνεται,όταν η συνάρτηση της ταχύτητας ως προς τον χρόνο είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή η επιτάχυνση,που είναι η παράγωγός της,είναι θετική.

infamous · 31-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αφού οι α,β είναι ρίζες της εξίσωσης $3x^2-4000x+2001=0$ από τύπους vieta είναι $a+\beta=4000/3$ . Οπότε $a+(a+b)/2+b=3(a+b)/2=2000$ . Εφαρμόζεις τώρα την κλασσική τεχνική που ακολουθείται σε τέτοιες ασκήσεις, δηλαδή Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής + θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τελείωσες.

στο τελος πρεπει να πω αν Μ=m και αν m<M?και τι γινεται σε καθε περιπτωση?
για μια αλλη ασκηση αυτο ισχυει?: αν φ(2)=3 και φ(αντιστροφης)(2)=3 τοτε μπορω να πω οτι φ(3)=2 και φ(αντιστροφης)(3)=2 κατευθειαν χωρις δηλαδη να αποδειξω κατι και να πω μετα οτι αρα αφου φ(2)>φ(3) αρα φθινουσα και
φ(αντ)(2)>φ(αντ)(3) αρα φθινουσα?

vimaproto · 31-12-11

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Θα ηθελα οποιος μπορει να λυσει αναλυτικα την Ασκηση 3 (Β ομαδας) Σελιδα 257 του σχολικου βιβλιου...
Εχουν σχηματιστει καποιες εντονες διαφωνιες!!!

Δες το αρχείο
Νομίζω πως είμαι σαφής

rebel · 31-12-11

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
στο τελος πρεπει να πω αν Μ=m και αν m<M?και τι γινεται σε καθε περιπτωση?

Δεν χρειάζεται να πάρεις ξεχωριστές περιπτώσεις. Απλά χρησιμοποιείς το σύμβολο $\leq$

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
για μια αλλη ασκηση αυτο ισχυει?: αν φ(2)=3 και φ(αντιστροφης)(2)=3 τοτε μπορω να πω οτι φ(3)=2 και φ(αντιστροφης)(3)=2 κατευθειαν χωρις δηλαδη να αποδειξω κατι και να πω μετα οτι αρα αφου φ(2)>φ(3) αρα φθινουσα και
φ(αντ)(2)>φ(αντ)(3) αρα φθινουσα?

$\phi^{-1}(2)=3 \Rightarrow \phi(3)=2$ οπότε $\phi(2)>\phi(3)$ άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα. Εαν βέβαια σου δίνεται ότι είναι γνήσια μονότονη. Εκτός αν δεν κατάλαβα καλά αυτό που έγραψες.

Χαρουλιτα · 31-12-11

Οκ, καταλαβα! Ευχαριστω πολυ!

infamous · 31-12-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δεν χρειάζεται να πάρεις ξεχωριστές περιπτώσεις. Απλά χρησιμοποιείς το σύμβολο $\leq$

$\phi^{-1}(2)=3 \Rightarrow \phi(3)=2$ οπότε $\phi(2)>\phi(3)$ άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα. Εαν βέβαια σου δίνεται ότι είναι γνήσια μονότονη. Εκτός αν δεν κατάλαβα καλά αυτό που έγραψες.

ναι αυτο μου δινεται οτι η φ ειναι γνησιως μονοτονη..αλλα παρακατω μου χρειαζετεται να αποδειξω οτι και η αντιστροφη ειναι γνησιως φθινουσα..πως ξερω οτι η αντιστροφη ειναι γνησιως μονοτονη?
α στην προηγουμενη ασκ που ρωτησα πως ξερω οτι ισχυει οτι α< (2α+β)/3<β ? ενταξει αν το λυσω καταληγω οτι α<β που ισχυει..αν δν το κανω αυτο πως το δειχνω?

rebel · 31 Δεκεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
ναι αυτο μου δινεται οτι η φ ειναι γνησιως μονοτονη..αλλα παρακατω μου χρειαζετεται να αποδειξω οτι και η αντιστροφη ειναι γνησιως φθινουσα..πως ξερω οτι η αντιστροφη ειναι γνησιως μονοτονη?

Θα δείξουμε ότι για κάθε $y_1,y_2 \in f(A)$ με $y_1<y_2$ ισχύει $f^{-1}(y_1)>f^{-1}(y_2)$ . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε θα υπάρχουν κάποια $y_1,y_2 \in f(A)$ με $y_1<y_2$ και $f^{-1}(y_1) \leq f^{-1}(y_2)$ . Όμως εμείς γνωρίζουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα $f^{-1}(y_1) \leq f^{-1}(y_2) \Rightarrow f\left(f^{-1}(y_1)\right)\geq f\left(f^{-1}(y_2)\right)\Rightarrow y_1 \geq y_2$ άτοπο. Άρα πράγματι η $f^{-1}$ είναι γνήσια φθίνουσα.

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
α στην προηγουμενη ασκ που ρωτησα πως ξερω οτι ισχυει οτι α< (2α+β)/3<β ? ενταξει αν το λυσω καταληγω οτι α<β που ισχυει..αν δν το κανω αυτο πως το δειχνω?

Μπορείς κατασκευαστικά αλλά είναι η ίδια σειρά συνεπαγωγών. Δεν γράφω δηλαδή κατι διαφορετικό από αυτό που έκανες
$<3$ b \Rightarrow \frac{2a+b}{3}<b " />
$a<b \Rightarrow 3a<b+2a \Rightarrow a<\frac{b+2a}{3}$

lostie · 2 Ιανουαρίου 2012

γεια σας και καλη χρονια...

Δινετε η συναρτηση f:R=>R παραγωγισιμη στο 0 με f'(o) διαφορο του 0.
lim(x->0) [f(x) - f(o)* ριζα(χ^2 + 1) ]/[ f(ημχ) -f(0)]

ζηταει αυτο το οριο,δεν μου δινει αλλα δεδομενα

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος