Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Stavros_ribo · 12-12-09

Σωστά, μόνο στο 4ο θέμα το Γ για α=1 το όριο βγαίνει 2.

coheNakatos · 12-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Stavros_ribo:
Σωστά, μόνο στο 4ο θέμα το Γ για α=1 το όριο βγαίνει 2.

Δεν το πολυ τσεκαρα επρεπε και να φυγω ευχαριστω :no1:

χρηστοσ17 · 14-12-09

γεια σασ παιδια!!σας παραθετω μια ασκηση που εφτιαξα (ελπιζω να μην εχει λαθος)

δινεται η εξισωση χ^4 +αχ^3+3βχ^2+γχ+δ=0 που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες,(α,β,γ,δ ανηκουν R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει μοναδικο χο,ξ ανηκουν στο R ετσι ωστε η εξισωση φ(ξ)=1/2ξ-(ριζα2)χο να εχει λυση
β) ΝΔΟ υπαρχει μοναδικο ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)=-α^2χ^6+α^2χ^3-8βχ+16χο^2 να εχει λυση
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=40544&page=52

Εδώ σου λέω ότι ο g!orgos θα είχε δίκιο και θα μπορούσε να το στηρίξει τον ισχυρισμό του με το Θεώρημα Darboux και όχι να πει εφόσον $f '(x) neq 0$ τότε η f διατηρεί πρόσημο.

Ο σωστός τρόπος:

Έστω ότι δεν ισχύει, δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση

δεν είναι ούτε αυστηρά θετική ούτε αυστηρά αρνητική.Τότε υπάρχουν

τέτοια ώστε

σύμφωνα όμως με το θεώρημα Darboux υπάρχει

τέτοιο ώστε

, άτοπο απ' την υπόθεση.

Δηλαδή αν

για κάθε

(όπου

το διάστημα στο οποίο ορίζεται η

) η παράγωγος συνάρτηση

διατηρεί σταθερό πρόσημo ανεξαρτήτως συνέχειας!

Eλπίζω να κατάλαβες το συγκεκριμένο θεώρημα με τόσα post που έκανα

σορι δεν εχω διαβασει την ασκηση αλλα αν μια συναρτηση διατηρη σταθερο προσημο δεν ισχυει παντα οτι ειναι διαφορει του 0 ,αν καταλαβα καλα...

χρηστοσ17 · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
γεια σασ παιδια!!σας παραθετω μια ασκηση που εφτιαξα (ελπιζω να μην εχει λαθος)

δινεται η εξισωση χ^4 +αχ^3+3βχ^2+γχ+δ=0 που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες,(α,β,γ,δ ανηκουν R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει μοναδικο χο,ξ ανηκουν στο R ετσι ωστε η εξισωση φ(ξ)=1/2ξ-(ριζα2)χο να εχει λυση
β) ΝΔΟ υπαρχει τουλαχιστον ενα ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)=-α^2χ^6+α^2χ^3-8βχ+16χο^2 να εχει λυση
-----------------------------------------

σορι δεν εχω διαβασει την ασκηση αλλα αν μια συναρτηση διατηρη σταθερο προσημο δεν ισχυει παντα οτι ειναι διαφορει του 0 ,αν καταλαβα καλα...

σορι παιδια για την ασκηση την κοιταξα και νομιζω ειναι καλυτερα να την γραψω ετσι
δινεται η εξισωση χ^4 +αχ^3+3βχ^2+γχ+δ=0 που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες ρ1,ρ2,ρ3,ρ4(α,β,γ,δ ανηκουν R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο,ξ ανηκουν στο (χ1,χ2)υποσυνολο του (ρ1,ρ2) κ' οπου χο η ριζα της 3 παραγωγου, ετσι ωστε η εξισωση φ(ξ)=1/2ξ-(ριζα2)χο να εχει πραγματικη λυση
β) νδο το σημειο Μ(χο,ξ) ειναι μοναδικο και να βρεθει η αποσταση του απο το 0(0,0) αν επιπλεον το Μ ανηκει στην ευθεια y=x
γ) ΝΔΟ υπαρχει τουλαχιστο ενα ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)=-α^2χ^6+α^2χ^3-8βχ+16χο^2 να εχει πραγματικη λυση και επιπλεον β<0

coheNakatos · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
σορι παιδια για την ασκηση την κοιταξα και νομιζω ειναι καλυτερα να την γραψω ετσι
δινεται η εξισωση χ^4 +αχ^3+3βχ^2+γχ+δ=0 που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες ρ1,ρ2,ρ3,ρ4(α,β,γ,δ ανηκουν R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο,ξ ανηκουν στο (χ1,χ2)υποσυνολο του (ρ1,ρ2) κ' οπου χο η ριζα της 3 παραγωγου, ετσι ωστε η εξισωση φ(ξ)=1/2ξ-(ριζα2)χο να εχει πραγματικη λυση
β) νδο το σημειο Μ(χο,ξ) ειναι μοναδικο και να βρεθει η αποσταση του απο το 0(0,0) αν επιπλεον το Μ ανηκει στην ευθεια y=x
γ) ΝΔΟ υπαρχει τουλαχιστο ενα ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)=-α^2χ^6+α^2χ^3-8βχ+16χο^2 να εχει πραγματικη λυση

Δεν καταλαβαινω τιποτα με συγχωρεις γραψε σε λατεξ

χρηστοσ17 · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Δεν καταλαβαινω τιποτα με συγχωρεις γραψε σε λατεξ

δεν ξερω να γραφω σε λατεχ :'(

-----------------------------------------

Δινεται η συναρτηση g(x)= ${x}^{4}$ +α ${x}^{3}$ +3β ${x}^{2}$ +γx+δ=0
που εχει 4 ριζες πραγματικεσ και ανισες τις ρ1,ρ2,ρ3,ρ4 και (α,β,γ,δ $\in$ R)
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο,και ενα τουλαχιστον ξ, $\in$ (ρ1,ρ4),οπου χο η ριζα τησ τριτης παραγωγου της εξισωσης g (g'''(xo)=0),ετσι ωστε η συναρτηση φ(ξ)= $\frac{1}{2}$ ξ - $\sqrt{2}$ χο να εχει πραγματικη λυση
β)Ν.Δ.Ο. το σημειο Μ(χο,ξ) ειναι μοναδικο, και να βρεθει η αποσταση του απο την αρχη των αξονων ,αν επιπλεον δινεται οτι το Μ $\in$ στην y=x
γ)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον ω $\in$ R ετσι ωστε η συναρτηση f(x)=- ${α}^{2}$ ${x}^{6}$ + ${α}^{2}$ ${x}^{3}$ -8βχ+16χο να εχει πραγματικη λυση ,αν επιπλεον δινεται οτι β<0

νομιζω κατι εκανα! γτ μου τα βγαζει ετσι???

lowbaper92 · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
δεν ξερω να γραφω σε λατεχ
-----------------------------------------

Δινεται η εξισωση ε:{χ}^{4}+α{χ}^{3}+3β{χ}^{2}+γχ+δ=0
που εχει 4 ριζες πραγματικεσ και ανισες τις ρ1,ρ2,ρ3,ρ4 και (α,β,γ,δ in R)
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο,ξ in (ρ1,ρ4),οπου χο η ριζα τησ τριτης παραγωγου της εξισωσης (ε),ετσι ωστε η συναρτηση φ(ξ)=frac{1}{2} -sqrt{2} χο να εχει πραγματικη λυση
β)Ν.Δ.Ο. το σημειο Μ(χο,ξ) ειναι μοναδικο, και να βρεθει η αποσταση του απο την αρχη των αξονων ,αν επιπλεον δινεται οτι το Μin στην y=x
γ)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον ω in R ετσι ωστε η συναρτηση f(x)=-{α}^{2}{χ}^{6}+{α}^{2}{χ}^{3}-8βχ+16χο να εχει πραγματικη λυση ,αν επιπλεον δινεται οτι β<0

νομιζω κατι εκανα! γτ μου τα βγαζει ετσι???

Πρεπει ό,τι γραφεςις στο latex μολις τα περασεις στο κειμενο να τα βαλεις αναμεσα στις λεξεις [λατεξ] μπλα μπλα [/λατεξ]
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τη λεξη λατεξ πρεπει να τι γραφεις στα αγγλικα

χρηστοσ17 · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Πρεπει ό,τι γραφεςις στο latex μολις τα περασεις στο κειμενο να τα βαλεις αναμεσα στις λεξεις [λατεξ] μπλα μπλα [/λατεξ]
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τη λεξη λατεξ πρεπει να τι γραφεις στα αγγλικα

ευχαριστω!!!!

Spyros2309 · 15-12-09

Χρήστο στην φ(ξ) είναι 1/(2ξ) ή (1/2)ξ ?

coheNakatos · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
δεν ξερω να γραφω σε λατεχ
-----------------------------------------

Δινεται η συναρτηση g(x)= ${x}^{4}$ +α ${x}^{3}$ +3β ${x}^{2}$ +γx+δ=0
που εχει 4 ριζες πραγματικεσ και ανισες τις ρ1,ρ2,ρ3,ρ4 και (α,β,γ,δ $in$ R)
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο,και ενα τουλαχιστον ξ, $in$ (ρ1,ρ4),οπου χο η ριζα τησ τριτης παραγωγου της εξισωσης g (g'''(xo)=0),ετσι ωστε η συναρτηση φ(ξ)= $frac{1}{2}$ ξ - $sqrt{2}$ χο να εχει πραγματικη λυση
β)Ν.Δ.Ο. το σημειο Μ(χο,ξ) ειναι μοναδικο, και να βρεθει η αποσταση του απο την αρχη των αξονων ,αν επιπλεον δινεται οτι το Μ $in$ στην y=x
γ)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον ω $in$ R ετσι ωστε η συναρτηση f(x)=- ${α}^{2}$ ${x}^{6}$ + ${α}^{2}$ ${x}^{3}$ -8βχ+16χο να εχει πραγματικη λυση ,αν επιπλεον δινεται οτι β<0

νομιζω κατι εκανα! γτ μου τα βγαζει ετσι???

Πρωτα απο ολα η φ(ξ) δεν ειναι συναρτηση ειναι μια τιμη της συναρτησης .... Επειτα δεν καταλαβαινω τι θες να πεις .Ποια η μεταβλητη της συναρτησης ? μηπως εννοεις $f(x)=(1/2)x-\sqrt{2}{x}_{0}$

χρηστοσ17 · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Πρωτα απο ολα η φ(ξ) δεν ειναι συναρτηση ειναι μια τιμη της συναρτησης .... Επειτα δεν καταλαβαινω τι θες να πεις .Ποια η μεταβλητη της συναρτησης ? μηπως εννοεις $f(x)=(1/2)x-sqrt{2}{x}_{0}$

Την παρακατο ασκηση την εφτιαξα μονος μου γιαυτο δεν ξερω αν υπαρχει καποιο λαθος και θα ζητησω συγγνωμη απο τωρα.

Δινεται η συναρτηση g(x)= $x^4 +ax^3+3bx^2+px+d$ που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες ρ1,ρ2,ρ3,ρ4(a,b,p,d $\in$ R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο, $\in$ (χ1,χ2) $\subseteq$ (ρ1,ρ4) ,οπου χο η ριζα της τριτησ παραγωγου της g(x) (g'''(xo)=0)και ενα τουλαχιστον k $\in$ R, ετσι ωστε η συναρτηση φ(k)= $\frac{1k}{2}$ - $\sqrt{2}$ χο να εχει πραγματικη λυση
β) Ν.Δ.Ο. το σημειο Μ(χο,k) ειναι μοναδικο και να βρεθει η αποσταση του απο το 0(0,0) αν επιπλεον δινεται οτι το Μ ανηκει στην ευθεια y=x
γ) Ν.Δ.Ο. υπαρχει τουλαχιστο ενα ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)= $-a^2x^6+a^2x^3-8bx$ +16χο^2 να εχει πραγματικη λυση,αν επιπλεον δινεται οτι b<0
σορι για την βαβουρα !!και ευχαριστω για τισ παρατηρησεισ

jimmy007 · 15-12-09

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
Την παρακατο ασκηση την εφτιαξα μονος μου γιαυτο δεν ξερω αν υπαρχει καποιο λαθος και θα ζητησω συγγνωμη απο τωρα.

Δινεται η συναρτηση g(x)= $x^4 +ax^3+3bx^2+px+d$ που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες ρ1,ρ2,ρ3,ρ4(a,b,p,d $in$ R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο, $in$ (χ1,χ2) $subseteq$ (ρ1,ρ4) ,οπου χο η ριζα της τριτησ παραγωγου της g(x) (g'''(xo)=0)και ενα τουλαχιστον k $in$ R, ετσι ωστε η συναρτηση φ(k)= $frac{1k}{2}$ - $sqrt{2}$ χο να εχει πραγματικη λυση
β) Ν.Δ.Ο. το σημειο Μ(χο,k) ειναι μοναδικο και να βρεθει η αποσταση του απο το 0(0,0) αν επιπλεον δινεται οτι το Μ ανηκει στην ευθεια y=x
γ) Ν.Δ.Ο. υπαρχει τουλαχιστο ενα ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)= $-a^2x^6+a^2x^3-8bx$ +16χο^2 να εχει πραγματικη λυση,αν επιπλεον δινεται οτι b<0
σορι για την βαβουρα !!και ευχαριστω για τισ παρατηρησεισ

α) Παίρνεις 3 Rolle και καταλήγεις ότι υπάρχει xo στο (ρ1,ρ4) ώστε g"'(xo)=0. Για την εξίσωση με το k, προφανής ρίζα για k=2(ρίζα2)xo. Συνεχίζω σε λίγο με τα υπόλοιπα...
-----------------------------------------
β)Λόγω μονοτονίας της g''' και της φ τα k,xo μοναδικό. Επιπλέον k=xo άρα από το α. k=xo=0. Οπότε το M είναι η αρχή των αξόνων.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
Την παρακατο ασκηση την εφτιαξα μονος μου γιαυτο δεν ξερω αν υπαρχει καποιο λαθος και θα ζητησω συγγνωμη απο τωρα.

Δινεται η συναρτηση g(x)= $x^4 +ax^3+3bx^2+px+d$ που εχει 4 ριζες πραγματικες και ανισες ρ1,ρ2,ρ3,ρ4(a,b,p,d $in$ R )
α)Ν.Δ.Ο. υπαρχει ενα τουλαχιστον χο, $in$ (χ1,χ2) $subseteq$ (ρ1,ρ4) ,οπου χο η ριζα της τριτησ παραγωγου της g(x) (g'''(xo)=0)και ενα τουλαχιστον k $in$ R, ετσι ωστε η συναρτηση φ(k)= $frac{1k}{2}$ - $sqrt{2}$ χο να εχει πραγματικη λυση
β) Ν.Δ.Ο. το σημειο Μ(χο,k) ειναι μοναδικο και να βρεθει η αποσταση του απο το 0(0,0) αν επιπλεον δινεται οτι το Μ ανηκει στην ευθεια y=x
γ) Ν.Δ.Ο. υπαρχει τουλαχιστο ενα ω ανηκει στο R ετσι ωστε η συναρτηση f(χ)= $-a^2x^6+a^2x^3-8bx$ +16χο^2 να εχει πραγματικη λυση,αν επιπλεον δινεται οτι b<0
σορι για την βαβουρα !!και ευχαριστω για τισ παρατηρησεισ

Το ω είναι η ρίζα ή έχεις ξεχάσει κατι???

χρηστοσ17 · 16-12-09

Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
α) Παίρνεις 3 Rolle και καταλήγεις ότι υπάρχει xo στο (ρ1,ρ4) ώστε g"'(xo)=0. Για την εξίσωση με το k, προφανής ρίζα για k=2(ρίζα2)xo. Συνεχίζω σε λίγο με τα υπόλοιπα...
-----------------------------------------
β)Λόγω μονοτονίας της g''' και της φ τα k,xo μοναδικό. Επιπλέον k=xo άρα από το α. k=xo=0. Οπότε το M είναι η αρχή των αξόνων.
-----------------------------------------

Το ω είναι η ρίζα ή έχεις ξεχάσει κατι???

το ω να ειναι ριζα τησ εξισωσης f ,επισης στο γ ερωτημα μπορει να δωθει οτι ισχυει το β ερωτημα αντι να δωθει b<0!δεν ξερω αν σε βοηθησα!εισαι πολυ κοντα προσπαθησε και αμα ειναι ανεβαζω την απαντηση
για το ερωτημα α να πω οτι το k $\in$ (2 $\sqrt{2}$ xo+ $[\sqrt{2<img src=$ -b}" />,2 $\sqrt{2}$ xo- $[\sqrt{2<img src=$ -b}" />)
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
το ω να ειναι ριζα τησ εξισωσης f ,επισης στο γ ερωτημα μπορει να δωθει οτι ισχυει το β ερωτημα αντι να δωθει b<0!δεν ξερω αν σε βοηθησα!εισαι πολυ κοντα προσπαθησε και αμα ειναι ανεβαζω την απαντηση
για το ερωτημα α να πω οτι το k $in$ (2 $sqrt{2}$ xo+ $[sqrt{2<img src=$ -b}" />,2 $sqrt{2}$ xo- $[sqrt{2<img src=$ -b}" />)

μεσ την ριζα ειναι 2χο^2 -b

forakos · 17-12-09

(9/100)
-----------------------------------------

i)40/100 ii)40/100 iii)20/100

coheNakatos · 17-12-09

Για το 1ο πολλαπλασιασε και διαιρεσε με |xz1+z2|+1 και παρε την ιδιοτητα μετρου (πρεπει να ειναι f(0)=2 αν δεν κανω λαθος για να βγει )

Για το 2ο

ι) παρε την {|z|}^{2}+{|w|}^{2}={|z-w|}^{2} και βγηκε

ιι) στο Re(z w(συζηγης) =0 αντικαθιστας τα z,w
ιιι) Συμφωνα με την σχεση του (ιι) f(a)f(b) <0

forakos · 17-12-09

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Για το 1ο πολλαπλασιασε και διαιρεσε με |xz1+z2|+1 και παρε την ιδιοτητα μετρου (πρεπει να ειναι f(0)=2 αν δεν κανω λαθος για να βγει )

Για το 2ο

ι) παρε την {|z|}^{2}+{|w|}^{2}={|z-w|}^{2} και βγηκε

ιι) στο Re(z w(συζηγης) =0 αντικαθιστας τα z,w
ιιι) Συμφωνα με την σχεση του (ιι) f(a)f(b) <0

Δεν είναι οι αποριες εδώ... Την έβαλα στη συλλογη!

Οπως κι να εχει..Αριστα!

-----------------------------------------

coheNakatos · 17-12-09

Αρχική Δημοσίευση από forakos:
Δεν είναι οι αποριες εδώ... Την έβαλα στη συλλογη! Οπως κι να εχει..Αριστα!
-----------------------------------------

Ευχαριστω βαλε και αλλες αν ειναι ( Δεν μπορω να γραψω σε latex και δεν διακρινονται καλα τα οσα γραφω πανω )

riemann80 · 18-12-09

1)Α) Αν η συναρτηση φ εχει πεδιο ορισμου τους μη μηδενικους πραγματικους αριθμους και η παραγωγος της μηδενιζεται παντου να βρεθει ο τυπος της
Β) αν η συναρτηση f οριζεται στο (α,γ) και εχει μηδενικη παραγωγο στα διαστηματα (α,β) και (β,γ) οπου α<β<γ και ειναι συνεχης στο β,να δειξετε οτι ειναι σταθερη στο (α,γ)

2) εστω f:[0,1]-->Rπαραγωγισιμη συναρτηση με f(0)=0,f(1)=1.για καθε θετικο ακεραιο n να αποδειχτει οτι υπαρχουν n διακεκριμενα σημεια x1,...,Xn ετσι ωστε

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f'(x_i)}=n$

jimmy007 · 18-12-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
1)Α) Αν η συναρτηση φ εχει πεδιο ορισμου τους μη μηδενικους πραγματικους αριθμους και η παραγωγος της μηδενιζεται παντου να βρεθει ο τυπος της
Β) αν η συναρτηση f οριζεται στο (α,γ) και εχει μηδενικη παραγωγο στα διαστηματα (α,β) και (β,γ) οπου α<β<γ και ειναι συνεχης στο β,να δειξετε οτι ειναι σταθερη στο (α,γ)

1)Α)f(x)=c1 για x>0 και f(x)=c2 για x<0
B) oμοίως με το A) f(x)=c1 για α<x<=β και f(x)=c2 για β<=x<γ. Λόγω της συνέχειας όμως στο β, c1=c2=c, οπότε f(x)=c, α<x<β.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από forakos:

H άσκηση αυτή κυκλοφορεί και με z,z συζυγή..

Metal-Militiaman · 19-12-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
2) εστω f:[0,1]-->Rπαραγωγισιμη συναρτηση με f(0)=0,f(1)=1.για καθε θετικο ακεραιο n να αποδειχτει οτι υπαρχουν n διακεκριμενα σημεια x1,...,Xn ετσι ωστε

$sum_{i=1}^{n}frac{1}{f'(x_i)}=n$

Θεωρούμε τον αριθμό $d=\frac{f(1)-f(0)}{n}=\frac{1}{n}$ καθώς και τους αριθμού ${y}_{1},{y}_{2},...,{y}_{n}$ οι οποίοι ανήκουν στο $[f(0),f(1)]=[0,1]$ , με

$f(0)<{y}_{1}<{y}_{2}<...<{y}_{n}$ για τους οποίους ισχύει:

${y}_{1}-f(0)=d, {y}_{2}-{y}_{1}=d,...f(1)-{y}_{n-1}=d$

$\Rightarrow {y}_{1}=d, {y}_{2}=d+{y}_{1},{y}_{3}=d+{y}_{2},...,f(1)=d+{y}_{n-1}$

${y}_{1}=d=\frac{1}{n}$

${y}_{2}=d+d=\frac{2}{n}$

${y}_{3}=d+d+d=\frac{3}{n}$

$......$

${y}_{n-1}=(n-1)d=\frac{n-1}{n}$

${y}_{n}=nd=\frac{n}{n}=f(1)=1$

Eπειδή oι αριθμοί ${y}_{1}<{y}_{2}<...<{y}_{n-1}$ ανήκουν στο $(0,1)$ και $f(0)\neq f(1)$ σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχουν :

${\xi }_{1}\in (0,{t}_{1}), {\xi }_{2}\in ({t}_{2},{t}_{1}),{\xi }_{3}\in ({t}_{3},{t}_{2}),...,{\xi }_{n}\in (1,{t}_{n-1})$ με ${t}_{1}< {t}_{2}< ...<{t}_{n-1}<{t}_{n}=1$

τέτοια ώστε $f({t}_{1})={y}_{1}, f({t}_{2})={y}_{2},...,f({t}_{n-1})={y}_{n-1}$ .

Στα διαστήματα $[0,{t}_{1}],[{t}_{1},{t}_{2}],...[{t}_{n-1},1]$ ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού δηλαδή υπάρχουν:

${x}_{1}\in (0,f({t}_{1})), {x}_{2}\in (f({t}_{1}),f({t}_{2})), {x}_{3}\in (f({t}_{2}),f({t}_{3})),...,{x}_{n}\in (f({t}_{n-1}),1)$ τέτοια ώστε:

$f '({\xi }_{1})=\frac{f({t}_{1})-f(0)}{{t}_{1}-0},f '({\xi }_{2})=\frac{f({t}_{2})-f({t}_{1})}{{t}_{2}-{t}_{1}}, f '({\xi }_{n})=\frac{f(1)-f({t}_{n-1})}{1-{t}_{n-1}}$

Επειδή

$f '({x}_{1})=\frac{{y}_{1}-0}{{t}_{1}-0}=\frac{1}{n{t}_{1}}$

$f '({x}_{2})=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}=\frac{1}{n({t}_{2}-{t}_{1})}$

$f '({x}_{3})=\frac{{y}_{3}-{y}_{2}}{{t}_{3}-{t}_{2}}=\frac{1}{n({t}_{3}-{t}_{2})}$

$......$

$f '({x}_{n})=\frac{{y}_{n}-{y}_{n-1}}{{t}_{n}-{t}_{n-1}}=\frac{1}{n(1-{t}_{n-1})}$

Tελικά παίρνουμε

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f '({x}_{i})}=n{t}_{1}+n({t}_{2}-{t}_{1})+n({t}_{3}-{t}_{2})+...n({t}_{n-1}-{t}_{n-2})+n(1-{t}_{n-1})=n({t}_{1}+{t}_{2}-{t}_{1}+...+{t}_{n-1}-{t}_{n-2}+1-{t}_{n-1})=n\cdot 1=n$

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος