Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel · 19 Νοεμβρίου 2014

Έστω $M_n$ το πλήθος των όρων της νιοστής ομάδας, το οποίο είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο $1$ και διαφορά $3$ . Δηλαδή
$M_n=1+3(n-1)=3n-2.$
Έστω επίσης $a_n$ ο πρώτος όρος της νιοστής ομάδας. Τότε βλέπουμε ότι
$a_1=M_1=1$
$a_n=M_1+M_2+\cdots+M_{n-1}+1=\frac{M_1+M_{n-1}}{2}(n-1)+1=$
$\frac{(3n-4)(n-1)}{2}+1,\,\,n \geq 2.$
Μετά απ' αυτά συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των όρων της νιοστής ομάδας είναι
$\frac{a_n+(a_{n+1}-1)}{2}M_n=\frac{\frac{(3n-4)(n-1)}{2}+1+\frac{(3n-1)n}{2}+1-1}{2}(3n-2)=$
$(3n-2)\frac{3n^2-4n+3}{2}=(3n-2)\left[(n-1)^2+\frac{n^2+1}{2}\right]$

asdfqwerty · 27-09-21

Να λυθει ανισωση :

@Samael ,@Alexandros28
να θυμηθουμε τα νιατα μας , τοτε που τα πραγματα ηταν πιο απλα :loltooth:

rebel · 30 Σεπτεμβρίου 2021

Αρχική Δημοσίευση από asdfqwerty:
Να λυθει ανισωση :
View attachment 86099

@Samael ,@Alexandros28
να θυμηθουμε τα νιατα μας , τοτε που τα πραγματα ηταν πιο απλα

Αφού παρατηρήσουμε ότι $2007+3=2006+4=2005+5=2004+6=2010$ , αφαιρώντας το $4$ από τα $2$ μέλη έχουμε:

$\frac{x-2007}{3}-1+\frac{x-2006}{4}-1+\frac{x-2005}{5}-1+\frac{x-2004}{6}-1< \\ \frac{x-3}{2007}-1+\frac{x-4}{2006}-1+\frac{x-5}{2005}-1+\frac{x-6}{2004}-1 \Leftrightarrow$

$\frac{x-2007-3}{3}+\frac{x-2006-4}{4}+\frac{x-2005-5}{5}+\frac{x-2004-6}{6}< \\ \frac{x-3-2007}{2007}+\frac{x-4-2006}{2006}+\frac{x-5-2005}{2005}+\frac{x-6-2004}{2004} \Leftrightarrow$

$(x-2010) \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2007}-\frac{1}{2006}-\frac{1}{2005}-\frac{1}{2004} \right)<0 \Leftrightarrow$

$x-2010<0 \Leftrightarrow x<2010$

αφού

$\frac{1}{3}>\frac{1}{2007}, \, \frac{1}{4}>\frac{1}{2006}, \,\frac{1}{5}>\frac{1}{2005}, \,\frac{1}{6}>\frac{1}{2004}, \,$

Υ.Γ. Πήρα το θάρρος να τη λύσω γιατί θυμήθηκα και εγώ τα νιάτα μου. Παρατήρησα άλλωστε ότι και το τελευταίο μήνυμα πριν την άσκηση ήταν δικό μου! Πως περνούν τα χρόνια...

asdfqwerty · 30 Σεπτεμβρίου 2021

Αρχική Δημοσίευση από rebel:
Αφού παρατηρήσουμε ότι $2007+3=2006+4=2005+5=2004+6=2010$ , αφαιρώντας το $4$ από τα $2$ μέλη έχουμε:

$\frac{x-2007}{3}-1+\frac{x-2006}{4}-1+\frac{x-2005}{5}-1+\frac{x-2004}{6}-1< \\ \frac{x-3}{2007}-1+\frac{x-4}{2003}-1+\frac{x-5}{2005}-1+\frac{x-6}{2004}-1 \Leftrightarrow$

$\frac{x-2007-3}{3}+\frac{x-2006-4}{4}+\frac{x-2005-5}{5}+\frac{x-2004-6}{6}< \\ \frac{x-3-2007}{2007}+\frac{x-4-2006}{2006}+\frac{x-5-2005}{2005}+\frac{x-6-2004}{2004} \Leftrightarrow$

$(x-2010) \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2007}-\frac{1}{2006}-\frac{1}{2005}-\frac{1}{2004} \right)<0 \Leftrightarrow$

$x-2010<0 \Leftrightarrow x<2010$

αφού

$\frac{1}{3}>\frac{1}{2007}, \, \frac{1}{4}>\frac{1}{2006}, \,\frac{1}{5}>\frac{1}{2005}, \,\frac{1}{6}>\frac{1}{2004}, \,$

Υ.Γ. Πήρα το θάρρος να τη λύσω γιατί θυμήθηκα και εγώ τα νιάτα μου. Παρατήρησα άλλωστε ότι και το τελευταίο μήνυμα πριν την άσκηση ήταν δικό μου! Πως περνούν τα χρόνια...

μια αλλη λυση ειναι να θεσουμε $x=u+2010$ και μετα απο πραξεις και σπαζωντας τα κλασματα καταληγουμε στο :
$\frac{u}{3} + \frac{u}{4} + \frac{u}{5} + \frac{u}{6} < \frac{u}{2007} + \frac{u}{2006} + \frac{u}{2005} + \frac{u}{2004}$

$\frac{1}{3}>\frac{1}{2007}, \, \frac{1}{4}>\frac{1}{2006}, \,\frac{1}{5}>\frac{1}{2005}, \,\frac{1}{6}>\frac{1}{2004}$
Για $u \geq 0$ δεν ισχυει η ανισωση ,ομως ισχυει για $u<0 \Leftrightarrow x<2010$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

asdfqwerty

Πολύ δραστήριο μέλος

rebel

Πολύ δραστήριο μέλος

asdfqwerty

Πολύ δραστήριο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες