Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[g1wrg0s]

Κανονικα..Ειναι ενα ειδος ασκησεων με τυποποιημενες σχεδον λυσεις..Σε ολα τα βοηθηματα που εχω δει τις εχει. . .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ryuzaki]

παιδια μια ερωτηση θελω να κανω.
οι συναρτησιακες σχεσεις ειναι μεσα στην υλη; γιατι ακουω διαφορα....
π.χ f(x) + f(y) = f(x+y) .........

Ναι αλλά δεν φαίνεται να τις προτιμούν πολύ στις εξετάσεις...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Ναι αλλά δεν φαίνεται να τις προτιμούν πολύ στις εξετάσεις...

Ειδικά η συγκεκριμένη δεν προτιμάται ποτέ.

Οι συνεχείς λύσεις είναι οι γραμμικές συναρτήσεις της μορφής f(χ)=αχ, α ε R.

Οι μη συνεχείς όμως, είναι αρκετά εξωτικές.
Για παράδειγμα, ας δεχτούμε προς στιγμήν ως δεδομένη την ύπαρξη μιας βάσης αρρήτων Β:
Δηλαδή, ότι κάθε πραγματικός αριθμός χ γράφεται ως x=a*U+b*V...+c*W
όπου οι συντελεστές a,b,...,c είναι ρητοί και εξαρτώνται από το x, ενώ το σύνολο {U,V,...,W} περιέχεται στο Β.


Αρχικά, ορίζουμε την f επί του Β, με οποιονδήποτε τρόπο.
Μετά, για κάθε χ στο R και όχι στο Β, ορίζουμε f(χ)=a*f(U)+b*f(V)...+c*f(W).
Eίναι μια απλή άσκηση το ότι η f, παρότι ορίστηκε τυχαία στο σύνολο Β, ικανοποιεί την f(x+y)=f(x)+f(y).

Μια ακόμα ιδιότητα της f, διαισθητικά αναπάντεχη, είναι πως σε οποιοδήποτε διάστημα (a,b),
το σύνολο f(a,b) δεν είναι άνω ή κάτω φραγμένο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kosmas13green]

Έστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, για τα οποία ισχύει |z+6-3i|<=8. Για κάθε z ανήκει στο Α ορίζουμε τον αριθμό f(z) από τη σχέση:
f(z)=|z-6+2i|. α)Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α. β)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). γ)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του f(z). Παίζει μια βοήθεια σε αυτό; Thnx

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Έστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, για τα οποία ισχύει |z+6-3i|<=8. Για κάθε z ανήκει στο Α ορίζουμε τον αριθμό f(z) από τη σχέση:
f(z)=|z-6+2i|. α)Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α. β)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). γ)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του f(z). Παίζει μια βοήθεια σε αυτό; Thnx

α) Το συνολο Α των εικονων του z ειναι ο γ.τ του κυκλου και του κυκλικου δισκου με κεντρο Κ(-6,3) και ακτινα ρ= 8
β) minf(z)= 5 cm
γ)maxf(z)=21 cm (αν η μοναδα μετρησης ειναι σε εκατοστα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antwwwnis]

Πως λύνονται οι εξισώσεις της μορφής:
ln(x+a)= x+b, πχ η ln(x-1)=x-4 ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Έστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, για τα οποία ισχύει |z+6-3i|<=8. Για κάθε z ανήκει στο Α ορίζουμε τον αριθμό f(z) από τη σχέση:
f(z)=|z-6+2i|. α)Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α. β)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). γ)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του f(z). Παίζει μια βοήθεια σε αυτό; Thnx

α)Απο θεωρια του βιβλιου ξερουμε οτι |z-zo|=ρ ,ρ>0 ειναι κυκλος με κεντρο Κ(zo) και ακτινα ρ.
Η εξισωση που σου δινει (η οποια ισχυει για το συνολο Α) ειναι |z+6-3i|<=8 => |z-(-6+3i)|<= 8
Η ισοτηητα δειχνει οτι οτι ο z κινουνται σε κυκλο με Κ(-6,3) και ακτινα ρ=8.
Το συμβολο συγκρισης < δειχνει οτι οι ο z κινηται και στον κυκλικο δισκο του κυκλου. Το < μας δειχνει οτι η εικονα του z μπορει και να εχει αποσταση μικροτερη απο 8 cm απο το κεντρο του κυκλου Κ.
Επομενως ο γ.τ του z ή το συνολο Α των εικονων του z ειναι ο κυκλικος δισκος και ο κυκλος (περιφερεια του κυκλου) με Κ(-6,3) και ρ=8 . Επι της ουσιας ειναι ενας ολοκληρος δισκος... Σχηματισε τον σωστα σε ενα καρτεσιανο επιπεδο.

β) Σου λεει οτι ισχυει f(z)=|z-6+2i| οπου αυτος ο z που ειναι ορισμα της συναρτησης f ανηκει στον παραπανω γ.τ. .
Ισχυει f(z)=|z-6+2i| => f(z)=|z-(6-2i)|
Απο θεωρια βιβλιου ξερω οτι η απολυτη τιμη της διαφορας δυο μιγαδικων αριθμων ειναι ιση με την αποσταση των εικονων τους.
Αυτο κρατα το. Ζητωντας σου να βρεις το το μεγιστο και το ελαχιστο του f(z) , στην ουσια σου ζητα να βρεις την μεγιστη και την ελαχιστη αποσταση του z απο τον μιγαδικο (6-2i) . Η εικονα του (6-2i) ειναι το Μ(6,-2) και ειναι σταθερη, σε αντιθεση με την εικονα του z που μπορει να κινειται μεσα σε ενα γ.τ (τον δισκο) και δεν ξερουμε που μπορει να ειναι (εκτος κι αν δωσουμε μια τιμη στον z). Γι αυτο το ερωτημα σου ζητα την μεγιστη και την ελαχιστη αποσταση που μπορουν να εχουν οι εικονες αυτων των δυο μιγαδικων...

Οταν σου ζητα μεγιστη και ελασιστη αποσταση μιας εικονας (Μ) απο ενα κυκλο τοτε θα τραβας ενα ευθυγραμμο τμημα απο υην εικονα προς τον κυκλο περνοντας οπωσδηποτε απο το κεντρο του κυκλου και τεμνοντας σε δυο σημεια την περιφερεια του κυκλου.Βλεποντας το σχημα θα δεις ποια ειναι η μεγιστη και ποια η ελαχιστη αποσταση του Μ απο μια εικονα του z.

minf(z)=min|z-(6-2i)|= (ΒΜ)=(ΚΜ)-ρ= - 8=...= 5 cm
maxf(z)=max|z-(6-2i)|=(ΑΜ)=(ΚΜ)+ρ= +8=...=21 cm

Πως λύνονται οι εξισώσεις της μορφής:
ln(x+a)= x+b, πχ η ln(x-1)=x-4 ;

Δεν ξερω καποιο τροπο που να λυνεται ως προς χ αυτο. Το μονο σιγουρο ειναι οτι ισχυει για χ>4

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[13diagoras]

Αφου δεν υπαρχει στανταρ τροπος για να λυθει,τοτε θα πας με την υλη της Γ'λυκειου.Δηλαδη βρισκεις μια προφανη ριζα/ες και μετα αποδεικνυεις οτι δεν υπαρχουν παραπανω...
Αν δεν εχεις μπει ακομη στα κεφαλαια αυτα,ορισμενοι τροποι να αποδειξεις την μοναδικοτητα ειναι η μονοτονια,Θεωρημα Rolle,κ.αλλα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Joaquín]

Δεν ξερω καποιο τροπο που να λυνεται ως προς χ αυτο. Το μονο σιγουρο ειναι οτι ισχυει για χ>4

Ο λογάριθμος μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.Μάλλον εννοείς για χ>1.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Ο λογάριθμος μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.Μάλλον εννοείς για χ>1.

Ναι ρε, αχ αυτη η e^x (μπερδεψα την γραφικη παρασταση)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Πως λύνονται οι εξισώσεις της μορφής:
ln(x+a)= x+b, πχ η ln(x-1)=x-4 ;

Τα πας ολα στο πρωτο μελος και το θετεις ως μια συναρτηση. Μετα βρισκεις προφανη ριζα και αποδεικνυεις οτι η συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη αρα η προφανη ριζα που βρηκες ειναι και η μοναδικη.

Για παραδειγμα :


Θετω

Af=(1,+oo)

Βρισκεις μια προφανη λυση που μπορει να ειναι το -2,-1,0,1,2... Κατι που να μπορεις να το δεις δηλαδη.

Στο παραδειγμα ειναι το 2 αφου για x=2:



Και μετα αποδεικνυεις οτι είναι γνησιως μονοτονη

Για καθε ισχυει







Δηλδη η f ειναι γν αυξουσα στο Af οποτε εχει η μια (ή καμια ριζα) αφου τεμνει τον αξονα x'x μονο μια φορα(ή και καμια).
Κανε ενα σχημα μιας γνησιως αυξουσας συναρτησης(ή και γν φθινουσας) και θα το καταλαβεις.

Στο παραδειγμα μας η μοναδικη ριζα ειναι το x=2

Επισης αυτα που ανεφερα ισχυουν ΜΟΝΟ σε συναρτησεις που ειναι συνεχεις στο πεδιο ορισμου τους και ειναι ορισμενες σε ενα διαστημα και οχι σε ενωση διαστηματων π.χ (0,1)U(1,+oo). Δηλαδη για συναρτησεις που εχουν παραπανω απο εναν τυπους(και δεν ειναι συνεχεις σε καποιο σημειο του πεδιο ορισμου τους) δεν ακολουθουμε αυτη την μεθοδολογια.

ΥΓ Αν δεν το χεις διδαχθει ακομα αυτο ή δεν το χεις δει απλως ξεχνα το post μου για να μην μπερδευτεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Η λυση σου για ποιο ερωτημα ειναι;
Ειναι ενα παραδειγμα για την επιλυση της παραπανω ισοτητας του Αντωνη;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Ωπ συγνωμη ξεχασα το quote Το φτιαχνω αμεσως.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antwwwnis]

Spoiler

Τα πας ολα στο πρωτο μελος και το θετεις ως μια συναρτηση. Μετα βρισκεις προφανη ριζα και αποδεικνυεις οτι η συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη αρα η προφανη ριζα που βρηκες ειναι και η μοναδικη.

Για παραδειγμα :


Θετω

Βρισκεις μια προφανη λυση που μπορει να ειναι το -2,-1,0,1,2... Κατι που να μπορεις να το δεις δηλαδη.

Στο παραδειγμα ειναι το 2 αφου για x=2:



Και μετα αποδεικνυεις οτι είναι γνησιως μονοτονη

Για καθε ισχυει







Δηλδη η f ειναι γν αυξουσα οποτε εχει η μια (ή καμια ριζα) αφου τεμνει τον αξονα x'x μονο μια φορα(ή και καμια).
Κανε ενα σχημα μιας γνησιως αυξουσας συναρτησης(ή και γν φθινουσας) και θα το καταλαβεις.

Στο παραδειγμα μας η μοναδικη ριζα ειναι το x=2

ΥΓ Αν δεν το χεις διδαχθει ακομα αυτο ή δεν το χεις δει απλως ξεχνα το post μου για να μην μπερδευτεις

Με βοήθησες να μπω στο κλίμα της αντιμετώπισης τέτοιων προβλημάτων. Ευχαριστώ πολύ όλους σας.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Λεπτομεριες, αλλα νομιζω πως θα κοβανε μορια

Για καθε ισχυει

Σωστοτατο, αλλα νομιζω πως δεν διευκρινιζεις ποιο ειναι το Af (σε κανενα σημειο της ασκησης)

Δηλδη η f ειναι γν αυξουσα οποτε εχει η μια (ή καμια ριζα) αφου τεμνει τον αξονα x'x μονο μια φορα(ή και καμια).

Νομιζω πως η σωστη προταση ειναι "Δηλαδη η f ειναι γν αυξουσα στο Π.Ο της " ή "Δηλαδη η f ειναι γν αυξουσα στο Af"

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Ναι εχεις δικιο γιωργο απλως ηθελα να του δειξω πως λυνονται τετοιες ασκησεις και μαλλον ξεχασα τα πιο βασικα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Gver]

Οταν εχω δικλαδη και ειναι 1-1 για να βρω αντιστροφη παιρνω ξεχωριστα καθε κλαδο και βρισκω την αντιστροφη καθε κλαδου με το αντιστοιχο πεδιο ορισμου?οποτε ουσιαστικα η δικλαδη θα εχει μια δικλαδη για αντιστροφη?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Οταν εχω δικλαδη και ειναι 1-1 για να βρω αντιστροφη παιρνω ξεχωριστα καθε κλαδο και βρισκω την αντιστροφη καθε κλαδου με το αντιστοιχο πεδιο ορισμου?οποτε ουσιαστικα η δικλαδη θα εχει μια δικλαδη για αντιστροφη?

Σωστός είσαι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αντώνης]

Απορία: ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z αν ισχύει πως Re(z-1/z)=-3Im(iz);

Εμένα μου βγαίνει ο y'y και ο κύκλος με κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ένα δεύτερο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Απορία: ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z αν ισχύει πως Re(z-1/z)=-3Im(iz);

Εμένα μου βγαίνει ο y'y και ο κύκλος με κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ένα δεύτερο.

Εμενα μου βγηκε κυκλος με κεντρο το Κ(0,0) και ακτινα ρ=(ριζα 2) / 2
ΕΞΑΙΡΕΙΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Κ(0,0) αφου δεν πρεπει χ=0 ΚΑΙ y=0 (ταυτοχρονα και τα δυο μηδεν)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.