Σωστή Χρήση Ισοδυναμίας/Συνεπαγωγης στα Μαθηματικά

[Cade]

Καλησπέρα σας. Τον τελευταίο καιρό μου έχει δημιουργηθεί μια απορία όσον αφορά τη σωστή χρήση των δύο συμβόλων. Πολλές φορές βλέπω διαφορετική χρήση σε ίδια πράγματα και θα ήθελα να μάθω τι είναι σωστό και τι λανθασμένο επειδή προσπαθώ να μη δουλεύω μηχανικά. Ξέρω ότι σε ορισμούς γίνεται χρήση συνεπαγωγης και σε εξισώσεις, συστήματα, ανισωσεις γίνεται περισσότερο η χρήση των ισοδυναμιών (εκτός από μερικές περιπτώσεις). Στις πανελλαδικές δεν ξέρω αν παίζει κάποιο σημαντικό ρόλο η απόλυτη και ορθή χρήση τους απλά θα ήθελα να ξεκαθαρίσω λίγα πράγματα στο μυαλό μου(για να μη γράφω και ότι να ναι ). Πιο παλιά είχα διαβάσει εδώ ότι είχαν αντικαταστήσει το συνεπάγεται με λέξεις όπως "ή", "οπότε", "άρα" κλπ αλλά ετσι όπως πανε στο τέλος θα γράφουμε έκθεση αντί για μαθηματικά. Συγγνωμη αν σας κούρασα και ευχαριστώ όποιον είχε την υπομονή να διαβάσει όλο αυτό το κατεβατο.

 

[Panagiotis849]

Καλησπέρα σας. Τον τελευταίο καιρό μου έχει δημιουργηθεί μια απορία όσον αφορά τη σωστή χρήση των δύο συμβόλων. Πολλές φορές βλέπω διαφορετική χρήση σε ίδια πράγματα και θα ήθελα να μάθω τι είναι σωστό και τι λανθασμένο επειδή προσπαθώ να μη δουλεύω μηχανικά. Ξέρω ότι σε ορισμούς γίνεται χρήση συνεπαγωγης και σε εξισώσεις, συστήματα, ανισωσεις γίνεται περισσότερο η χρήση των ισοδυναμιών (εκτός από μερικές περιπτώσεις). Στις πανελλαδικές δεν ξέρω αν παίζει κάποιο σημαντικό ρόλο η απόλυτη και ορθή χρήση τους απλά θα ήθελα να ξεκαθαρίσω λίγα πράγματα στο μυαλό μου. Πιο παλιά είχα διαβάσει εδώ ότι είχαν αντικαταστήσει το συνεπάγεται με λέξεις όπως "ή", "οπότε", "άρα" κλπ αλλά ετσι όπως πανε στο τέλος θα γράφουμε έκθεση αντί για μαθηματικά. Συγγνωμη αν σας κούρασα και ευχαριστώ όποιον είχε την υπομονή να διαβάσει όλο αυτό το κατεβατο.

Όταν ήμουν εγώ στη Γ' Λυκείου, θυμάμαι οι καθηγητές στο σχολείο μας έλεγαν να βάζουμε συνεπάγεται εφόσον δεν είμαστε σίγουροι ότι ισχύει και το αντίστροφο και ότι δεν θα πιανόταν λάθος. Εγώ ισοδυναμία έβαζα σε ορισμούς κλπ ή όπου τέλος πάντων, ήμουν απόλυτα σίγουρος ότι ίσχυε και το αντίστροφο.

 

[eukleidhs1821]

καλο ειναι να το ξεκαθαρισεις αυτο.συνεπαγεται βαζεις οταν πας απο το ενα μελος στο αλλα αναποδα δεν μπορεις να πας,ισοδυναμα οταν μπορεις να πας και στα 2 μελη.παιζει σημαντικο ρολο σε ασκησεις και πρεπει να το καταλαβεις.πχ σκεψου ενα απλο παραδειγμα.οταν εχεις χ=y προφανως χ^2=y^2 ομως αν εχεις χ^2=y^2 δεν δικαιουσαι να πεις χ=y αντιθετα αν εχεις χ=y μπορεις ισοδυναμα να πεις χ^3=y^3

 

[Cade]

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Θα σας δώσω ένα παράδειγμα για να σιγουρευτώ επειδή ακόμη είμαι λιγάκι μπερδεμένος. Ας πούμε ότι έχουμε να αποδείξουμε πως μια συνάρτηση είναι 1-1. Τότε χρησιμοποιούμε με βάση το θεώρημα συνεπαγωγες[ (fx1)=(fx2) =>x1=x2 ] . Αν όμως μας ζητάει να ελέγξουμε αν είναι 1-1 και τελικά δεν είναι, τότε θα βάλουμε ισοδυναμίες ή συνεπαγωγές ;

 

[eukleidhs1821]

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Θα σας δώσω ένα παράδειγμα για να σιγουρευτώ επειδή ακόμη είμαι λιγάκι μπερδεμένος. Ας πούμε ότι έχουμε να αποδείξουμε πως μια συνάρτηση είναι 1-1. Τότε χρησιμοποιούμε με βάση το θεώρημα συνεπαγωγες[ (fx1)=(fx2) =>x1=x2 ] . Αν όμως μας ζητάει να ελέγξουμε αν είναι 1-1 και τελικά δεν είναι, τότε θα βάλουμε ισοδυναμίες ή συνεπαγωγές ;

αυτος ο ορισμος της 1-1 ισχυει και ισοδυναμα.σκεψου αν εχεις χ1=χ2 τοτε προφανως απο τον ορισμο της συναρτησης θα ισχυει και φ(χ1)=φ(χ2).ενα χ παει παντα σε ενα y.οποτε μην ανησυχεις για το ισοδυναμα σε σχεση με την 1-1.απλα αν σου ζητησει τον ορισμο εσυ το λες οπως το βιβλιο

 

[Samael]

Καλησπέρα σας. Τον τελευταίο καιρό μου έχει δημιουργηθεί μια απορία όσον αφορά τη σωστή χρήση των δύο συμβόλων. Πολλές φορές βλέπω διαφορετική χρήση σε ίδια πράγματα και θα ήθελα να μάθω τι είναι σωστό και τι λανθασμένο επειδή προσπαθώ να μη δουλεύω μηχανικά. Ξέρω ότι σε ορισμούς γίνεται χρήση συνεπαγωγης και σε εξισώσεις, συστήματα, ανισωσεις γίνεται περισσότερο η χρήση των ισοδυναμιών (εκτός από μερικές περιπτώσεις). Στις πανελλαδικές δεν ξέρω αν παίζει κάποιο σημαντικό ρόλο η απόλυτη και ορθή χρήση τους απλά θα ήθελα να ξεκαθαρίσω λίγα πράγματα στο μυαλό μου(για να μη γράφω και ότι να ναι ). Πιο παλιά είχα διαβάσει εδώ ότι είχαν αντικαταστήσει το συνεπάγεται με λέξεις όπως "ή", "οπότε", "άρα" κλπ αλλά ετσι όπως πανε στο τέλος θα γράφουμε έκθεση αντί για μαθηματικά. Συγγνωμη αν σας κούρασα και ευχαριστώ όποιον είχε την υπομονή να διαβάσει όλο αυτό το κατεβατο.

Εάν σε ενδιαφέρει να εμβαθύνεις, πάρε ένα βιβλίο που εστιάζει στην μαθηματική λογική. Μαθαίνεις πολύ περισσότερα για την επιστήμη των μαθηματικών, από όσα σου διδάσκουν αρκετές ασκήσεις στο λύκειο . Τουλάχιστον για εμένα ήταν πολύ πιο διασκεδαστικός από τον λογισμό της γ λυκείου που είναι πιο πολλοί εφαρμογές και εξάσκηση, χωρίς ιδιαίτερα εμβάθυνση στο σημαντικότερο κεφάλαιο των μαθηματικών. Την λογική.

Εαν έχεις όρεξη να κάψεις σε μεγάλο βαθμό το κεφάλι σου, με δική σου ευθύνη διάβασε τα παρακάτω, για να κατανοήσεις πόσο σημαντική είναι η λογική αλλά σχεδόν πάντα παραλείπεται μια εκτενής αναφορά σε αυτή, στο σχολείο :

Spoiler

Για να το ξεκαθαρίσεις όμως, θα σου πω λίγα βασικά. Μια πρόταση είναι μια δήλωση που παίρνει μια τιμή αληθείας. Δηλαδή Αληθές ή ψευδές. Για παράδειγμα το 1>0 είναι μια αληθής πρόταση. Το 3 = 8 είναι μια ψευδής πρόταση. Το χ > 1 δεν είναι πρόταση, γιατί είναι αληθές για κάποιες τιμές του x ενώ για άλλες όχι. Μέχρι να αντικαταστήσεις κάποια,δεν μπορείς να αποφανθείς για την τιμή της αλήθεια της. Μπορεί να μετατραπεί βέβαια σε μια πρόταση, με χρήση των universal(για κάθε) & existential(υπάρχει) quantifiers και χρήση κατηγορήματος(P(x) πρόταση). Αλλά ας μην ξεφεύγουμε...

Ας συμβολίσουμε μια πρόταση p , και μια άλλη q. Καθεμία απο αυτές τις προτάσεις μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Για παράδειγμα θεωρούμε την πρόταση p : "1>0" .Σε αυτή την περίπτωση λέμε οτι η p είναι αληθής ή απλά λέμε "έστω p " , που σημαίνει " η πρόταση p είναι αληθής" .

Συμβολίζουμε την λογική άρνηση της πρότασης p με έναν τόνο ,ως p' . Τι είναι το p' όμως ; Το p' είναι η πρόταση : 1<= 0 η άρνηση δηλαδή της αρχικής πρότασης. Προφανώς η πρόταση p και η p' έχουν ΠΑΝΤΑ αντίθετες τιμές αληθείας*. Εαν βρούμε δηλαδή την p ως αληθή, τότε η p' είναι ψευδής. Διαφορετικά εαν βρούμε την p' ως αληθή, τότε η p είναι ψευδής.

Τώρα που ξέρεις κάποια βασικά,ας αίρουμε την μηχανιστική και ξερή λέξη "συνεπάγεται". Ας θεωρήσουμε δυο λογικές προτάσεις p και q . Και θεωρούμε την πρόταση p => q . Αυτό είναι μια καινούρια πρόταση με λογικές μεταβλητές τις προτάσεις p και q όμως. Πολύ απλό το γιατί...γιατί και αυτή η πρόταση χαρακτηρίζεται απο μια τιμή αλήθειας. Πάρε ένα παράδειγμα :

Εαν δεν βρέχει => θα πάω στο πάρκο.

πρόταση p : δεν βρέχει
πρόταση p' : βρέχει (θυμήσου,λογική άρνηση)
πρόταση q : θα πάω στο πάρκο.
πρόταση q' : δεν θα πάω στο πάρκο.

Ας πάρουμε την περίπτωση όπου
Έστω οτι η p είναι αληθής.Τότε πράγματι δεν βρέχει.
Έστω οτι είναι και η q αληθής,δηλαδή : Πήγα στο πάρκο.
Τότε όλα μια χαρά. Η πρόταση "εαν δεν βρέξει => θα πάω στο παρκο" είναι αληθής.

Εαν όμως η p είναι αληθής, δηλαδή εαν δεν βρέχει, αλλά εγώ δεν πάω στο πάρκο, δηλαδή η q' είναι αληθής (προσοχή η λογική άρνηση της q όχι η q)... σε αυτή την περίπτωση η πρόταση :

"εαν δεν βρέξει => θα πάω στο πάρκο " , είναι ψευδής. Γιατί η "συμφωνία" ήταν οτι εαν δεν βρέχει,θα πάω σοτ πάρκο. Αλλά εγώ δεν πήγα,έκανα του κεφαλιού μου.

Απο την άλλη,σκέψου τι θα συνέβαινε εαν έβρεχε και εγώ πήγαινα στο πάρκο! Η πρόταση "Εαν δεν βρέχει,τότε θα πάω στο πάρκο" ,είναι και πάλι αληθής,γιατί στην "συμφωνία μας", σου είπα τι θα κάνω εαν δεν έβρεχε. Δεν είπα τι θα κάνω εαν βρέχει .

Όλα τα προηγούμενα είναι μια πολύ σύντομη προετοιμασία για την πραγματική μας κουβέντα. Η οποία είναι...τι γίνεται με το συνεπάγεται τελικά. Μπορούμε να το γράψουμε συμβολικά έτσι:

p => q

Ο σωστός τρόπος να το διαβάσουμε είναι :
"Το p συνεπάγεται το q" ή πιο απλά "p συνεπάγεται q". Ποτέ δεν διαβάζουμε μεμονωμένα και μηχανιστικά το συνεπάγεται επειδή μας είπαν να το κοτσάρουμε μεταξύ δυο προτάσεων όμως. Όχι εαν θέλουμε να το κατανοήσουμε πραγματικά. Και ο καλύτερος τρόπος να κατανοήσουμε κάτι πραγματικά είναι να πειραματιστούμε μαζί του,να παίξουμε, και να το σκεφτούμε ύπο πολλές και διαφορετικές οπτικές.

Ας δούμε λοιπόν άλλους τρόπους να εκφράσουμε το p => q :

1. p συνεπάγεται q
2. Εαν ισχύει το p , τότε ισχύει και το q
3. Εαν p , τότε q
4. Το q είναι συμπέρασμα του p
5. Το q είναι συνέπεια του p
6. Το q προκύπτει απο το p
7. Το q είναι ακόλουθο του p
8. Η αλήθεια του p οδηγεί στην αλήθεια του q
9. Το p ισχύει μόνο εαν ισχύει το q
10. p μόνο αν q.
11. q εαν p

Απο τα προηγούμενα ας κυκλώσουμε το "p μόνο εαν q" και το "q εαν p". Το τελευταίο είναι εύκολο να καταλάβεις γιατί είναι ίδιο με το "p συνεπάγεται q". Το "p μόνο εαν q" ίσως όχι και τόσο. Για να το δούμε λοιπόν :

Ουσιαστικά σου λέει οτι, κοίταξε να δεις,δεν μπορεί να ισχύει το p και να μην ισχύει το q αφού η πρόταση "Εαν συμβεί το p ,τότε θα συμβεί το q" είναι αληθής. Για να δεις να "συμβαίνει" το p, ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ θα δεις και το q; Αφού το q είναι λογική συνέπεια του p . Ααα...αυτό όμως είναι το ίδιο με το να λες "Εαν συμβεί το p,τότε θα συμβεί και το q" . Κοινώς "p συνεπάγεται q" .

Για σκέψου όμως και λίγο διαφορετικά τι σημαίνει το "p μόνο εαν q" . Σημαίνει οτι το q είναι ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ προϋπόθεση για να συμβεί(για να είναι αληθές δηλαδή) το p. Όχι όμως και ικανή... Και ας το δούμε και απο άλλη οπτική. Τι σημαίνει επίσης το p => q ; Σημαίνει οτι το p είναι μια ικανή συνθήκη,αφού αρκεί απλά να είναι αληθές το p, αλλά όχι και αναγκαία για να ισχύει το q. Δεν ξέρουμε δηλαδή οτι χρειάζεται οπωσδήποτε το p για να γίνει το q. Ξέρουμε απλά οτι η αλήθεια του p είναι αρκετή για να αποφανθούμε την αλήθεια του q.

Συνοψίζουμε, στο p => q : Η αλήθεια της q είναι αναγκαία για να είναι αλήθεια η p .
ΚΑΙ η αλήθεια της p είναι ικανή για συμπεράνουμε την αλήθεια του q.

Για να δούμε λοιπόν και το διπλό συνεπάγεται τώρα, που συμβολικά γράφεται :
p <=> q

Που σημαίνει :

Ισχύει : p => q ΚΑΙ : q => p

Πως μπορούμε να το διαβάσουμε βάσει των προηγούμενων ;
p εαν, και μόνο εαν q . Γιατί αναλύεται έτσι; Δες παρακάτω :

p εαν , q : q => p
p μόνο εαν q : p => q

Μαζί αυτά τα δύο ,δηλαδή "p εαν,ΚΑΙ μόνο εαν q" : p=>q και q => p, δηλαδή p <=> q.
Ένας εναλλακτικός τρόπος ακόμα να δεις το σύμβολο είναι να πεις :

1. Το p είναι ισοδύναμο με το q . Δηλαδή εαν το p είναι αληθές και το q είναι αληθές. Αντίστροφα, εαν το q είναι αληθές, και το p θα είναι αληθές.

2. Το p είναι αναγκαία ΚΑΙ ικανή συνθήκη για το q ή ισοδύναμα , το q είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για το p.
Διότι εφόσον έχουμε p => q και q => p , ισχύουν αυτά που είπαμε παραπάνω. Απο την πρώτη πρόταση(p=>q) προκύπτι οτι το q είναι αναγκαία συνθήκη για το p, και το p ικανή συνθήκη για το q) , και απο την δεύτερη πρόταση(q=>p) προκύπτει οτι το p είναι αναγκαία συνθήκη για το q και το q ικανή συνθήκη για το p.

3. p συνεπάγεται q και q συνεπάγεται p

4. Ισχύει εαν p τότε q, και αντίστροφα(εαν q, τότε p).

Εαν θέλεις να δεις τα όσα σου είπα παραπάνω με περισσότερη αυστηρότητα, διάβασε κάποιο βιβλίο όπως είπα. Εδώ δεν προσφέρεται ο χώρος για μια λεπτομερή ανάλυση. Θα μας έπαιρνε μερικά κεφάλαια...Σε κάθε περίπτωση εύγε για την απορία σου. Πολλοί νομίζουν οτι τα ξέρουν αλλά δεν τα ξέρουν, τα έχουν μάθει απλά μηχανικά. Ο κλάδος της λογικής είναι πολύ όμορφος και απέραντα χρήσιμος. Εαν συνεχίσεις με σπουδές στην πληροφορική ή την ηλεκτρονική μηχανική, θα μάθεις πως όλα αυτά είναι στην καρδιά κάθε υπολογιστικού συστήματος(παιχνιδομηχανής, επιτραπέζιου υπολογιστή, κινητών , εγκέφαλων αυτοκινήτων, ρομπότ κ.α.) και αποτελούν βάσεις για να σχεδιάσεις οποιοδήποτε λογικό κύκλωμα(σαν αυτό ενός μικροεπεξεργαστή για παράδειγμα). Ότι μπορεί να κάνει ένας υπολογιστής βασίζεται στα προηγούμενα .

 

[Cade]

Αρχικά χίλια ευχαριστώ για την εκτενέστατη ανάλυση σου πάνω στο θέμα γιατί πραγματικά ενδιαφέρομαι και θέλω επιτέλους να ξεκαθαρίσω αυτά τα δύο σύμβολα στο κεφάλι μου. Έχεις κανενα βιβλίο υπόψιν να μου προτείνεις για να ξεκινήσω;
Ευχαριστώ και πάλι

 

[Samael]

Αρχικά χίλια ευχαριστώ για την εκτενέστατη ανάλυση σου πάνω στο θέμα γιατί πραγματικά ενδιαφέρομαι και θέλω επιτέλους να ξεκαθαρίσω αυτά τα δύο σύμβολα στο κεφάλι μου. Έχεις κανενα βιβλίο υπόψιν να μου προτείνεις για να ξεκινήσω;
Ευχαριστώ και πάλι

Να'σαι καλα!
Εαν νιώθεις άνετα με τα αγγλικά,ένα πολύ καλό βιβλίο είναι το :
"Discrete Mathematics with Applications by Susanna S.Epp"

Είναι απλό βιβλίο, πολύ φιλικό ακόμα και για κάποιον τελείως άσχετο με τα μαθηματικά, με αρκετά παραδείγματα και ασκήσεις(με λύσεις κιόλας εαν θυμάμαι καλά). Τα πρώτα δυο κεφάλαια εστιάζουν στην λογική. Θα σου ξεδιαλύνουν αρκετά ερωτήματα. Τα μαθηματικά είναι κυρίως εξάσκηση, αλλά κάποια πράγματα εαν τα μάθεις απο νωρίς, θα σε βοηθήσουν αρκετά και θα κάνουν αποδοτική και ενδιαφέρουσα την διαδικασία. Θα σου πρότεινα επομένως να πιάσεις το βιβλίο το καλοκαίρι που δεν θα έχεις σχολείο, ή και τώρα σιγά σιγά εαν δεν δίνεις φέτος πανελλήνιες.

Εαν το συνεχίσεις παραπέρα θα μάθεις και αρκετά άλλα ωραία θέματα. Αποδεικτικές διαδικασίες για παράδειγμα αλλά και θα αποκτήσεις και διάφορες βασικές γνώσεις που είναι πολύ χρήσιμες και εντός και εκτός των μαθηματικών όπως βασική συνδυαστική, θεωρία πιθανοτήτων, δένδρα και γράφους, σχέσεις , σύνολα ,θεωρία αριθμών , αυτόματα , ακολουθίες & αναδρομή(πολύ ισχυρά εργαλεία στην πληροφορική) κ.α.

Γενικά, θα δεις αρκετά πράγματα που δεν θα δεις στο λύκειο και αρκετοί δεν τα βλέπουν και ποτέ. Εαν σκοπεύεις να περάσεις είτε στο μαθηματικό, είτε φυσικό είτε ημμυ, είτε πληροφορική ή κάποιο συναφές αντικείμενο, αυτό το βιβλίο είναι χρυσός για εσένα, ειδικά στην ηλικία που είσαι. Αφενός γιατί θα ενισχύσει την μαθηματική σου παιδεία εμπλουτίζοντας τα όσα ξέρεις με περισσότερες βασικές γνώσεις, και αφετέρου επειδή θα σε μυήσει στην μαθηματική σκέψη. Η οποία έχει απώτερο σκοπό να σε μάθει να σκέφτεσαι ορθά, δηλαδή να μπορείς να διαχωρίσεις τι είναι σωστό και τι λάθος, και να μπορείς να μάθεις πιο εύκολα οτιδήποτε καινούριο σου παρουσιάζεται. Οπότε πάρτο και άρχισε να το ξεφυλλίζεις εαν ενδιαφέρεσαι να καταπιαστείς σε ένα πιο σοβαρό επίπεδο με το μάθημα. Δεν θα αντιμετωπίσεις θέμα στο διάβασμα του καθώς έχει δομή που το καθιστά ιδανικό για αυτομελέτη, ενώ απο προ απαιτούμενα, χρειάζεσαι βασική άλγεβρα μόνο. Τα υπόλοιπα να τα αναλύει.

 

[Cade]

Ευχαριστω πολύ! Θα το κοιτάξω άμεσα.

 

[Samael]

Ευχαριστω πολύ! Θα το κοιτάξω άμεσα.

Εύχομαι καλό διάβασμα .

 

[fractal]

Εαν νιώθεις άνετα με τα αγγλικά

Υπάρχει και στα Ελληνικά μεταφρασμένο ως «Διακριτά Μαθηματικά με εφαρμογές» . Το έβλεπα πριν λίγες μέρες από εδώ :
https://www.klidarithmos.gr/diakrita-ma8hmatika-me-efarmoges

 

[Samael]

Υπάρχει και στα Ελληνικά μεταφρασμένο ως «Διακριτά Μαθηματικά με εφαρμογές» . Το παρήγγειλα πριν λίγες μέρες από εδώ :
https://www.klidarithmos.gr/diakrita-ma8hmatika-me-efarmoges

Αα μπράβο,δεν το ήξερα. Ορίστε !
Εαν θέλει κάποιος να το έχει και μεταφρασμένο για να το βάλει στην βιβλιοθήκη του,είναι ότι πρέπει.
Επίσης καλό, είναι του C.L. LIU απο τις Π.Ε.Κ. . Αλλά τούτο είναι "βαρύ" για έναν μαθητή λυκείου, επομένως θα πρότεινα να το τσιμπήσει όποιος έχει ήδη κάποιες βασικές γνώσεις απο ένα βιβλίο όπως αυτό που προτάθηκε ως τώρα.

 

[eukleidhs1821]

επειδη μπορει να μπλεχτεις σου συνιστω σε πρωτη φαση να αρκεστεις σε αυτα που θα χρειαστεις για γ λυκειου.η κεντρικη ιδεα ειναι αυτη που σου ειπα.αυτο αν ξερεις καλη αλγεβρα και καλη θεωρια στην αναλυση δεν μπορει να την πατησεις με την καμια.επισης,μια αρκετα καλη ασκηση για να καταλαβεις τον ρολο της ισοδυναμιας ειναι προσπαθησε να λυσεις μια αρρητη εξισωση ή ανισωση.θα δεις οτι δεν μπορεις να πας ισοδυναμα αλλα πας συνεπαγεται και στο τελος η καθε λυση που βρισκεις πας την επαληθευεις στην αρχικη να δεις αν ισχυει.εκει αν πας ισοδυναμα θα βγαλεις λυσεις που μπορει να παραβαινουν περιορισμους

 

[asdfqwerty]

Rosen δαγκωτο για διακριτα !!!

 

[eukleidhs1821]

samael πες για modus ponens να τρελαθουν ολοι

 

[Cade]

επειδη μπορει να μπλεχτεις σου συνιστω σε πρωτη φαση να αρκεστεις σε αυτα που θα χρειαστεις για γ λυκειου.η κεντρικη ιδεα ειναι αυτη που σου ειπα.αυτο αν ξερεις καλη αλγεβρα και καλη θεωρια στην αναλυση δεν μπορει να την πατησεις με την καμια.επισης,μια αρκετα καλη ασκηση για να καταλαβεις τον ρολο της ισοδυναμιας ειναι προσπαθησε να λυσεις μια αρρητη εξισωση ή ανισωση.θα δεις οτι δεν μπορεις να πας ισοδυναμα αλλα πας συνεπαγεται και στο τελος η καθε λυση που βρισκεις πας την επαληθευεις στην αρχικη να δεις αν ισχυει.εκει αν πας ισοδυναμα θα βγαλεις λυσεις που μπορει να παραβαινουν περιορισμους

Ας πούμε ότι εγώ είμαι μαζοχας, εάν βάλω περιορισμούς παντού, θα μπορεσω να αποφύγω τη διαδικασία της επαλήθευσης επομένως και του συνεπάγεται αντί για την ισοδυναμία; ( Προφανώς και δεν θα βάλω όλους τους περιορισμούς, ρωτάω από περιέργεια)

 

[Samael]

samael πες για modus ponens να τρελαθουν ολοι

Το modus ponens είναι βασικά ένα καλό παράδειγμα συλλογισμού που χρησιμοποιεί κανείς συνέχεια στα μαθηματικά...αλλά και στην καθημερινή ζωή, χωρίς να το αντιλαμβάνεται. Ένας συλλογισμός αποτελείται απο ένα σετ υποθέσεων, και μέσω αυτών, κάνοντας χρήση των κανόνων της λογικής, οδηγείσαι σε κάποιο συμπέρασμα.

Η δομή ενός modus ponens συλλογισμού είναι η εξής :

p => q
p
∴ q

Σε λόγια :

Ξέρω οτι ισχύει πως : εαν ισχύει η πρόταση p,τότε ισχύει η πρόταση q .
Ξέρω οτι ισχύει η πρόταση p.
Επομένως ισχύει το q.

Εκ πρώτης όψεως φαίνεται ίσως κάπως αυτονόητο. Και μάλλον για αυτό τα παίζει ο κόσμος όταν το βλέπει πρώτη φορά. Γιατί φαίνεται σαν να τους λες κάτι καινούριο, αλλά ταυτόχρονα μοιάζει τόσο αυτονόητο. Στην πραγματικότητα όμως, πρέπει να αναρωτηθούμε τι σημαίνει μια συνεπαγωγή να είναι αληθής. Ο πίνακας αληθείας της είναι ο εξής :

p q | p => q
T T | T
T F | F -> Είναι η μόνη περίπτωση που παραβιάζεται η "συμφωνία" της συνεπαγωγής.
F T | T
F F | T

Η πρώτη υπόθεση μας ( p => q) σημαίνει οτι η συνεπαγωγή είναι αληθής. Η δεύτερη υπόθεση λέει οτι το p είναι αληθής. Η μόνη γραμμή που το p και η συνεπαγωγή είναι αληθείς, είναι η πρώτη.Η οποία επιβάλλει το q να είναι επίσης αληθής. Να γιατί λοιπόν το modus tolens ισχύει.

Αξίζουν δυο παρατηρήσεις πιστεύω.

1.Η πρώτη είναι οτι οι υποθέσεις πρέπει να οδηγούν αναπόφευκτα στην αλήθεια του συμπεράσματος και όχι να "παίζει" εαν θα είναι αλήθεια ή όχι,ανάλογα άλλους παράγοντες.

2.Η λογική δεν εστιάζει τόσο στο νόημα των προτάσεων(μπορεί να μην βγάζουν νόημα καν), ούτε στο ακριβές περιεχόμενο τους. Εξετάζει την πιο αφηρημένη δομή που έχει η σκέψη μας.

Για παράδειγμα : εαν είμαι ψηλός => Είμαι πάνω απο 20 χρονών.

Στην δική μας γλώσσα και στην καθημερινή αντίληψη, δεν βγάζει κανένα απολύτως νόημα η σύνδεση ύψους και ηλικίας. Ωστόσο στα μαθηματικά δεν παίζει και τόσο ρόλο αυτό. Τα μαθηματικά ενδιαφέρονται για ένα πράγμα εφόσον δίνεις αυτή την συνεπαγωγή ως αληθείς. Να μην υπάρχει περίπτωση να είμαι ψηλός και να είμαι 20 χρονών είναι μικρότερος.

Για αυτό τον λόγο, τίποτα δεν είναι τόσο αυτονόητο στα μαθηματικά, όσο και εαν φαίνεται.
ΥΓ. Εδώ βρήκαμε και την λογική άρνηση της συνεπαγωγής : p ^ q' , δηλαδή να ισχύει το p και να μην ισχύει το q.

Γενικά εγώ ανέκαθεν απορούσα πως το σχολείο ξεκινάει να μαθαίνει κανείς λογισμό και διάφορα θεωρήματα χωρίς να μάθει κάποια βασικά πράγματα, απο τον πιο θεμελιώδη ίσως κλάδο που είναι η λογική. Και δεν λέω να εμβαθύνει σε απίστευτα αυστηρούς ορισμούς, κάποια βασικά μόνο. Θεωρώ οτι θα ήταν ιδιαίτερα διασκεδαστικό και εκπαιδευτικά πολύ ωφέλιμο να υπάρχει μια βασική συζήτηση γύρω απο αυτά τα θέματα. Σε κάθε περίπτωση,η λογική δεν είναι το πιο εύκολο θέμα, όσο και εαν νομίζουμε όλοι οτι την κατέχουμε(για αυτό είναι δύσκολη βασικά, επειδή είμαστε τόσο σίγουροι οτι την κατέχουμε). Τα μαθηματικά είναι ένας εξαιρετικός τρόπος να την ακονίζουμε .

 

[eukleidhs1821]

Ας πούμε ότι εγώ είμαι μαζοχας, εάν βάλω περιορισμούς παντού, θα μπορεσω να αποφύγω τη διαδικασία της επαλήθευσης επομένως και του συνεπάγεται αντί για την ισοδυναμία; ( Προφανώς και δεν θα βάλω όλους τους περιορισμούς, ρωτάω από περιέργεια)

δε σε συμφερει να βαλεις περιορισμους αν μιλαμε για αρρητη εξισωση γτ καπου χανεις τη μπαλα.βαζεις στην αρχη τους απαραιτητους περιορισμους και μετα πηγαινεις με υψωμα στο τετραγωνο.ειναι πολυ πιο απλο ετσι

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Ιουνίου 2021

θα με κανεις να ξαναδιαβασω μαθηματικη λογικη και δεν θα το ηθελα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Ιουνίου 2021

Το modus ponens είναι βασικά ένα καλό παράδειγμα συλλογισμού που χρησιμοποιεί κανείς συνέχεια στα μαθηματικά...αλλά και στην καθημερινή ζωή, χωρίς να το αντιλαμβάνεται. Ένας συλλογισμός αποτελείται απο ένα σετ υποθέσεων, και μέσω αυτών, κάνοντας χρήση των κανόνων της λογικής, οδηγείσαι σε κάποιο συμπέρασμα.

Η δομή ενός modus ponens συλλογισμού είναι η εξής :

p => q
p
∴ q

Σε λόγια :

Ξέρω οτι ισχύει πως : εαν ισχύει η πρόταση p,τότε ισχύει η πρόταση q .
Ξέρω οτι ισχύει η πρόταση p.
Επομένως ισχύει το q.

Εκ πρώτης όψεως φαίνεται ίσως κάπως αυτονόητο. Και μάλλον για αυτό τα παίζει ο κόσμος όταν το βλέπει πρώτη φορά. Γιατί φαίνεται σαν να τους λες κάτι καινούριο, αλλά ταυτόχρονα μοιάζει τόσο αυτονόητο. Στην πραγματικότητα όμως, πρέπει να αναρωτηθούμε τι σημαίνει μια συνεπαγωγή να είναι αληθής. Ο πίνακας αληθείας της είναι ο εξής :

p q | p => q
T T | T
T F | F -> Είναι η μόνη περίπτωση που παραβιάζεται η "συμφωνία" της συνεπαγωγής.
F T | T
F F | T

Η πρώτη υπόθεση μας ( p => q) σημαίνει οτι η συνεπαγωγή είναι αληθής. Η δεύτερη υπόθεση λέει οτι το p είναι αληθής. Η μόνη γραμμή που το p και η συνεπαγωγή είναι αληθείς, είναι η πρώτη.Η οποία επιβάλλει το q να είναι επίσης αληθής. Να γιατί λοιπόν το modus tolens ισχύει.

Αξίζουν δυο παρατηρήσεις πιστεύω.

1.Η πρώτη είναι οτι οι υποθέσεις πρέπει να οδηγούν αναπόφευκτα στην αλήθεια του συμπεράσματος και όχι να "παίζει" εαν θα είναι αλήθεια ή όχι,ανάλογα άλλους παράγοντες.

2.Η λογική δεν εστιάζει τόσο στο νόημα των προτάσεων(μπορεί να μην βγάζουν νόημα καν), ούτε στο ακριβές περιεχόμενο τους. Εξετάζει την πιο αφηρημένη δομή που έχει η σκέψη μας.

Για παράδειγμα : εαν είμαι ψηλός => Είμαι πάνω απο 20 χρονών.

Στην δική μας γλώσσα και στην καθημερινή αντίληψη, δεν βγάζει κανένα απολύτως νόημα η σύνδεση ύψους και ηλικίας. Ωστόσο στα μαθηματικά δεν παίζει και τόσο ρόλο αυτό. Τα μαθηματικά ενδιαφέρονται για ένα πράγμα εφόσον δίνεις αυτή την συνεπαγωγή ως αληθείς. Να μην υπάρχει περίπτωση να είμαι ψηλός και να είμαι 20 χρονών είναι μικρότερος.

Για αυτό τον λόγο, τίποτα δεν είναι τόσο αυτονόητο στα μαθηματικά, όσο και εαν φαίνεται.
ΥΓ. Εδώ βρήκαμε και την λογική άρνηση της συνεπαγωγής : p ^ q' , δηλαδή να ισχύει το p και να μην ισχύει το q.

Γενικά εγώ ανέκαθεν απορούσα πως το σχολείο ξεκινάει να μαθαίνει κανείς λογισμό και διάφορα θεωρήματα χωρίς να μάθει κάποια βασικά πράγματα, απο τον πιο θεμελιώδη ίσως κλάδο που είναι η λογική. Και δεν λέω να εμβαθύνει σε απίστευτα αυστηρούς ορισμούς, κάποια βασικά μόνο. Θεωρώ οτι θα ήταν ιδιαίτερα διασκεδαστικό και εκπαιδευτικά πολύ ωφέλιμο να υπάρχει μια βασική συζήτηση γύρω απο αυτά τα θέματα. Σε κάθε περίπτωση,η λογική δεν είναι το πιο εύκολο θέμα, όσο και εαν νομίζουμε όλοι οτι την κατέχουμε(για αυτό είναι δύσκολη βασικά, επειδή είμαστε τόσο σίγουροι οτι την κατέχουμε). Τα μαθηματικά είναι ένας εξαιρετικός τρόπος να την ακονίζουμε .

πχ πισω απο την προσθεση να ξεκιναγε να ορισει τι ειναι ομαδα και τι ειναι δακτυλιος?δεν νομιζω οτι θα ειχε καποια σκοπιμοτητα αυτο και τα μαθηματικα θα ηταν κυριολεκτικα για απειροελαχιστους.νομιζω στο λυκειο καλα οριζονται τα πραγματα ισως πρεπει να δοθει μια εμβαθυνση στο τι κρυβεται απο πισω και στην κατανοηση των εννοιων

 

[Samael]

δε σε συμφερει να βαλεις περιορισμους αν μιλαμε για αρρητη εξισωση γτ καπου χανεις τη μπαλα.βαζεις στην αρχη τους απαραιτητους περιορισμους και μετα πηγαινεις με υψωμα στο τετραγωνο.ειναι πολυ πιο απλο ετσι

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Ιουνίου 2021

θα με κανεις να ξαναδιαβασω μαθηματικη λογικη και δεν θα το ηθελα

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Ιουνίου 2021

πχ πισω απο την προσθεση να ξεκιναγε να ορισει τι ειναι ομαδα και τι ειναι δακτυλιος?δεν νομιζω οτι θα ειχε καποια σκοπιμοτητα αυτο και τα μαθηματικα θα ηταν κυριολεκτικα για απειροελαχιστους.νομιζω στο λυκειο καλα οριζονται τα πραγματα ισως πρεπει να δοθει μια εμβαθυνση στο τι κρυβεται απο πισω και στην κατανοηση των εννοιων

Εε όχι είπαμε,δεν υπάρχει λόγος να αναφερθεί κανείς σε δακτύλιους και ομάδες. Εαν και θα μπορούσε να γίνει μια γρήγορη εισαγωγή. Σίγουρα όχι όμως πριν μάθει κανείς αριθμητική πρώτα . Αυτά μπορούν κυρίως στο λύκειο να πιάσουν τόπο. Συγκεκριμένα Β και Γ λυκείου θεωρώ. Ακόμα και στο λύκειο όμως δεν πρέπει να βιάζεται κανείς να βρει τι είναι πίσω απο το κάθε τι(γιατί δεν είναι και λίγα αυτά που κρύβονται). Αλλά θεωρώ οτι είναι καλύτερο στα λυκειακά χρόνια , να δίνεται έμφαση στο range παρά στην δυσκολία των θεμάτων.

Όταν με το καλό κάποιος πάει στο πανεπιστήμιο έχει οοοσο χρόνο θέλει να εμβαθύνει στο κάθε τι. Οπότε είναι σημαντικό να αναπτύξει την φαντασία του και την αντίληψη του όσο είναι στο λύκειο, αποκτώντας ένα ευρύ φάσμα γνώσεων, παρά να παίζει στα δάχτυλα 1-2 θέματα μόνο. Δυστυχώς οι πανελλήνιες είναι διαγωνισμός, και η έμφαση δεν δίνεται στην μόρφωση και την ποιότητα αυτής, αλλά στο να υπάρχουν πολύ δύσκολα και ανταγωνιστικά θέματα. Ανεξάρτητα μάλιστα εαν εκπαιδευτικά και παιδαγωγικά προσφέρουν στους μαθητές κάτι στην πραγματικότητα.

 

[eukleidhs1821]

Εε όχι είπαμε,δεν υπάρχει λόγος να αναφερθεί κανείς σε δακτύλιους και ομάδες. Εαν και θα μπορούσε να γίνει μια γρήγορη εισαγωγή. Σίγουρα όχι όμως πριν μάθει κανείς αριθμητική πρώτα . Αυτά μπορούν κυρίως στο λύκειο να πιάσουν τόπο. Συγκεκριμένα Β και Γ λυκείου θεωρώ. Ακόμα και στο λύκειο όμως δεν πρέπει να βιάζεται κανείς να βρει τι είναι πίσω απο το κάθε τι(γιατί δεν είναι και λίγα αυτά που κρύβονται). Αλλά θεωρώ οτι είναι καλύτερο στα λυκειακά χρόνια , να δίνεται έμφαση στο range παρά στην δυσκολία των θεμάτων.

Όταν με το καλό κάποιος πάει στο πανεπιστήμιο έχει οοοσο χρόνο θέλει να εμβαθύνει στο κάθε τι. Οπότε είναι σημαντικό να αναπτύξει την φαντασία του και την αντίληψη του όσο είναι στο λύκειο, αποκτώντας ένα ευρύ φάσμα γνώσεων, παρά να παίζει στα δάχτυλα 1-2 θέματα μόνο. Δυστυχώς οι πανελλήνιες είναι διαγωνισμός, και η έμφαση δεν δίνεται στην μόρφωση και την ποιότητα αυτής, αλλά στο να υπάρχουν πολύ δύσκολα και ανταγωνιστικά θέματα. Ανεξάρτητα μάλιστα εαν εκπαιδευτικά και παιδαγωγικά προσφέρουν στους μαθητές κάτι στην πραγματικότητα.

πχ αυτο που γινοταν παλαιοτερα στη β λυκειου και τωρα καταργηθηκε ειναι η μαθηματικη επαγωγη.ενα χρησιμο θεωρημα που ειναι ωραιο να το εισαγεις στους μαθητες.απορω γτ δεν το κανουνε πλεον