Μαθηματικά - Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά

[Eukleidis]

Μια καλή άσκηση που μου ήρθε τέτοια ώρα βραδιατικα, αρκετά διδακτική:

Εστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος ΑΜ. Απο τυχαίο σημείο Ζ της ΑΒ φέρνω παρλληλη πρς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΜ στο Η και την ΑΓ στο Θ. Να δείξετε ότι το Η είναι μέσο της ΖΘ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Nikolas_030]

Μας εχει βαλει στη σελ 60 την ασκηση 10. Αλλα δεν εχω καταλαβει τι κανουμε!
Γραφει:
[FONT="]X2[/FONT][/B][B]+ (α + β)x + αβ | αβ | α+β | α| β |(χ+α) (χ+β)|[/B]

μετα εχει απο κατω καποιες πραξεις:
[FONT="]X2[/FONT] – 3x +2
[FONT="]X2[/FONT] + 3x +2
[FONT="]X2[/FONT] + 5x – 6
[FONT="]X2[/FONT] + 5x + 6
[FONT="]X2[/FONT] - x - 2
[FONT="]X2[/FONT] + x - 2
Εγω δεν μπορω να καταλαβω τι πρεπει να κανω.... Αν μπορει κανενας να μου πει πως γινεται ή να μου πει τη λυση..

Επισης μας εχει βαλει και την ασκηση 11Σελ 60.
α) χ2 + (α+2)χ +2α =(χ + .....)*(χ + .....)
β) χ2 + (√2 + √3)χ + √6 =(χ + .....)*(χ + .....)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Μια καλή άσκηση που μου ήρθε τέτοια ώρα βραδιατικα, αρκετά διδακτική:

Εστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος ΑΜ. Απο τυχαίο σημείο Ζ της ΑΒ φέρνω παρλληλη πρς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΜ στο Η και την ΑΓ στο Θ. Να δείξετε ότι το Η είναι μέσο της ΖΘ.

Spoiler

Υπάρχουν νομίζω αρκετές λύσεις για αυτήν, βάζω μία...Από ΘΘ είναι και

κι αφού ΒΜ=ΜΓ προκύπτει το ζητούμενο...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eukleidis]

It's not ΘΘ:no1:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[stavros11]

Μας εχει βαλει στη σελ 60 την ασκηση 10. Αλλα δεν εχω καταλαβει τι κανουμε!
Γραφει:
[FONT="]X2[/FONT][/B][B]+ (α + β)x + αβ | αβ | α+β | α| β |(χ+α) (χ+β)|[/B]

μετα εχει απο κατω καποιες πραξεις:
[FONT="]X2[/FONT] – 3x +2
[FONT="]X2[/FONT] + 3x +2
[FONT="]X2[/FONT] + 5x – 6
[FONT="]X2[/FONT] + 5x + 6
[FONT="]X2[/FONT] - x - 2
[FONT="]X2[/FONT] + x - 2
Εγω δεν μπορω να καταλαβω τι πρεπει να κανω.... Αν μπορει κανενας να μου πει πως γινεται ή να μου πει τη λυση..

Επισης μας εχει βαλει και την ασκηση 11Σελ 60.
α) χ2 + (α+2)χ +2α =(χ + .....)*(χ + .....)
β) χ2 + (√2 + √3)χ + √6 =(χ + .....)*(χ + .....)

Λύσεις δεν θέλω να δώσω γιατί νομίζω ότι απαγορεύεται.
Η άσκηση που λες είναι στις ερωτήσεις κατανόησης και πρέπει να ξέρεις το τριώνυμο για να τη λύσεις. Τριώνυμο είναι μία ταυτότητα (όπως το τετράγωνο αθροίσματος, διαφορά τετραγώνων κτλ.).
Με βάση το τριώνυμο ισχύει:

Με απλά λόγια το x είναι ένα τετράγωνο και α,β είναι οι αριθμοί που αν τους προσθέσεις θα δώσουν τον συντελεστή του x στο 2ο πολυώνυμο της παράστασης και αν τους πολλαπλασιάσεις θα σου δώσουν το τελευταίο πολυώνυμο.
Επειδή σε ψιλομπέρδεψα, με απλά λόγια, στην πρώτη γραμμή το α και το β είναι δύο αριθμοί που αν τους πολλαπλασιάσεις σου δίνουν 2 και αν τους προσθέσεις σου δίνουν 3. Αφού τους βρεις τους γράφεις στις στήλες που πάνω-πάνω λέει α και β αντίστοιχα και λογικά μετά στα υπόλοιπα βάζεις τις πράξεις.

Και στην 11 με τον ίδιο τρόπο θα δουλέψεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Συνήθως η εύρεση των α,β γίνεται με το μυαλό μέχρι τώρα (είναι και απλά τα παραδείγματα), μετά θα μπορείτε να το κάνετε βάσει συστημάτων

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eukleidis]

Είναι οι γνωστοί τυποι του Viet'a. Δε θα σας ζητηθούν ποτέ εξισωσεις με μεγαλα νούμερα ή με παραγοντοποιησεις κλπ. Ουτως ή αλλως αμα θέλω να παραγοντοποιησω κάτι περιεργο ( τις περισσότερες φορές) βγάζω τη διακρίνουσα και βγήκε αμέσως. Ειναι ομως πολύ χρήσιμοι οι τύποι του Βιετά για διερεύνηση, συστηματα ανισώσεις κλπ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[stavros11]

Συνήθως η εύρεση των α,β γίνεται με το μυαλό μέχρι τώρα (είναι και απλά τα παραδείγματα), μετά θα μπορείτε να το κάνετε βάσει συστημάτων

Να σας πω την αλήθεια δεν πολυκαταλαβαίνω τι λέτε, αλλά προσωπικά δουλεύω με το μυαλό, γιατί είναι πάρα πολύ απλά. Δεν πιστεύω να υπάρχει μαθητής στην Γ' Γυμνασίου που να μην ξέρει ποιοι είναι οι δύο αριθμοί που αν τους προσθέσεις κάνουν 3 και αν τους πολλαπλασιάσεις κάνουν 2...
Εκεί που μπλέκεται για κάποιους το πράγμα είναι όταν βάζει κανένα αρνητικό, αλλά και πάλι πολύ απλά είναι...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Τα συστήματα τα διδασκόμαστε έτσι κι αλλιώς στη Γ γυμνασίου, απλώς στη συγκεκριμένη περίπτωση διευκολύνουν το μαθητή.

πχ. Σε αυτό που λες είναι

Κανονική δευτεροβάθμια από όπου προκύπτει και από την πρώτη εξίσωση καταλήγουμε στα ζευγάρια .

Τραβηγμένο λίγο για κάτι το προφανές, όπως λες κι εσύ, όμως όταν έρθουν τα μη προφανή θα σου είναι πολύ χρήσιμα τα συστήματα.

Βάζω κάποιες "έξυπνες" ασκήσεις που δεν είναι σχολικές, για αυτούς που ασχολούνται παραπάνω με το θέμα ή και όχι.

Άσκηση 1

Αν και ν.δ.ο.



Άσκηση 2

Να λυθεί η εξίσωση στο :



Άσκηση 3:

Αν και ν.δ.ο.



Άσκηση 4:

Να συγκρίνετε τους αριθμούς (εννοείται χωρίς κομπιουτεράκι, αλλά θα ήθελα πολύ να δω αν υπάρχει κανένα που να μπορεί να τους μετρήσει!)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eukleidis]

Ασκ 1

Spoiler

Θετω για ευκολία α=χ^2,β=y^2 kαι γ=z^2 και λαμβανοντας υπ οψιν την α^2+β^2>=2αβ κανοντας και στους τρεις ορους προκύπτει το ζητούμενο

Ασκ 2

Spoiler

x=5
y=3
z=4

Ασκ 3

Spoiler

Θετω για ευκολία 2χ+1=α^2 κλπ και μετα απο πράξεις και χρησιμοποιώντας την 3(α^2+β^2+γ^2)>=(α+β+γ)^2 προκύπτει το ζητούμενο

Ασκ 4



Για την 4η να δώσω και μια αλλη λύση

2010^2009 - 2009^2010=-975180457219982821881624693310497588443851982539159594578279457309832\
2060085654571559399293056004127476866230174640600476009153136761205579\
2820451904417173063923538409912279098500370014034701319193473735995756\
9370485493123231057294380736821547141193518534780427056966811467449912\
9181459546960664440191505237685201248108387645831391771685233615699697\
3323106373278715442098109356282919226861385517077210284122532655001944\
5289968673511457754475521152311094924381924578424818732478542929829020\
6077827104061983080474188995552939749330079246031769889581988864738653\
9239849774888689730036720720606291389388215633093989881742488523833726\
8794677369392727508647219121859472858232680926115304996668807559716394\
8063720101801571246826281131790394985360768581667933441969533299724428\
2255872046156155629913935047133373170075435225297087736596663924145392\
4771522448945268843504454469023225973864988336280805176434456955159978\
5144599082920115114401677187381274021298220982704923694007289253847559\
7576999451155115689225243037590063123406988899344625073492858354856118\
8122374954541104620071380759166136519459762055012702094768413403427189\
6763104057545939510668327590425817326268673951021956416530070072529987\
0252312650689738940502155239278833665665798592223140198449183635948819\
4250668067323240791733197617648974834743900063824780872218253102856790\
1254520222928632110976189484585560508913715282972012577448971345247305\
4859746312548248246412873123774160138097755753190665918551466275875930\
9853936929431560841865518846868043300808815038174586520368679660974325\
7360952241812390300109428069548461564055903377695237383686323639387974\
3061579321844904374634038131456838808409275808884790999096537781010189\
9998412276699195086597064608509313264080988744496167543310559442552649\
8805708602171624219012595976635395645404430513034851907856245778473513\
7783226323212105974650676018421389798529051660192470329627465001273895\
1757632307348271373406642173191063691422694728879955349863657907967786\
9594931681718774596724952982786752424432411237855800634669522257601794\
9353134517742877892697541056766466390676274457564859047387446991377690\
6644026031519776047409950693232729687255806721915788844147710260285418\
8810593034250451856709847473032377103917942192405157304240825484695322\
7582932852327329474140660908699759017904477287021086604489345144967034\
1646388707188340024280577732734669449865717881814579505140063544750911\
6161935309071707741802635524755276755952553390401161492710722874976456\
7364925075202187172977581495610444866826897943846633319084556944017937\
9160893591816384240222829300527979721100788802515822202818219240201233\
5296231296581370986640319241038932125848010495971631523159734995820001\
4123566220096307728977915375949215702727923380853306540247698969218347\
9861008252935579812992126217856894827291134585423248263382759570084233\
2914979317791621757638095851360933172709920050338118736582224439812983\
2620248266726685938402956596588050459384984963533369493347749510643103\
0779247278793255936421933464372681038766967747841598204277214051579019\
8805463828215738267924551026363425754156194350260178245785038183307136\
7981438921806801686078263967299908684556536297179140011234749411400763\
7092125570268563558525493156689687749042481584554003187595131744864620\
7199454485649608184016828929011449372414021306974648840463603460521754\
1445366751158828053039193714090082591575075202795136757305118201457561\
1312951747770392427816948257927671448685647935932861798356034857563112\
3609826238524802840981265035695238415644101230142011261242241820522417\
7541177409757058587579962462271450025425679548279078156776949635810788\
0239701210227761068918293662263810258486816438552519013596208994754360\
0125132332951476340398178759846403423379392974974478671845325162719183\
6050672847785584947568530399090340693891415544737817151454025763540885\
8299365004997257940777227263998210839075946288671848080636049369204907\
8601173833611301292450749737597547375720831514474691030599062216878035\
1429852175279248814859943322406505310731899943651608186728702576595939\
2135582956715534243578812949031323535112288241019843161484131360775943\
5601394932890388311949421757757301070250358483068711380137378154537772\
0170176485090298586786016505019340961495409644566811341787987436526098\
6819338424465464019695163543124759350638061556811561016370464932930373\
7251263081228672936412747016506473855361972748994841957961285218238509\
0503047054712391011005119032545570363883699562918258205659197660685147\
5962054193354656116577739897516871235795268631105727015270623654432575\
5874994047184413191106336234390828422480965658410800905099355162099291\
8604310752467593468921050812001329629537152999347646151543608830896480\
5933656120947913013570520488759593634964939738891431450921414636149046\
3205942691254480993868288624640018023704761301120071259416287609893107\
7932714259651702991656288394684526031769469059393992606824533625259711\
4622629824663111622115240125080741225241375108420884011396364337260557\
0999699074000062625450026761412817943445986990717818446975033470206133\
8320731467859223601022317180486966483123660256007724603451144069453954\
7808950571421970304704343430125562527763186011952084601174824583522988\
2319987013187687697171786535303418911014887199254600954419633480811471\
9658512596116429499470689328496545312037311306252933322157565726647158\
1863080655785339724564169955219615983925219828492288898330916389710090\
6913920028165424486225513194109899120564250066255000873666933696013279\
1232797500707658518003629944586209164720452697398458176721440195357152\
4187936541578234347862494092396468761573869053312852315430049790204410\
6006857727739327453799642937409972988100445464170447903174111032133355\
2284042170814679296129652130672123566546996421025623206527684113017974\
9632502720321103307628517531515281032690397906379548469134611852486317\
1962441865025095383741844155615508419821731382023470234701995247339621\
6614100613851211436924684210344119760024951758197897017628350892073295\
1871760061473675902685499710814955548761325363194461242312106152204399\
0796210566336460022416750284762648595906018389648934566890224419290329\
8810420920737304667512341753987149403050591306457148283961218639415252\
1974452477492446653814612415409787025218314876035937233645919172015051\
2125624019820453966884555011877914940353353301461425827058732822284630\
4329524878174199861208111983033705535760656336221797902094612124048047\
0571728428736164199529441458249852380237587869628449738946409729940412\
7659232417266041288309893790594298908374076396364616272443535778792594\
0192936480288298259784436928488432560258459556539996656292616256242721\
4890797804841308319536341887356755268093407356832382906506344165137221\
526237765061782143847579607258583848287100492501846125444401

Αρα το 2009^2010 ειναι μεγαλύτερο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Paradise4all]

Συμπληρωματικά μπορείς να βρεις κι εδώ απάντηση (στο τέλος της σελίδας) στο ερώτημά σου σε παρόμοια ερώτηση...
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=39016&page=3

Καλή μελέτη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

2010^2009 - 2009^2010=-975180457219982821881624693310497588443851982539159594578279457309832\
2060085654571559399293056004127476866230174640600476009153136761205579\
2820451904417173063923538409912279098500370014034701319193473735995756\
9370485493123231057294380736821547141193518534780427056966811467449912\
9181459546960664440191505237685201248108387645831391771685233615699697\
3323106373278715442098109356282919226861385517077210284122532655001944\
5289968673511457754475521152311094924381924578424818732478542929829020\
6077827104061983080474188995552939749330079246031769889581988864738653\
9239849774888689730036720720606291389388215633093989881742488523833726\
8794677369392727508647219121859472858232680926115304996668807559716394\
8063720101801571246826281131790394985360768581667933441969533299724428\
2255872046156155629913935047133373170075435225297087736596663924145392\
4771522448945268843504454469023225973864988336280805176434456955159978\
5144599082920115114401677187381274021298220982704923694007289253847559\
7576999451155115689225243037590063123406988899344625073492858354856118\
8122374954541104620071380759166136519459762055012702094768413403427189\
6763104057545939510668327590425817326268673951021956416530070072529987\
0252312650689738940502155239278833665665798592223140198449183635948819\
4250668067323240791733197617648974834743900063824780872218253102856790\
1254520222928632110976189484585560508913715282972012577448971345247305\
4859746312548248246412873123774160138097755753190665918551466275875930\
9853936929431560841865518846868043300808815038174586520368679660974325\
7360952241812390300109428069548461564055903377695237383686323639387974\
3061579321844904374634038131456838808409275808884790999096537781010189\
9998412276699195086597064608509313264080988744496167543310559442552649\
8805708602171624219012595976635395645404430513034851907856245778473513\
7783226323212105974650676018421389798529051660192470329627465001273895\
1757632307348271373406642173191063691422694728879955349863657907967786\
9594931681718774596724952982786752424432411237855800634669522257601794\
9353134517742877892697541056766466390676274457564859047387446991377690\
6644026031519776047409950693232729687255806721915788844147710260285418\
8810593034250451856709847473032377103917942192405157304240825484695322\
7582932852327329474140660908699759017904477287021086604489345144967034\
1646388707188340024280577732734669449865717881814579505140063544750911\
6161935309071707741802635524755276755952553390401161492710722874976456\
7364925075202187172977581495610444866826897943846633319084556944017937\
9160893591816384240222829300527979721100788802515822202818219240201233\
5296231296581370986640319241038932125848010495971631523159734995820001\
4123566220096307728977915375949215702727923380853306540247698969218347\
9861008252935579812992126217856894827291134585423248263382759570084233\
2914979317791621757638095851360933172709920050338118736582224439812983\
2620248266726685938402956596588050459384984963533369493347749510643103\
0779247278793255936421933464372681038766967747841598204277214051579019\
8805463828215738267924551026363425754156194350260178245785038183307136\
7981438921806801686078263967299908684556536297179140011234749411400763\
7092125570268563558525493156689687749042481584554003187595131744864620\
7199454485649608184016828929011449372414021306974648840463603460521754\
1445366751158828053039193714090082591575075202795136757305118201457561\
1312951747770392427816948257927671448685647935932861798356034857563112\
3609826238524802840981265035695238415644101230142011261242241820522417\
7541177409757058587579962462271450025425679548279078156776949635810788\
0239701210227761068918293662263810258486816438552519013596208994754360\
0125132332951476340398178759846403423379392974974478671845325162719183\
6050672847785584947568530399090340693891415544737817151454025763540885\
8299365004997257940777227263998210839075946288671848080636049369204907\
8601173833611301292450749737597547375720831514474691030599062216878035\
1429852175279248814859943322406505310731899943651608186728702576595939\
2135582956715534243578812949031323535112288241019843161484131360775943\
5601394932890388311949421757757301070250358483068711380137378154537772\
0170176485090298586786016505019340961495409644566811341787987436526098\
6819338424465464019695163543124759350638061556811561016370464932930373\
7251263081228672936412747016506473855361972748994841957961285218238509\
0503047054712391011005119032545570363883699562918258205659197660685147\
5962054193354656116577739897516871235795268631105727015270623654432575\
5874994047184413191106336234390828422480965658410800905099355162099291\
8604310752467593468921050812001329629537152999347646151543608830896480\
5933656120947913013570520488759593634964939738891431450921414636149046\
3205942691254480993868288624640018023704761301120071259416287609893107\
7932714259651702991656288394684526031769469059393992606824533625259711\
4622629824663111622115240125080741225241375108420884011396364337260557\
0999699074000062625450026761412817943445986990717818446975033470206133\
8320731467859223601022317180486966483123660256007724603451144069453954\
7808950571421970304704343430125562527763186011952084601174824583522988\
2319987013187687697171786535303418911014887199254600954419633480811471\
9658512596116429499470689328496545312037311306252933322157565726647158\
1863080655785339724564169955219615983925219828492288898330916389710090\
6913920028165424486225513194109899120564250066255000873666933696013279\
1232797500707658518003629944586209164720452697398458176721440195357152\
4187936541578234347862494092396468761573869053312852315430049790204410\
6006857727739327453799642937409972988100445464170447903174111032133355\
2284042170814679296129652130672123566546996421025623206527684113017974\
9632502720321103307628517531515281032690397906379548469134611852486317\
1962441865025095383741844155615508419821731382023470234701995247339621\
6614100613851211436924684210344119760024951758197897017628350892073295\
1871760061473675902685499710814955548761325363194461242312106152204399\
0796210566336460022416750284762648595906018389648934566890224419290329\
8810420920737304667512341753987149403050591306457148283961218639415252\
1974452477492446653814612415409787025218314876035937233645919172015051\
2125624019820453966884555011877914940353353301461425827058732822284630\
4329524878174199861208111983033705535760656336221797902094612124048047\
0571728428736164199529441458249852380237587869628449738946409729940412\
7659232417266041288309893790594298908374076396364616272443535778792594\
0192936480288298259784436928488432560258459556539996656292616256242721\
4890797804841308319536341887356755268093407356832382906506344165137221\
526237765061782143847579607258583848287100492501846125444401


Ε...ναι (με ποιο πρόγραμμα?)

Για το spoiler στην (1), πάει λίγο παραπέρα κι επίσης δε χρειάζεται να θέσεις a^2 = x, και με τις ρίζες βγαίνει ωραία και καθαρά

Για την 4 ασχολίαστο. Αν κάτσει κανείς να βρει τη λύση χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή κτλ. θα ήταν καλό (ως υπόδειξη) να βρει τη γενική περίπτωση (που θα περιέχει και έναν περιορισμό αναγκαστικά).

Στα άλλα σωστός!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Μια ιδιόρρυθμη άσκηση...

Αν είναι ο οστός πρώτος αριθμός να δειχθεί ότι ισχύει .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Alexl1996]

Μια ιδιόρρυθμη άσκηση...

Αν είναι ο οστός πρώτος αριθμός να δειχθεί ότι ισχύει .

Sorry που βγαίνω λίγο off-topic, αλλά πού τις βρίσκεις αυτές τις ασκήσεις?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Από διάφορα περιοδικά και βιβλία και από συζητήσεις με γνωστούς (πχ. το πρόβλημα σύγκρισης το είχε συστήσει μια-δυο βδομάδες πριν ο πατέρας ενός φίλου μου ).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[giorgos147]

Καλησπέρα σας παιδιά.

Μπορεί κάποιος να μου δώσει όλες τις ταυτότητες, παρακαλώ πολύ;

Ευχαριστώ πολύ.

Καλή σας ημέρα, και χρόνια σας πολλά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ξαροπ]

Δες εδώ, έχει όσες χρειάζεσαι και παραπάνω, εκτός από την

https://ischool.gr/showthread.php?t=22190

Εδιτ: την έχει και αυτήν αλλά δεν την είδα αρχικά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[giorgos147]

Ευχαριστώ πάρα πολύ.
-----------------------------------------
Επίσης, χρόνια σου πολλά. Μόλις τώρα είδα ότι έχεις γενέθλια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[blablabla14]

θελω οποιος μπορει να μου προτεινει (απο το βιβλιο η' και δικη του) καποια ασκηση για επαναληψη :thanks::thanks:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Nikolas_030]

Eυχαριστς πολυ Σταυρο...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.