Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 07-07-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
λογικο φαινεται αλλα δεν ειμαι πολυ σιγουρος τελος παντων ας βαλω μια αλλη

Αν α²+χ²=1, β²+ψ²=1, και αψ-βχ=1
νδο οτι α²+β²=1

δηλαδη ειναι σωστη η λυση μου?

akis95 · 07-07-11

κοιτα οντως βγαινει δεν ξερω τι να σου πω παρε και αλλη γνωμη προςτοπαρον λυσε αυτη που εβαλα τωρα

antwwwnis · 07-07-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
λογικο φαινεται αλλα δεν ειμαι πολυ σιγουρος τελος παντων ας βαλω μια αλλη

Αν α²+χ²=1, β²+ψ²=1, και αψ-βχ=1
νδο οτι α²+β²=1

Την έβγαλα με διανύσματα (Β λυκ) .
Αν θέλει κάποιος να την δει του τη στέλνω σε pm.

Guest 018946 · 07-07-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
λογικο φαινεται αλλα δεν ειμαι πολυ σιγουρος τελος παντων ας βαλω μια αλλη

Αν α²+χ²=1, β²+ψ²=1, και αψ-βχ=1
νδο οτι α²+β²=1

να η λυση https://imageshack.us/photo/my-images/706/ax001.png/ πιστευω ειναι σωστη.

antwwwnis · 07-07-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
να η λυση https://imageshack.us/photo/my-images/706/ax001.png/ πιστευω ειναι σωστη.

Κοίταξε τι κάνεις.
Έχεις τρεις αληθείς εξισώσεις (υπόθεση) και μια που ζητά απόδειξη, βάσει των άλλων τριών(συμπέρασμα)

Λες πως η 4 ειναι αληθής (αφού την εξισώνεις με μια εξίσωση απο την υπόθεση) και βάσει αυτού του συλλογισμού καταλήγεις ότι η 4 είναι αληθής. Δηλαδή, με λιγα λογια, λες:
Αν 4, Τότε 4.

Αυτό το λάθος το έχω συναντήσει και σε παιδιά της ηλικίας μου. Δούλεψε με ένα σχέδιο και στην επόμενη θα το καταφερεις

Guest 018946 · 07-07-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Κοίταξε τι κάνεις.
Έχεις τρεις αληθείς εξισώσεις (υπόθεση) και μια που ζητά απόδειξη, βάσει των άλλων τριών(συμπέρασμα)

Λες πως η 4 ειναι αληθής (αφού την εξισώνεις με μια εξίσωση απο την υπόθεση) και βάσει αυτού του συλλογισμού καταλήγεις ότι η 4 είναι αληθής. Δηλαδή, με λιγα λογια, λες:
Αν 4, Τότε 4.

Αυτό το λάθος το έχω συναντήσει και σε παιδιά της ηλικίας μου. Δούλεψε με ένα σχέδιο και στην επόμενη θα το καταφερεις

ποιο ειναι το λαθος ? δεν μου ζητα η υποθεση να αποδειξω πως (4) = 1 . Εγω αυτο που κανω ειναι να παρω μια εξισωση που ισουται με 1 και να δω εαν ειναι ισες . εαν ειναι τοτε αποδυκνυεται εχει καλως.

antwwwnis · 07-07-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
ποιο ειναι το λαθος ? δεν μου ζητα η υποθεση να αποδειξω πως (4) = 1 . Εγω αυτο που κανω ειναι να παρω μια εξισωση που ισουται με 1 και να δω εαν ειναι ισες . εαν ειναι τοτε αποδυκνυεται εχει καλως.

ναι μεν, αλλα χωρις να χρησιμοποιησεις τη (4). Δεν ξερω αν με καταλαβαινεις παλι. :/:

Dias · 08-07-11

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Αν α²+χ²=1 ① , β²+ψ²=1② , και αψ-βχ=1 ③
νδο οτι α²+β²=1

① + ② - 2∙③=> ... => (α-ψ)² + (β+χ)² = 0 =>α=ψ , β = -χ . . .

Guest 018946 · 08-07-11

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
① + ② - 2∙③=> ... => (α-ψ)² + (β+χ)² = 0 =>α=ψ , β = -χ . . .

ποιο το σκεπτικο σου?

Dias · 08-07-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
ποιο το σκεπτικο σου?

Αφού είχα τα τετράγωνα και τα γινόμενα, προσπάθησα να φτάσω σε ταυτότητες.

Guest 018946 · 08-07-11

ωραιος

wfgl · 8 Ιουλίου 2011

Βάζω και εγώ μια άσκηση που μου άρεσε :
Αν $\;$ $a,b,c>0\;(1)\;$ Nδο ${a}^{a}{b}^{b}{c}^{c}\geq \sqrt[2]{{a}^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}}\;$
Πότε ισχύει η ισότητα;

Θα βάλω και άλλη μία :
Αν a>0 Νδο: ${a}^{4}+\frac{2}{a}+\frac{1}{{a}^{2}}\geq 4$

rebel · 08-07-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Βάζω και εγώ μια άσκηση που μου άρεσε :
Αν $\;$ $a,b,c>0\;(1)\;$ Nδο ${a}^{a}{b}^{b}{c}^{c}\geq \sqrt[2]{{a}^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}}\;$
Πότε ισχύει η ισότητα;

${a}^{a}{b}^{b}{c}^{c}\geq \sqrt{{a}^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}}\Leftrightarrow {a}^{2a}{b}^{2b}{c}^{2c}\geq {a}^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}\Leftrightarrow a^{2a-b-c}b^{2b-a-c}c^{2c-a-b} \geq 1\Leftrightarrow a^{a-b}a^{a-c}b^{b-a}b^{b-c}c^{c-a}c^{c-b}\geq 1 \Leftrightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^{a-b} \left(\frac{a}{c}\right)^{a-c} \left(\frac{b}{c}\right)^{b-c} \geq 1 \, (2)$

Θα δείξουμε ότι για $a,b>0, \, \left(\frac{a}{b}\right)^{a-b} \geq 1$ οπότε κυκλικά $\left(\frac{a}{c}\right)^{a-c} \geq 1, \, \left(\frac{b}{c}\right)^{b-c} \geq 1$ και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε την (2)

Αν $a=b$ τότε έχω ισότητα.
Αν $a>b$ τότε $a-b>0$ και $\frac{a}{b}>1$ οπότε $\left(\frac{a}{b}\right)^{a-b} > 1$
Αν $a<b$ τότε $b-a>0$ και $\frac{b}{a}>1$ οπότε $\left(\frac{b}{a}\right)^{b-a} > 1\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^{a-b} > 1$

Ισότητα έχουμε για $a=b=c$

antwwwnis · 08-07-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Θα βάλω και άλλη μία :
Αν a>0 Νδο: ${a}^{4}+\frac{2}{a}+\frac{1}{{a}^{2}}\geq 4$

Εγώ το έφερα σε πολυωνυμικη μορφή, έκανα και 2 χορνερ και βγήκε αυτο:

(α-1)²(α^4 +2α^3 + 3α^2 +4α +1)>ή ισο με 0

Το P(α) ειναι θετική ποσότητα (ως αθροισμα θετικων γιατι α>0)
αρα μας μενει

(α-1)>ή ισο με 0 που ειναι αληθης

wfgl · 09-07-11

@styt_geia τα δεδομένα της άσκησης είναι τα εξής : a,b,c>0 και με κατάλληλες ισοδυναμίες και συλλογισμούς πρέπει να καταλήξουμε στο ζητούμενο. Εσύ χρησιμοποίησες και το ζητούμενο.Δεν ξέρω αν όντως η λύση σου είναι σωστή
@antwwwnis

Σωστός
Παραθέτω έναν άλλο τρόπο λύσης
${a}^{4}+\frac{2}{a}+\frac{1}{{a}^{2}} = {{a}^{2}}^{2} + \left( \frac{1}{{a}^{2}}\right)+\frac{2}{a}\geq 2{a}^{2}\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=2a+\frac{2}{a}=2\left(a+\frac{1}{a} \right)\geq 2*2=4$ ,καθώς ισχύει ότι:
α) ${a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab$
β) $a+\frac{1}{a}\geq 2$

13diagoras · 09-07-11

Να παραθεσω εναν τροπο για την δευτερη ασκηση που διαφερει λιγο απο τους παραπανω,αν και εφαρμοζεται το ιδιο Θεωρημα.
Ειναι:
${\alpha }^{4}+\frac{2}{\alpha }+\frac{1}{{\alpha }^{2}}={\alpha }^{4}+\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{{\alpha }^{2}}\geq 4 \sqrt[4]{{\alpha }^{4} \frac{1}{\alpha } \frac{1}{\alpha } \frac{1}{{\alpha }^{2}}}=4$ ,
με εφαρμογη του ΑΜ-GM.(H γενικευμενη ανισοτητα αυτης που παρατεθηκε παραπανω)

ξαροπ · 09-07-11

Μια διαφορετική προσέγγιση της προτελευταίας άσκησης.

Ισχύει $a^ab^b \geq a^bb^a$ για α,β θετικούς.

- Αν α=β, τότε η ισότητα παραπάνω είναι προφανής.

- Αν α>β τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναμα $(ab)^b(a^{a-b} - b^{a-b}) \geq 0$ που ισχύει αφού α-β > 0

- Αν α<β τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναμα $(ab)^a(b^{b-a} - a^{b-a})$ που ισχύει αφού β-α > 0

Με πολλαπλασιασμό των $a^ab^b \geq a^bb^a, b^bc^c \geq b^cc^b, c^ca^a \geq c^aa^c$ προκύπτει το ζητούμενο με ισότητα για $a = b = c$ .

(ΥΓ. ξεφεύγουμε λίγο από το σχολικό επίπεδο; Αν μη τι άλλο, μην απογοητευτεί όποιος μπαίνει στο τόπικ και προετοιμάζεται για την α' λυκείου)

wfgl · 09-07-11

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Να παραθεσω εναν τροπο για την δευτερη ασκηση που διαφερει λιγο απο τους παραπανω,αν και εφαρμοζεται το ιδιο Θεωρημα.
Ειναι:
${\alpha }^{4}+\frac{2}{\alpha }+\frac{1}{{\alpha }^{2}}={\alpha }^{4}+\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{{\alpha }^{2}}\geq 4 \sqrt[4]{{\alpha }^{4} \frac{1}{\alpha } \frac{1}{\alpha } \frac{1}{{\alpha }^{2}}}=4$ ,
με εφαρμογη του ΑΜ-GM.(H γενικευμενη ανισοτητα αυτης που παρατεθηκε παραπανω)

Γενικά αν ${a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{n}> 0$ , τότε $\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+...+{a}_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{{a}_{1}{a}_{2}...{a}_{n}}\geq \frac{n}{\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+...+\frac{1}{{a}_{n}}}}}$
Η ανισότητα λέγεται (AM-GM-HM) ή ανισότητα του αριθμητικού,γεωμετρικού και αρμονικού μέσου
Η ισότητα ισχύει για ${a}_{1}={a}_{2}=...={a}_{n}$

antwwwnis · 09-07-11

(ΥΓ. ξεφεύγουμε λίγο από το σχολικό επίπεδο; Αν μη τι άλλο, μην απογοητευτεί όποιος μπαίνει στο τόπικ και προετοιμάζεται για την α' λυκείου)

Συμφωνώ. Κάποιες απ αυτές δυσκολεύουν κι εμάς!
Να δημιουργηθεί άλλο τόπικ για τέτοιες ασκήσεις.

rebel · 09-07-11

Χρησιμοποιώ την μέθοδο του "αρκεί". Έστω γενικά ότι θέλω να αποδείξω μια πρόταση $p$ η οποία όμως δεν είναι εύκολο να αποδειχθεί και έστω ότι υπάρχει μια ισοδύναμη με αυτή πρόταση $q$ η οποία είναι ευκολότερο να αποδειχθεί. Αρκεί να αποδείξω ότι η $q$ είναι αληθής διότι αφού $p\Leftrightarrow q$ τότε και η $p$ θα είναι αληθής.
Αυτό μπορεί να γενικευτεί για μία ακολουθία προτάσεων με τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή για να δείξω την $p$ αρκεί να δείξω την $q$ , αρκεί να δείξω την $r$ ,..., αρκεί να δείξω την $l$ που ισχύει.
Δες για παράδειγμα και την απόδειξη της σχέσης $a+\frac{1}{a}\geq 2 , \, a>0$ στο σχολικό βιβλίο σελ. 31

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Επιφανές μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος