Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Ryuzaki · 18-09-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Εμενα μου βγηκε κυκλος με κεντρο το Κ(0,0) και ακτινα ρ=(ριζα 2) / 2
ΕΞΑΙΡΕΙΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Κ(0,0) αφου δεν πρεπει χ=0 ΚΑΙ y=0 (ταυτοχρονα και τα δυο μηδεν)

Σωστός, είναι ο άξονας y'y(χ=0) και ο κύκλος με κέντρο Κ(0,0) (εξαιρείται K(0,0)) και ρ=1/2 όμως...

g1wrg0s · 18-09-11

1) πως ακριβως βρηκες τον y'y;
2) Βρηκα χ^2 +Y^2 =1/2 αρα η ακτινα ειναι ρ=(ριζα2)/2 .Κανω λαθος;

Ryuzaki · 18 Σεπτεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
1) πως ακριβως βρηκες τον y'y;
2) Βρηκα χ^2 +Y^2 =1/2 αρα η ακτινα ειναι ρ=(ριζα2)/2 .Κανω λαθος;

Έστω

, όπου

και

Άρα

Οπότε

(βγάζω κοινό παράγοντα το χ)

Άρα

ή

(χιαστί)

ή

Οπότε, ο ΓΤ του z είναι ο άξονας y'y (αφού χ=0) και ο κύκλος με κέντρο Κ(0,0) (εξαιρείται K(0,0) αφού x,yεR και είναι διαφορετικά από 0) και

g1wrg0s · 18-09-11

Ευχαριστω..Λαθος πραξη !
Γι αυτο πρεπει να ελεγχω την ασκηση μετα την ολκληρωση της

gkm · 18-09-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
$S= i^3 \left( 1-i+i^2-i^3+...+i^{2 \nu-2} \right) = i^3 \frac{(-i)^{2\nu -1}-1}{-i-1} = -i \frac{(-i)^{2\nu-1}-1}{-i-1}= \frac{(-i)^{2\nu}+i}{-i-1}$

χρησιμοποιήθηκε ο τύπος για το πεπερασμένο άθροισμα $2\nu-1$ όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 και λόγο -i. Τώρα

$\nu= 2k , \, k\in \mathbb{Z} \rightarrow 2\nu=4k \rightarrow S=-1$

$\nu = 2k+1 , \, k\in \mathbb{Z} \rightarrow 2\nu = 4k+2 \rightarrow S= -i$

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
και αντικατέστησες. Τώρα που έβγαλες κοινό παράγοντα το i^3 δεν είναι πρώτος όρος το 1;

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Θα μπορούσα και να μην το είχα βγάλει. Απλά αυτό που μένει μέσα στην παθένθεση είναι άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 1 οπότε μου αρέσει περισσότερο έτσι. Λυπάμαι αν σε μπέρδεψα.
ναι

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σου.

Εχω κάποιες ακόμα απορίες
1) εννοώ οτι το α1 δεν θα έπρεπε να ήταν το 1; αφου πρώτος όρος είναι το 1 εφόσον έβγαλες κοινό παράγοντα το i^3.
2)Βοήθημα Μπάρλας, σελίδα 37, Διαγώνισμα, Θέμα 2:
Έστω $z\epsilon C$ και $f\left(z \right)={z}^{2}+2z+3$
α. Να βρείτε τους $x,y\epsilon R$ , ώστε $f\left(x-2yi \right)=2$
$f\left(x-2yi \right)=2 \Leftrightarrow {(x-2yi)}^{2} + 2\left(x-2yi \right) + 3 = 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}<br /> {x}^{2}-4{y}^{2}+2x +1=0\\<br /> y\left(x+1 \right)=0<br /> \end{matrix}\right.$
βγαίνουν δύο συστήματα ένα με το y=0 και ένα με το x=-1 και αυτές είναι και οι λύσεις μου. Όμως στο βοήθημα την λύση την έχει: (x=-1 και y=0) ή (x=1 και y=+- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) Γιατί;;
3)Βοήθημα Μπάρλας, σελίδα 57, άσκηση 2ιχ: Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1,z2,z3 δεν είναι συνευθειακά σημεία, τότε το σύστημα $\left|z-{z}_{1} \right|=\left|z-{z}_{2} \right|=\left|z-{z}_{3} \right|$ έχει μοναδική λύση.
4)Άσκηση: Δίνεται το τριώνυμο $F(x)={x}^{2} + 2\left|{z}_{1}-{z}_{2} \right|x + \left(1+ \left|{{z}_{1}}^{2} \right|\right)\left(1+ \left|{{z}_{2}}^{2} \right|\right)$ , όπου z1 και z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε οτι $f(x)\geq 0$ για κάθε xεR. πως λύνεται αυτή;

g1wrg0s · 18-09-11

2) Και εγω τις ιδιες λυσεις βρηκα...Βαλε οπου χ=1 και y=+- (ριζα2)/2 και δες αν την επαληθευει. Αν οχι, τοτε ο Μπαρλας κανει λαθος

4) καταρχην στο τρυονυμο βαζεις F ενω στο ζητουμενο f .
Για να ισχυει η σχεση που θελεις πρεπει α>0 και Δ<=0 (οπου α ο συντελεστης του χ^2 και Δ η διακρινουσα του τριωνυμου)
α=1 αρα αρκει ν.δ.ο Δ<=0
Βρισκοντας σωστα την διακρινουσα κατεληξα στο Δ= -4(z1*(συζηγης)z2 + 1)*(1+z2*(συζηγης)z1)
Σου δινει κατι αλλο απο προηγουμενα ερωτηματα ; Το οτιδηποτε ή ειναι ετσι η ασκηση;

Ryuzaki · 19-09-11

@gkm
α)Ερώτημα του Μπαρλα (εμένα την άσκηση την έχει στη σελίδα 33)
Έκανα και εγώ τις πράξεις και βρήκα και εγώ χ=-1 και y=0. Κοίταξα και τον Μπάρλα που έχω (έκδοση 2004) και αυτές τις ρίζες έχει και όχι κάποια άλλη.. Παίζει να το είχε όπως λες παλιότερα και στη συνέχεια να το διόρθωσε.

rebel · 19-09-11

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
1) εννοώ οτι το α1 δεν θα έπρεπε να ήταν το 1; αφου πρώτος όρος είναι το 1 εφόσον έβγαλες κοινό παράγοντα το i^3.

Σου απάντησα και πριν ότι πρώτος όρος είναι το 1. Αν το γράψω εντελώς τυπικά είναι
$i^3 \cdot \color{red}{1 \cdot \frac{(-i)^{2\nu-1}-1}{-i-1}}$
To $i^3$ το κουβαλάω μαζί αλλά δεν περιλαμβάνεται στον τύπο $S_\nu$ του αθροίσματος.

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
2)Βοήθημα Μπάρλας, σελίδα 37, Διαγώνισμα, Θέμα 2:

Κι εγώ τα ίδια βρίσκω. Πρέπει να έχουν λάθος οι λύσεις

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
3)Βοήθημα Μπάρλας, σελίδα 57, άσκηση 2ιχ: Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1,z2,z3 δεν είναι συνευθειακά σημεία, τότε το σύστημα $\left|z-{z}_{1} \right|=\left|z-{z}_{2} \right|=\left|z-{z}_{3} \right|$ έχει μοναδική λύση.

Έστω z ένας μιγαδικός που ικανοποιεί το σύστημα αυτό. Αφού οι εικόνες των μιγαδικών $z_1,z_2,z_3$ δεν είναι συνευθειακά, σχηματίζουν τρίγωνο. H εικόνα του z ισαπέχει από τις κορυφές αυτού του τριγώνου και άρα συμπίπτει με το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου, το οποίο είναι σημείο μοναδικό και ονομάζεται περίκεντρο του τριγώνου( Κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου).

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
4)Άσκηση: Δίνεται το τριώνυμο $F(x)={x}^{2} + 2\left|{z}_{1}-{z}_{2} \right|x + \left(1+ \left|{{z}_{1}}^{2} \right|\right)\left(1+ \left|{{z}_{2}}^{2} \right|\right)$ , όπου z1 και z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε οτι $f(x)\geq 0$ για κάθε xεR. πως λύνεται αυτή;

Συνεχίζω από κει που έφτασε ο Γιώργος. Θέτουμε $w=\bar{z}_1z_2+1$ οπότε η διακρίνουσα γράφεται $\Delta=-4w\bar{w}=-4|w|^2 \leq 0$

g1wrg0s · 19-09-11

ποοοοοοοοοοοοο ρε φιλε ! Ευχαριστω ...λιγη προσοχη ηθελε !

kosmas13green · 20-09-11

Έστω ότι |α|=|β|=|γ|=1. Να αποδείξετε ότι:
α) Re(α*(συζυγή του)β)=Re(β*(συζυγή του)γ)=Re(γ*(συζυγή του)α)=-1/2
β)|α-β|=ριζα3 πως λύνεται τούτη εδώ;

rebel · 20-09-11

Νομίζω ότι χρειαζόμαστε την επιπλέον υπόθεση ότι $a+b+c=0$ . Τότε έχουμε

$1=|-c|^2=|a+b|^2=a\bar{a}+b\bar{b}+a\bar{b}+b\bar{a}=1+1+2Re(a\bar{b}) \Leftrightarrow$
$Re(a\bar{b})=-\frac{1}{2}$

Όμοια και για τα υπόλοιπα. Όσο για το δεύτερο ερώτημα:

$|a-b|^2=a\bar{a}+b\bar{b}-2Re(a\bar{b})=3$

gkm · 20-09-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
2) Και εγω τις ιδιες λυσεις βρηκα...Βαλε οπου χ=1 και y=+- (ριζα2)/2 και δες αν την επαληθευει. Αν οχι, τοτε ο Μπαρλας κανει λαθος

4) καταρχην στο τρυονυμο βαζεις F ενω στο ζητουμενο f .
Για να ισχυει η σχεση που θελεις πρεπει α>0 και Δ<=0 (οπου α ο συντελεστης του χ^2 και Δ η διακρινουσα του τριωνυμου)
α=1 αρα αρκει ν.δ.ο Δ<=0
Βρισκοντας σωστα την διακρινουσα κατεληξα στο Δ= -4(z1*(συζηγης)z2 + 1)*(1+z2*(συζηγης)z1)
Σου δινει κατι αλλο απο προηγουμενα ερωτηματα ; Το οτιδηποτε ή ειναι ετσι η ασκηση;

Μαλλον ο Μπάρλας κάνει λάθος, δεν τις επαληθεύει τις εξισώσεις. Δεν ξες πόσο ενοχλητική/κουραστική είναι ο λατεξ, στο μηνυμά μου F=f. Γιατί α>0 και Δ<=0; Το α δεν είναι μόνο διαφορετικό του μηδενός;

Αρχική Δημοσίευση από Ryuzaki:
@gkm
α)Ερώτημα του Μπαρλα (εμένα την άσκηση την έχει στη σελίδα 33)
Έκανα και εγώ τις πράξεις και βρήκα και εγώ χ=-1 και y=0. Κοίταξα και τον Μπάρλα που έχω (έκδοση 2004) και αυτές τις ρίζες έχει και όχι κάποια άλλη.. Παίζει να το είχε όπως λες παλιότερα και στη συνέχεια να το διόρθωσε.

εγώ έχω του 2009. ποιος ξερει μαλλον καποιο λάθος.

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Σου απάντησα και πριν ότι πρώτος όρος είναι το 1. Αν το γράψω εντελώς τυπικά είναι
$i^3 \cdot \color{red}{1 \cdot \frac{(-i)^{2\nu-1}-1}{-i-1}}$
To $i^3$ το κουβαλάω μαζί αλλά δεν περιλαμβάνεται στον τύπο $S_\nu$ του αθροίσματος.

Κι εγώ τα ίδια βρίσκω. Πρέπει να έχουν λάθος οι λύσεις

Έστω z ένας μιγαδικός που ικανοποιεί το σύστημα αυτό. Αφού οι εικόνες των μιγαδικών $z_1,z_2,z_3$ δεν είναι συνευθειακά, σχηματίζουν τρίγωνο. H εικόνα του z ισαπέχει από τις κορυφές αυτού του τριγώνου και άρα συμπίπτει με το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου, το οποίο είναι σημείο μοναδικό και ονομάζεται περίκεντρο του τριγώνου( Κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου).

Συνεχίζω από κει που έφτασε ο Γιώργος. Θέτουμε $w=\bar{z}_1z_2+1$ οπότε η διακρίνουσα γράφεται $\Delta=-4w\bar{w}=-4|w|^2 \leq 0$

ααααααααααααααααααααααααααααααααα! ευχαριστώ πολύ :clapup:

g1wrg0s · 20-09-11

Αυτες ειναι οι προυποθεσεις , ωστε ενα τριωνυμο να ειναι μεγαλυτερο ή ισο του μηδενος...

gkm · 20-09-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Αυτες ειναι οι προυποθεσεις , ωστε ενα τριωνυμο να ειναι μεγαλυτερο ή ισο του μηδενος...

είναι ύλη προηγούμενων ταξεων ε;

rebel · 20-09-11

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
είναι ύλη προηγούμενων ταξεων ε;

gkm · 20-09-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:

Μάλιστα... :hmm:

Ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας.

kosmas13green · 20-09-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Νομίζω ότι χρειαζόμαστε την επιπλέον υπόθεση ότι $a+b+c=0$ . Τότε έχουμε

$1=|-c|^2=|a+b|^2=a\bar{a}+b\bar{b}+a\bar{b}+b\bar{a}=1+1+2Re(a\bar{b}) \Leftrightarrow$
$Re(a\bar{b})=-\frac{1}{2}$

Όμοια και για τα υπόλοιπα. Όσο για το δεύτερο ερώτημα:

$|a-b|^2=a\bar{a}+b\bar{b}-2Re(a\bar{b})=3$

Ευχαριστωωωω

kosmas13green · 21-09-11

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w,u για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: |z-1|=6, 3wz+w=6*(συζυγή του)z-6 και (2u-1/2)((συζυγή του)u-1/4=8w*(συζυγή του)w.
α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z|
β)Αν ακόμη είναι |z+1/3|=12, τότε να βρείτε:
ι)το |w|
ιι) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u

Μια βοήθεια;

Στο α) γενικώς δεν τα πάω καλά με τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή, και στο β) ι) έχω κάνει 3wz+w=6*(συζυγή του)z-6 <=> wz+w/3=2*(συζυγή του)z-2 <=> w(z+1/3)=2((συζυγή του)z-1). To ii) δεν το άγγιξα :whistle:

Ευχαριστώ

Guest 278211 · 21-09-11

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w,u για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: |z-1|=6, 3wz+w=6*(συζυγή του)z-6 και (2u-1/2)((συζυγή του)u-1/4=8w*(συζυγή του)w.
α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z|
β)Αν ακόμη είναι |z+1/3|=12, τότε να βρείτε:
ι)το |w|
ιι) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u

Μια βοήθεια; Στο α) γενικώς δεν τα πάω καλά με τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή, και στο β) ι) έχω κάνει 3wz+w=6*(συζυγή του)z-6 <=> wz+w/3=2*(συζυγή του)z-2 <=> w(z+1/3)=2((συζυγή του)z-1). To ii) δεν το άγγιξα Ευχαριστώ

α) Το z ανήκει σε κύκλο με ακτίνα ρ=6 και κέντρο Α(1,0).
(ΟΑ)=1 και |z(max)|=(OA)+ρ=7 και |z(min)|=(OA)-ρ=5
Το σχήμα βοηθάει σε αυτές τις περιπτώσεις. Αυτό που σου ζητάει στην πραγματικότητα είναι να βρεις τα σημεία του κύκλου που απέχουν λιγότερο και περισσότερο από το Ο (0,0).

β) (i) Πρέπει να λύσεις το σύστημα: |z-1|=6 και |z+1/3|=12 θέτοντας z=x=yi με x,yER. Από εδώ θα βρεις είτε 1 είτε 2 τιμές για το z και με αντικατάσταση θα φτάσεις στο αποτέλεσμα.

(ii) (2u-1/2)((συζυγή του)u-1/4)=8w*(συζυγή του)w <=> 2*(u-1/4)((συζυγή του)u-1/4)=8w*(συζυγή του)w <=> |u-1/4|²=4|w|² <=>
|u-1/4|=2|w| κτλ

g1wrg0s · 21-09-11

α) |z-1|=6 => |z-(1+0i)|=6 αρα ο γ.τ του z ειναι κυκλος με κεντρο Κ(1,0) και ακτινα 6 . Οταν σου ζητα την μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του |z| σημαινει οτι πρεπει να βρεις την μεγιστη και την ελαχιστη αποσταση που μπορει να εχει μια εικονα του z απο το σημειο Ο(0,0) . Κανε τον κυκλο σε ενα καρτετσιανο επιπεδο συντεταγμενων χ,y και θα δεις ποια ειναι η μεγιστη τιμη του |z | και ποια η ελαχιστη.

min|z|= ρ-1=6-1=5
max|z|=ρ+1=6+1=7

β) Λυσε την δευτερη σχεση ως προς w και θα βγει w=6(z-1)/3z+1= 2(z-1)/(z+1/3) [δεν υπαρχει προβλημα με τον παρανομαστη αφου z διαφορο του -1/3 (σου λεει οτι |z+1/3|=12) ]

αρα |w|= 2|(z-1)/(z+1/3)|=...=2*6/12=1 , οποτε |w|=1

Το τριτο θα το δω αργοτερα

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Guest 278211

Επισκέπτης

Επιφανές μέλος

Συνημμένα