Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[BaSO4]

Δ2i Αν στην δοσμένη περάσουμε limx->+oo προκύπτει limx->+oo (e^f(x)+lnf(x)+f(x))=+oo

Αν το limx->+oo του f(x) είναι:

- Πραγματικός διάφορος του μηδέν άτοπο, γιατί δεν θα παίρναμε άπειρο.

- Μηδέν άτοπο, γιατί θα παίρναμε -oo.

- +oo Πιθανό γιατί θα παίρναμε +oo.

Επειδή η μόνη δυνατή περίπτωση είναι η τρίτη, θα είναι και η σωστή.

Όμοια σκεφτόμαστε στο -oo και βγαίνει το ζητούμενο.

Και λόγω της μονοτονίας το σύνολο τιμών ισούται με (limx->-oo+,limx->+oo).

Στο Δ2i δε θα μπορούσαμε να βρούμε πρώτα την αντίστροφη της f και το πεδίο ορισμού της f^-1 που είναι το σύνολο τιμών της f; (Μάλλον δε γίνεται όμως, γιατί πρώτα ίσως χρειαζόμαστε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.)

 

[Cade]

Στο Δ2i δε θα μπορούσαμε να βρούμε πρώτα την αντίστροφη της f και το πεδίο ορισμού της f^-1 που είναι το σύνολο τιμών της f; (Μάλλον δε γίνεται όμως, γιατί πρώτα ίσως χρειαζόμαστε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.)

Αν εννοείς να ονομάσουμε συνάρτηση h την e^x + lnx + x + 2, xε(0,+00), να αποδείξουμε ότι είναι η αντιστροφη της f και μέσω αυτής να βρούμε το σύνολο τιμών ναι γίνεται.

Διαφορετικά

 

[Alexandros28]

Στο Δ2i δε θα μπορούσαμε να βρούμε πρώτα την αντίστροφη της f και το πεδίο ορισμού της f^-1 που είναι το σύνολο τιμών της f; (Μάλλον δε γίνεται όμως, γιατί πρώτα ίσως χρειαζόμαστε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.)

Nai γίνεται και είναι πιο σωστά τεκμηριωμένη αυτή η λύση

 

[Guest 586541]

Στο Δ2i δε θα μπορούσαμε να βρούμε πρώτα την αντίστροφη της f και το πεδίο ορισμού της f^-1 που είναι το σύνολο τιμών της f; (Μάλλον δε γίνεται όμως, γιατί πρώτα ίσως χρειαζόμαστε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.)

Μια χαρά μπορείς.

Είναι δυνατό να θέσεις μονομιάς x=f^-1(x) στην δοθείσα σχέση (για x που ανήκει στο σύνολο τιμών της f) .Αφού το f^-1(x) είναι το σύνολο τιμών της f^-1, δηλαδή το πεδίο ορισμού της f, δηλαδή το x. Όλα αυτά με την προϋπόθεση πως έχεις αποδείξει ότι είναι αντιστρέψιμη. Ο εμπνευστής του θέματος είχε κάποια άλλη λύση στο μυαλό του και για αυτό έβαλε το ερώτημα με την αντίστροφη μετά, σίγουρα όχι την δικιά μου γιατί φαίνεται πολύ μπακαλέ και αιτιολογείται δύσκολα, για το Δ2i.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 12 Αυγούστου 2022

Nai γίνεται και είναι πιο σωστά τεκμηριωμένη αυτή η λύση

Όλες τεκμηριωμένες είναι -η δικιά μου απαγωγή σε άτοπο είναι ουσιαστικά- αλλά διαφέρουν στην δυσκολία παρουσίασής τους. Έχει νόημα να μιλάμε για λιγότερο και περισσότερο τεκμηριωμένη σωστή απάντηση;

 

[BaSO4]

Όλες τεκμηριωμένες είναι -η δικιά μου απαγωγή σε άτοπο είναι ουσιαστικά- αλλά διαφέρουν στην δυσκολία παρουσίασής τους. Έχει νόημα να μιλάμε για λιγότερο και περισσότερο τεκμηριωμένη σωστή απάντηση;

Πρακτικά, μια απάντηση μπορεί να είναι σωστή ή λανθασμένη. Αν είναι λανθασμένη, τότε μπορεί να είναι λιγότερο τεκμηριωμένη ή περισσότερο τεκμηριωμένη (αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό των -απαραίτητων για τη λύση- βημάτων που παραλείφθηκαν). Κι αυτό, γιατί, εφόσον δεν είναι μια ολοκληρωμένη απάντηση, είναι ελλιπής και άρα όχι σωστή.

Αν ο οποιοσδήποτε τρόπος επίλυσης είναι σωστός (άρα και "σωστά τεκμηριωμένη απάντηση") και έχει αποδειχθεί επαρκώς το ζητούμενο, τότε μαθηματικά πρέπει να γίνει αποδεκτός. Από 'κει και πέρα, νομίζω ότι τίθεται θέμα αισθητικής και όχι μαθηματικής δεοντολογίας.
(Μπορεί να λέω ό,τι να 'ναι και να μη βγάζω νόημα, 'σχωρέστε με )

 

[Guest 586541]

Πρακτικά, μια απάντηση μπορεί να είναι σωστή ή λανθασμένη. Αν είναι λανθασμένη, τότε μπορεί να είναι λιγότερο τεκμηριωμένη ή περισσότερο τεκμηριωμένη (αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό των -απαραίτητων για τη λύση- βημάτων που παραλείφθηκαν). Κι αυτό, γιατί, εφόσον δεν είναι μια ολοκληρωμένη απάντηση, είναι ελλιπής και άρα όχι σωστή.

Αν ο οποιοσδήποτε τρόπος επίλυσης είναι σωστός (άρα και "σωστά τεκμηριωμένη απάντηση") και έχει αποδειχθεί επαρκώς το ζητούμενο, τότε μαθηματικά πρέπει να γίνει αποδεκτός. Από 'κει και πέρα, νομίζω ότι τίθεται θέμα αισθητικής και όχι μαθηματικής δεοντολογίας.
(Μπορεί να λέω ό,τι να 'ναι και να μη βγάζω νόημα, 'σχωρέστε με )

Αυτό ακριβώς, ρητορική ήταν η ερώτησή μου. Το μόνο δυνητικό πρόβλημα των μη μεθοδολογικών λύσεων είναι ότι ενδέχεται να υπάρχει κάποιο άγνωστο σε αυτόν που τις διατυπώνει θεώρημα που να τις καθιστά ανεπαρκείς. Αν και ο καθένας δύναται να θέσει διαφορετικά standards για το πότε μία λύση καθίσταται άκρως εμπεριεστατομένη, μπορούμε διαισθητικά να αντιληφθούμε πότε κάποια είναι.

 

[Cade]

Κάποια στιγμή (ίσως και σήμερα ) όταν θα έχω όρεξη θα συνθεσω μόνος μου μια άσκηση (απο διαφορους συγγραφείς + υλικό από ίντερνετ) για να ναι πιο τσιμπημένη και θα την ανεβάσω. Γιατί με τα έτοιμα θέματα όλο και κάτι με χαλάει

 

[BaSO4]

Μια από τις επαναληπτικές του φροντιστηρίου που μου είχε κάψει λίγο το μυαλό στα τελευταία.

 

[Cade]

Μια από τις επαναληπτικές του φροντιστηρίου που μου είχε κάψει λίγο το μυαλό στα τελευταία.
View attachment 106519

Βγαίνει ωραίο νούμερο το v?

 

[BaSO4]

Βγαίνει ωραίο νούμερο το v?

Καλό είναι. Έχει e μέσα, αλλά είναι απλά τα νούμερα.

 

[Cade]

Καλό είναι. Έχει e μέσα, αλλά είναι απλά τα νούμερα.

Αουτς...θα το ξαναπροσπαθήσω αύριο αν δεν έχει απαντηθεί, τώρα βαριέμαι άπειρα

Στο ν) έχει γίνει ζημιά σίγουρα

@eukleidhs1821 κάνε τα μαγικά σου

 

[Samael]

Ρε'σεις το τελειώσατε το λύκειο. Αφήστε τα αυτά και πηγαίντε μάθετε καμιά python να ολοκληρώνετε και της Παναγιάς τα μάτια .

 

[Cade]

Και μια πιο σωστή προσέγγιση του iv, η άλλη ήταν λανθασμένη

 

[Cade]

Πείραξα λίγο τα ερωτήματα και έβγαλα μερικά βοηθητικά για να ναι πιο δύσκολη.
Ενδεχομένως κάποια να βγαίνουν και με άλλους τρόπους απ' αυτούς που σκέφτηκα εγω

 

[BaSO4]

Αουτς...θα το ξαναπροσπαθήσω αύριο αν δεν έχει απαντηθεί, τώρα βαριέμαι άπειρα
View attachment 106522
View attachment 106523 Στο ν) έχει γίνει ζημιά σίγουρα

@eukleidhs1821 κάνε τα μαγικά σου

Στο v) ερώτημα το εμβαδό Ε περικλείεται από 3 συναρτήσεις.

 

[Cade]

Στο v) ερώτημα το εμβαδό Ε περικλείεται από 3 συναρτήσεις.

Είτε αυτό είναι το σωστό εμβαδόν είτε εγώ έχω σκουριάσει τελείως

Δεν παίζει όμως γιατί αυτή τη φορά έκανα σχήμα

 

[BaSO4]

Είτε αυτό είναι το σωστό εμβαδόν είτε εγώ έχω σκουριάσει τελείως
View attachment 106708
Δεν παίζει όμως γιατί αυτή τη φορά έκανα σχήμα

Σύμφωνα με το σχήμα, κάπως έτσι πρέπει να βγαίνει το εμβαδό.

Εγώ πήρα το τρίγωνο ΑΒΔ από το εμβαδό του οποίου αφαίρεσα το (ΟΒΔ). Δεν ξέρω αν βγαίνει πιο εύκολα έτσι.

Αυτό που με είχε παραξενέψει στο v ήταν το πώς θα σχεδιάζαμε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης της f, για να βρούμε το εμβαδό του Ε που περικλείεται από 3 συναρτήσεις (και άρα χρειάζεται σχήμα), εφόσον δε μπορούμε να βρούμε τον τύπο της.

Με τον κλασικό τρόπο δύσκολα γίνεται, μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί η συμμετρία, που εμφανίζεται ανάμεσα στις f και f^-1, ως προς την ευθεία y=x (μάλλον κι εσύ αυτό έκανες) και με την κυρτότητα βλέπουμε ότι η f^-1 είναι κάτω από την εφαπτόμενη της.

Υ.Γ. Μπα, δε νομίζω να έχεις σκουριάσει, το πολύ πολύ να έχεις χαλαρώσει και με το δίκιο σου. Εδώ παίζει να είμαστε οι μόνοι που ασχολούμαστε με αυτά, αντί να παρτάρουμε .

 

[Cade]

Σύμφωνα με το σχήμα, κάπως έτσι πρέπει να βγαίνει το εμβαδό.

Εγώ πήρα το τρίγωνο ΑΒΔ από το εμβαδό του οποίου αφαίρεσα το (ΟΒΔ). Δεν ξέρω αν βγαίνει πιο εύκολα έτσι.
View attachment 106714

Ναι ο τρόπος σου είναι καλύτερος και βγαίνει και πιο γρήγορα. Επίσης εύγε για το σχήμα .

Αυτό που με είχε παραξενέψει στο v ήταν το πώς θα σχεδιάζαμε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης της f, για να βρούμε το εμβαδό του Ε που περικλείεται από 3 συναρτήσεις (και άρα χρειάζεται σχήμα), εφόσον δε μπορούμε να βρούμε τον τύπο της.

Με τον κλασικό τρόπο δύσκολα γίνεται, μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί η συμμετρία, που εμφανίζεται ανάμεσα στις f και f^-1, ως προς την ευθεία y=x (μάλλον κι εσύ αυτό έκανες) και με την κυρτότητα βλέπουμε ότι η f^-1 είναι κάτω από την εφαπτόμενη της.

Εγώ όταν την έλυσα πρώτη φορά πήγα να το παίξω μάγκας και δεν έκανα σχήμα επειδή νόμιζα πως το εμβαδόν περικλείονταν από τις 2 συναρτήσεις μόνο και την πάτησα άσχημα .

Πάντως μπορούμε να σχεδιάσουμε ακριβώς την εφαπτομένη και έπειτα ξέρουμε πως η αντιστροφη περνάει από την αρχή των αξόνων, τέμνει την συνάρτηση στο e και είναι κοίλη, οπότε καπως βγαίνει η άκρη.

 

[BaSO4]

Ναι ο τρόπος σου είναι καλύτερος και βγαίνει και πιο γρήγορα. Επίσης εύγε για το σχήμα .

Εγώ όταν την έλυσα πρώτη φορά πήγα να το παίξω μάγκας και δεν έκανα σχήμα επειδή νόμιζα πως το εμβαδόν περικλείονταν από τις 2 συναρτήσεις μόνο και την πάτησα άσχημα .

Πάντως μπορούμε να σχεδιάσουμε ακριβώς την εφαπτομένη και έπειτα ξέρουμε πως η αντίστροφη περνάει από την αρχή των αξόνων, τέμνει την συνάρτηση στο e και είναι κοίλη, οπότε κάπως βγαίνει η άκρη.

Αν βρεις αποτέλεσμα, πες μήπως βρήκαμε το ίδιο, γιατί μπορεί να έχω κάνει κάνα αριθμητικό :p.

Spoiler

βρήκα (e-2)/2 τ.μ.

 

[Cade]

Αν βρεις αποτέλεσμα, πες μήπως βρήκαμε το ίδιο, γιατί μπορεί να έχω κάνει κάνα αριθμητικό :p.
βρήκα (e-2)/2 τ.μ.

Πρέπει να υπολογίσω αυτό το τέρας τώρα ;
Καλώς