Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

mic97 · 07-03-13

να οριστεί αναδρομικά : α(v)= 3^ν - 2

Τάσος97 · 07-04-13

Αν έχει κανείς καμμία άσκηση πάνω στις εξίσωσεις ή ανισώσεις ας την πετάξει εδώ. Κάνω επανάληψη και θέλω καμμία άσκηση να λύσω

vimaproto · 07-04-13

Αρχική Δημοσίευση από Xaris SSSS:
Αν οι αριθμοί a, b, c είναι διαφορετικοί ανά δυο, να δείξετε ότι το τριώνυμο:
$f(x) = (a-b)(x-a)(x-b) + (b-c)(x-b)(x-c) + (a-c)(x-a)(x-c)$

έχει 2 ρίζες

Η διακρίνουσα είναι Δ=4(α-γ)²[(α-β)²+(β-γ)²]>0 αφού α, β, γ άνισα

vimaproto · 07-04-13

Αρχική Δημοσίευση από mic97:
να οριστεί αναδρομικά : α(v)= 3^ν - 2

Για ν=1 είναι α1=1

${\alpha }_{\nu }={3}^{\nu }-2\Rightarrow {3}^{\nu }={\alpha }_{\nu }+2\\{\alpha }_{\nu +1}={3}^{\nu +1}-2=3.{3}^{\nu}-2=3.({\alpha }_{\nu }+2)-2=3{\alpha }_{\nu }+4$

InequalityIsMe · 11 Απριλίου 2013

Γεια σε όλους, θα παραθέσω και εγώ μία άσκηση πάνω στις αλγεβρικές ανισότητες.
Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c,d\succ 0$ για τους οποίους ισχύει ότι $abcd=ab+bc+cd+ad$ . Για τους αριθμούς αυτούς να αποδείξετε ότι:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq \frac{32}{3}+\frac{32}{3ac}+\frac{32}{3bd}$
Μπορούμε ακόμα να συμπεράνουμε ότι:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq16$ ?
Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

IasonasM · 11-04-13

Για το 1ο:

αβγδ=αβ+βγ+γδ+δα → αβγδ=(α+γ)(β+δ)
Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου : α+γ≥2√αγ και β+δ≥2√βδ
Άρα αβγδ ≥ 4√αβγδ → αβγδ≥16
Ισχύουν :α²+β² ≥ 2αβ, α²+γ² ≥ 2αγ, α²+δ² ≥ 2αδ, β²+γ² ≥ 2βγ, β²+δ² ≥ 2βδ, γ²+δ² ≥ 2γδ
Με πρόσθεση και διαίρεση δια 3: (α²+β²+γ²+δ²) ≥ 2/3*(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ) = 2/3*(αβγδ+αγ+βδ) = 2/3*αβγδ*(1+1/αγ + 1/βδ)
Αφού αβγδ≥16, έχουμε (α²+β²+γ²+δ²) ≥ 32/3+32/3αγ + 32/3βδ

Ασκ/
α = 111...1 (2ν ψηφία) + 111...1 (ν+1 ψηφία) + 666...6 (ν ψηφία) + 8
ΝΔ ότι ο α είναι τέλειο τετράγωνο.

InequalityIsMe · 11 Απριλίου 2013

Πολύ σωστά, μένει ακόμα και το δεύτερο ερώτημα βέβαια.
Μία ακόμα:
Για τους θετικούς αριθμούς μεγαλύτερους της μονάδας $a,b,c>1$ να αποδείξετε ότι
$\frac{a}{lna+lnb}+\frac{b}{lnb+lnc}+\frac{c}{lnc+lna}\geq \frac{1}{2}+e$
όπου e ο αριθμός euler (2,71).

ξαροπ · 11-04-13

Ναι ίσως κάτι δεν πάει καλά, πχ. για a=b=c=e (=2.71, το π ειναι το 3.14) το αριστερό μέρος βγάζει 3/2e που είναι μικρότερο από 1/2 + 3e.

InequalityIsMe · 11 Απριλίου 2013

Τελικά την ετοίμασα... αριθμητικό λάθος είχε γίνει!

aggressive · 06-07-13

Παιδιά τι γίνεται? Νέκρωσε πάλι το θέμα...

ξαροπ · 07-07-13

Αν $a,b,c > 0$ και $abc = 1, a^3 > 36$

νδο. $\frac{a^2}{3} + b^2 + c^2 > ab +bc+ac$ .

ξαροπ · 30-07-13

Δε βλέπω κίνηση, οπότε η λύση στο spoiler:

Είναι $\frac{a^2}{3} + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 - ab - ac + 2bc + (\frac{a^2}{12} - 3bc) =$

$= (\frac{a}{2} - b -c)^2 + \frac{a^3 - 36abc}{12a} > 0$ , καθώς $a^3 > 36 = 36abc$ .

Άλλη άσκηση:

Έστω ότι οι τρεις διαφορετικοί πραγματικοί $a,b,c$ ικανοποιούν τη σχέση $a(a^2+p) = b(b^2+p) = c(c^2 + p)$ για κατάλληλο $p \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι $a+b+c = 0$ .

Zoo-doc · 08-08-13

Νομίζω ότι: Άν πάρουμε κάθε μια ισότητα ξεχωριστά,φέρνοντάς τα όλα στο 1ο μέλος και αναπτύσσοντας τις ταυτότητες με τους "κύβους" προκύπτει οτι α=b,b=c,a=c, (άτοπο),ή a(στο τετράγωνο)+b(στο τετράγωνο)+ab=o και ομοίως για τις άλλες ισότητες. Μετά,λύνοντας το σύστημα των 3 σχέσεων, που ισχύουν ,και επειδή οι αριθμοί a,b,c είναι διαφορετικοί,προκύπτει ότι a+b+c=0 είναι η μόνη λύση που μπορεί να ισχύει...

*ξέχασα το ρ,αν και αυτό φεύγει απο το σύστημα 3-3(απλά προστίθεται στο εξής:a(2)+ab+b(2)+ρ)
[Το (2) είναι το τετράγωνο...]

Guest 018946 · 31 Δεκεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Xaris SSSS:
Αν οι αριθμοί a, b, c είναι διαφορετικοί ανά δυο, να δείξετε ότι το τριώνυμο:
$f(x) = (a-b)(x-a)(x-b) + (b-c)(x-b)(x-c) + (a-c)(x-a)(x-c)$

έχει 2 ρίζες

bolzano [a,b] , [b,c] ειναι τριωνυμο οποτε ....

ω ρε πουστη τι μου θυμισατε τωρα .... σαν εχουν περασει εκατο χρονια που φτυναμε λυσεις σε αυτο το θεματακι...

vimaproto · 28-01-14

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Δε βλέπω κίνηση, οπότε η λύση στο spoiler:

Είναι $\frac{a^2}{3} + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 - ab - ac + 2bc + (\frac{a^2}{12} - 3bc) =$

$= (\frac{a}{2} - b -c)^2 + \frac{a^3 - 36abc}{12a} > 0$ , καθώς $a^3 > 36 = 36abc$ .

Άλλη άσκηση:

Έστω ότι οι τρεις διαφορετικοί πραγματικοί $a,b,c$ ικανοποιούν τη σχέση $a(a^2+p) = b(b^2+p) = c(c^2 + p)$ για κατάλληλο $p \in \mathbb{R}$ . Δείξτε ότι $a+b+c = 0$ .

Από την πρώτη ισότητα α³+αρ=β³+βρ ==> α³-β³+αρ-βρ=0 ==> (α-β)(α²+αβ+β²)+(α-β)ρ=0 ==> (α-β)(α²+αβ+β²+ρ)=0 και επειδή τα α και β είναι άνισα ==> α²+αβ+β²+ρ=0
Ομοίως β²+βγ+γ²+ρ=0
Τις αφαιρώ κατά μέλη και α²-γ²+αβ-βγ=0 ==> (α+γ)(α-γ)+β(α-γ)=0 ==>(α-γ)(α+γ+β)=0 η διαφορά α-γ από την υπόθεση δεν είναι μηδέν, οπότε α+γ+β=0

rebel · 02-09-14

Αρχική Δημοσίευση από IasonasM:
Ασκ/
α = 111...1 (2ν ψηφία) + 111...1 (ν+1 ψηφία) + 666...6 (ν ψηφία) + 8
ΝΔ ότι ο α είναι τέλειο τετράγωνο.

Με 509 μέρες καθυστέρηση...
για $\lambda \in \mathbb{N}$ έχουμε
$\underbrace{11\ldots 1}_{\lambda\,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}=10^{\lambda-1}+10^{\lambda-2}+\cdots+1=\frac{10^\lambda-1}{10-1}=\frac{10^\lambda-1}{9}$
οπότε
$a=\underbrace{11\ldots 1}_{2n\,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}+\underbrace{11\ldots 1}_{n+1 \,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}+6\cdot \underbrace{11\ldots 1}_{n\,\,\psi \eta \phi \acute{\iota} \alpha}+8=$
$\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+6\frac{10^n-1}{9}+8=\frac{10^{2n}+16\cdot 10^n+64}{9}=\left(\frac{10^n+8}{3}\right)^2$

Soleado Febrero ~ · 18 Σεπτεμβρίου 2014

Όποιος μπορεί να βοηθήσει

Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Ω= {1,2,3,...,ν} είναι 3ν-6, να βρείτε:
α.την τιμή του ν
β.το σύνολο Ω
γ.το σύνολο P που έχει ως στοιχεία τα υποσύνολα του Ω.

DumeNuke · 18-09-14

Το πρώτο στοιχείο του συνόλου Ω είναι το 1 και το τελευταίο το ν. Επίσης, τα στοιχεία είναι όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω=1. Αν τα στοιχεία ήταν 5 τότε: Ω={1,2,3,4,5}. Αν τα στοιχεία ήταν 7 τότε: Ω={1,2,3,4,5,6,7}. Άρα, αφού το τελευταίο στοιχείο του Ω είναι το ν, το πλήθος του είναι επίσης ν.
Όμως, η εκφώνηση μας δίνει ότι το πλήθος είναι 3ν-6.
Άρα: ν=3ν-6 <=> ν=3
Ω={1,2,3}

Το P δεν ξέρω τι στοιχεία περιέχει... :whistle:

rebel · 20-09-14

rebel · 28-10-14

Χωρίζουμε την ακολουθία των φυσικών αριθμών σε ομάδες ως εξής:

$(1),(2,3,4,5),(6,7,8,\ldots,12),(13,14,15,\ldots,22),(23,24,25,\ldots,35),\ldots$

Να βρείτε τον πρώτο όρο της νιοστής ομάδας και να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στην νιοστή ομάδα είναι

$(3n-2)\left[(n-1)^2+\frac{n^2+1}{2}\right]$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος