Μαθηματικά: αντίστροφη συνάρτηση και ανίσωση

[Samael]

AX NAIII θεε μου τι εχω παθει

Βασικά χαράς στο κουράγιο σου , έχει αρκετή ζέστη . Να κάνεις διαλείμματα !

Μάθε όμως από το λάθος σου . Ο τρόπος που σκέφτηκες ήταν έξυπνος , αλλά δεν δούλεψε γιατί σε μια εξίσωση που ψάχνεις για ποια x ισχύει , δεν μπορείς να αντικαταστήσεις μια συνάρτηση .

Θέλω να πω , είναι σαν να σε ρωτάω ποιος αριθμός είναι το μισό του τετραγώνου του , και να απαντάς η f(x) .

 

[Helen06]

Βασικά χαράς στο κουράγιο σου , έχει αρκετή ζέστη . Να κάνεις διαλείμματα !

δε πειραζει η ζεστη μωρε, οι ασκησεις να βγαινουν και μια χαρα

 

[eukleidhs1821]

Γειά σας, μπορεί κάποιος να βοηθήσει σ'αυτήν την ανίσωση;

Σε περίπτωση που χρειαστεί αυτή είναι η δοσμένη σχέση, ωστόσο σ'αυτήν ζητάει και να βρω το πεδίο ορισμού, η ερώτησή μου για το π.ο είναι το ριζα(χ-3) +1 >0 ισχύει πάντα; δηλαδή θα ήταν λάθος αν πάω το 1 στο 2ο μέλος υψώσω στο τετράγωνο κλπ;

ρε συ συγγνωμη κιολας χωρις να θελω να σε προσβαλλω αυτο με το ριζα(χ-3)+1 το σκεφτεσαι σοβαρα?

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Αυγούστου 2023

Γεια σου Ελένη.

Το πεδίο ορισμού της f είναι το x >= 3 .
Η ρίζα είναι πάντα μη αρνητική , οπότε με + 1 έχεις μια καθαρά θετική ποσότητα στο όρισμα του λογάριθμου . Επομένως για να ορίζεται η συνάρτηση το μόνο που απαιτείται είναι το υπόριζο να είναι θετικό , το οποίο φυσικά σημαίνει το x να είναι >=3 .

Η ln για την ακρίβεια είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση , οπότε η -ln είναι γνησίως φθίνουσα . Το +3 απλά κάνει μια κατακόρυφη μετατόπιση οπότε δεν επηρεάζει την μονοτονία και έτσι η f είναι γνησίως φθίνουσα .

Αυτό μπορείς να το δείξεις εύκολα . Εαν ξέρεις οτι :
g(x) = -f(x) και η f είναι γνησίως αύξουσα , τότε :

x1 < x2 => f γνησίως αύξουσα
f(x1) < f(x2) =>
-f(x1) > -f(x2) =>
g(x1) > g(x2)

Οπότε πράγματι η g είναι γνησίως φθίνουσα .
Στην ανίσωση που έχεις να λύσεις λοιπόν μπορείς να περάσεις f και στα δύο μέλη αξιοποιώντας την μονοτονία της :

f-1(x) < e² -2e +4 => f γνησίως φθίνουσα
f(f-1(x)) > f(e² -2e +4) =>
x > f(e² -2e +4) =>
x > 3 - ln( sqrt( (e - 1)²) ) + 1) = 3 - ln( e - 1 + 1 ) = 3 - lne = 2
x > 2

Eδω φιλε επεσες σε μια σημαντικη παγιδα.Πραγματι τα κανεις ολα σωστα αλλα δεν αναφερεσαι στα σωστα χ!!!Τα χ για τα οποια λυνεις την ανισωση ειναι ουσιαστικα το συνολο τιμων της f!!!Mεγαλη προσοχη!Επομενως το χ>2 ειναι το (2,3] διοτι το συνολο τιμων της f ειναι (-00,3] αν πας να βρεις τα ορια!Καλη ασκηση παντως για να κατανοηθουν καποια πραγματα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Αυγούστου 2023

Λοιπον για να συνοψισουμε.Η ασκηση λυνεται με 2 τροπους.Ενας ρισκαδορικος αλλα μαγκικος και ενας πιο συμβατικος.Ο συμβατικος τροπος ειναι να βρεις την f^-1 με ολα τα γνωστα 1-1,συνολο τιμων.Φανταζομαι στη φαση που εισαι το συνολο τιμων το βρισκετε με τους περιορισμους χωρις παραγωγους κτλπ.Αργοτερα θα δεις ποσο πιο ευκολα ειναι.Φανταζομαι ως προς χ χωρις να χω κατσει να ασχοληθει θα λυνεται ευκολα.Πρεπει ομως να προσεξεις να λυσεις την ανισωση για τα χ του πεδιου ορισμου της αντιστροφης ομως!Αυτο ομως θα το χεις παρει χαμπαρι γτ ουσιαστικα δουλευεις με την f^-1.
O ρισκαδορικος τροπος ειναι να βρεις την μονοτονια της f που ειναι γνησιως φθινουσα που σου εξασφαλιζει το 1-1 και αντιστροφη και μετα το συνολο τιμων που ειναι ευκολο αν κανεις τα ορια στο 3 και στο +00 που ειναι 3 και -00 αντιστοιχα δηλαδη (-00,3].Αρα την ανισωση την λυνεις για τα χ<=3!!Αν λοιπον φορεσεις την f στην ανισωση υπαρχει μια ιδιοτητα f^-1(f(x))=x για τα χ που ανηκουν στο συνολο τιμων της f θα δεις οτι η ανισωση αυτη σου βγαζει χ>2.Ομως αν το συναληθευσεις με το χ<=3 η λυση ειναι το (2,3].

 

[Samael]

ρε συ συγγνωμη κιολας χωρις να θελω να σε προσβαλλω αυτο με το ριζα(χ-3)+1 το σκεφτεσαι σοβαρα?

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 25 Αυγούστου 2023

Eδω φιλε επεσες σε μια σημαντικη παγιδα.Πραγματι τα κανεις ολα σωστα αλλα δεν αναφερεσαι στα σωστα χ!!!Τα χ για τα οποια λυνεις την ανισωση ειναι ουσιαστικα το συνολο τιμων της f!!!Mεγαλη προσοχη!Επομενως το χ>2 ειναι το (2,3] διοτι το συνολο τιμων της f ειναι (-00,3] αν πας να βρεις τα ορια!Καλη ασκηση παντως για να κατανοηθουν καποια πραγματα

Ναι , όταν το έγραφα θεώρησα αυτονόητο οτι κάποιος θα δεχτεί τα x > 2 τα οποία ανήκουν φυσικά στο πεδίο ορισμού της f-1 . Αλλά δεν είναι ξεκάθαρο αυτό όπως δίνεται η απάντηση . Οπότε η πλήρης , σωστή και τυπική απάντηση πρέπει να είναι πράγματι το (2,3] για να μην υπάρξει κανένα περιθώριο αμφιβολίας ή παρερμηνείας .

Ευχαριστώ που το εντόπισες .

 

[eukleidhs1821]

Ναι , όταν το έγραφα θεώρησα αυτονόητο οτι κάποιος θα δεχτεί τα x > 2 τα οποία ανήκουν φυσικά στο πεδίο ορισμού της f-1 . Αλλά δεν είναι ξεκάθαρο αυτό όπως δίνεται η απάντηση . Οπότε η πλήρης , σωστή και τυπική απάντηση πρέπει να είναι πράγματι το (2,3] για να μην υπάρξει κανένα περιθώριο αμφιβολίας ή παρερμηνείας .

Ευχαριστώ που το εντόπισες .

Ναι ειναι ενα σημαντικο στοιχειο της ασκησης που πρεπει να γινει κατανοητο!

 

[Helen06]

Εννοείς το που ανήκει τελικά το χ; στις λύσεις λέει χ>2

 

[Cade]

στις λύσεις λέει χ>2

Έχει κάνει λάθος

 

[Samael]

Εννοείς το που ανήκει τελικά το χ; στις λύσεις λέει χ>2

Θεωρούν αυτονόητη την συναλίθευση με το πεδίο ορισμού της f-1 .
π.χ. εαν σου δώσω f(x) = sqrt(x)
Και σου πω λύσε την : f(x) <= 9 , θα μου πεις x <= 3 .
Συνήθως αυτό είναι μια χαρά στον προφορικό λόγο γιατί όλοι καταλαβαίνουμε οτι προφανώς είναι δεκτά μόνο τα x μικρότερα του 3 τα οποία θα ανήκουν στο πεδίο ορισμού . Αλλά η απάντηση απο τυπικής άποψης δεν είναι πλήρης .

 

[eukleidhs1821]

Εννοείς το που ανήκει τελικά το χ; στις λύσεις λέει χ>2

Λεει χ>2 στις λυσεις?

 

[Helen06]

Λεει χ>2 στις λυσεις?

ναι