Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[asdfqwerty]

θελει μεθοδο αντικαταστασης λογικα

οχι δεν χρειαζεται (μεγαλωσε την ανισωση χωρις την ριζα)

 

[eukleidhs1821]

οχι δεν χρειαζεται (μεγαλωσε την ανισωση χωρις την ριζα)

ναι εχεις δικιο.ειναι η γνωστη ανισοτητα ριζα(χ^2+1)>ριζα(χ^2)=απολυτο(χ)>=χ τα ακρα του ολοκληρωματος ειναι στο (e,e^e) οποτε χlnxριζα(χ^2+1)>=χ^2lnx το τουμπαρω και βγαινει 1/χlnxριζα(χ^2+1)<=1/χ^2lnx
e<=x<=e^2 lne<=lnx<=ln(e^2) x^2<=x^2lnx<=2x^2 το τουμπαρω 1/χ^2lnx>=1/2x^2 παιρνω τα ολοκληρωματα απο e στο e^2 ολοκληρωμα(1/χ^2lnx)>[-1/2x] απο e εως e^2

 

[asdfqwerty]

δεν νομιζω να καταληγει καπου αυτο

παρατηρησε τη σχεση εχει τo (x^2+1)^1/2 με την μοναδα
και κανε το ιδιο

ναι εχεις δικιο.ειναι η γνωστη ανισοτητα ριζα(χ^2+1)>ριζα(χ^2)=απολυτο(χ)>=χ τα ακρα του ολοκληρωματος ειναι στο (e,e^e) οποτε χlnxριζα(χ^2+1)>=χ^2lnx το τουμπαρω και βγαινει 1/χlnxριζα(χ^2+1)<=1/χ^2lnx
e<=x<=e^2 lne<=lnx<=ln(e^2) x^2<=x^2lnx<=2x^2 το τουμπαρω 1/χ^2lnx>=1/2x^2 παιρνω τα ολοκληρωματα απο e στο e^2 ολοκληρωμα(1/χ^2lnx)>[-1/2x] απο e εως e^2

 

[Μάρκος Βασίλης]

Να δυσκολέψουμε λίγο την πρώτη: Εξετάστε αν υπάρχει αντιστρέψιμη συνάρτηση f ορισμένη στο R* με την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή f(x^2)-f^2(x)>=1/4.

 

[Samael]

δεν νομιζω να καταληγει καπου αυτο

παρατηρησε τη σχεση εχει τo (x^2+1)^1/2 με την μοναδα
και κανε το ιδιο

Προσωπικά θα έκανα την εξής προσέγγιση :

Το ολοκλήρωμα της f(x) = 1/xlnx στο [e,e^e] = 1 .
Όμως f/sqrt(x²+1) < f => Int(f/sqrt(x²+1)) < Int(f) = 1 .

Τελικά : Int[1/xlnx*sqrt(x²+1)] < 1

 

[asdfqwerty]

Προσωπικά θα έκανα την εξής προσέγγιση :

Το ολοκλήρωμα της f(x) = 1/xlnx στο [e,e^e] = 1 .
Όμως f/sqrt(x²+1) < f => Int(f/sqrt(x²+1)) < Int(f) = 1 .

Τελικά : Int[1/xlnx*sqrt(x²+1)] < 1

ακριβως

 

[Μάρκος Βασίλης]

Πάντως, η εκτίμηση του @eukleidhs1821 μπορεί να μη λύνει την άσκηση, αλλά δίνει πιο σφιχτό άνω φράγμα για το ολοκλήρωμα.

 

[asdfqwerty]

Πάντως, η εκτίμηση του @eukleidhs1821 μπορεί να μη λύνει την άσκηση, αλλά δίνει πιο σφιχτό άνω φράγμα για το ολοκλήρωμα.

οντως, απλως το συγκεκριμένο προκειται για quickie,οποτε η ιδεα όποιου το εφτιαξε ηταν η συγκεκριμένη

 

[eukleidhs1821]

οταν λες πιο σφιχτο ανω φραγμα εννοεις και πιο κατω απο 1?αρα τοσο καλυτερο

 

[Μάρκος Βασίλης]

οταν λες πιο σφιχτο ανω φραγμα εννοεις και πιο κατω απο 1?αρα τοσο καλυτερο

Ναι, είναι πιο κάτω από το 1.

 

[Samael]

Να δυσκολέψουμε λίγο την πρώτη: Εξετάστε αν υπάρχει αντιστρέψιμη συνάρτηση f ορισμένη στο R* με την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή f(x^2)-f^2(x)>=1/4.

Βρήκα λίγο χρόνο να ασχοληθώ και με τούτη . Βαθμολόγησε μαλακά .

Ας υποθέσουμε οτι υπάρχει τέτοια f η οποία είναι 1-1 και επίσης ικανοποιεί την :
f(x²) - f²(x) >= 1/4

Έστω τώρα τυχαία x1,x2 E R* για τα οποία θα ισχύει :

f(x1²) - f²(x1) >= 1/4 (1)
f(x2²) - f²(x2) >= 1/4 (2)

Προσθέτοντας κατα μέλη τις (1) & (2) :

f(x1²) +f(x2²) - [f²(x1)+f²(x2)] >= 1/2 =>

Όμως :

f(x²)>= f(x²) - f²(x) >= 1/4
Δηλαδή f(x²) >= 1/4 για κάθε x Ε R*

Άρα ισχύει f(x1²)+f(x2²) >= 1/2 ,και για να ικανοποιείται η παραπάνω ανίσωση αρκεί :
f²(x1)+f²(x2) <= 0

f²(x1)+f²(x2) = 0 => [f²(x1) = 0] ^ [f²(x2) =0] .

Δηλαδή πρέπει f(x1)=f(x2)=0 . Άρα η f δεν είναι 1-1 .

 

[Μάρκος Βασίλης]

Βρήκα λίγο χρόνο να ασχοληθώ και με τούτη . Βαθμολόγησε μαλακά .

Ας υποθέσουμε οτι υπάρχει τέτοια f η οποία είναι 1-1 και επίσης ικανοποιεί την :
f(x²) - f²(x) >= 1/4

Έστω τώρα τυχαία x1,x2 E R* για τα οποία θα ισχύει :

f(x1²) - f²(x1) >= 1/4 (1)
f(x2²) - f²(x2) >= 1/4 (2)

Προσθέτοντας κατα μέλη τις (1) & (2) :

f(x1²) +f(x2²) - [f²(x1)+f²(x2)] >= 1/2 =>

Όμως :

f(x²)>= f(x²) - f²(x) >= 1/4
Δηλαδή f(x²) >= 1/4 για κάθε x Ε R*

Άρα ισχύει f(x1²)+f(x2²) >= 1/2 ,και για να ικανοποιείται η παραπάνω ανίσωση αρκεί :
f²(x1)+f²(x2) <= 0

f²(x1)+f²(x2) = 0 => [f²(x1) = 0] ^ [f²(x2) =0] .

Δηλαδή πρέπει f(x1)=f(x2)=0 . Άρα η f δεν είναι 1-1 .

Το bold είναι λάθος, γιατί θα μπορούσε να ισχύει χωρίς να είναι και τα δύο μηδέν - το bold είναι σωστό αν το >= το κάνεις = παντού, αλλά με την ανισότητα δεν ισχύει γιατί μπορεί να ισχύει το > μόνο.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση συνεχής - αυτό είναι οριακά εντός λυκείου. Επίσης, με λίγο κλέψιμο από το πανεπιστήμιο μπορούμε να αποδείξουμε ότι f(x)>1/2 για κάθε x>0.

Spoiler: Ομολογία...

Λύση 100% εντός της ύλης του λυκείου δεν έχω βρει ακόμα. :Ρ Σε κάποιο σημείο επικαλούμαι και κάτι εκτός ύλης ό,τι κι αν δοκίμασα.

 

[Samael]

Το bold είναι λάθος, γιατί θα μπορούσε να ισχύει χωρίς να είναι και τα δύο μηδέν - το bold είναι σωστό αν το >= το κάνεις = παντού, αλλά με την ανισότητα δεν ισχύει γιατί μπορεί να ισχύει το > μόνο.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση συνεχής - αυτό είναι οριακά εντός λυκείου. Επίσης, με λίγο κλέψιμο από το πανεπιστήμιο μπορούμε να αποδείξουμε ότι f(x)>1/2 για κάθε x>0.

Spoiler: Ομολογία...

Λύση 100% εντός της ύλης του λυκείου δεν έχω βρει ακόμα. :Ρ Σε κάποιο σημείο επικαλούμαι και κάτι εκτός ύλης ό,τι κι αν δοκίμασα.

Ναι ακριβώς εκεί φοβόμουν οτι έμπαζε . Δεν ξέρω εαν μπορώ να κάνω κάτι για να το συνεχίσω,propably not .
Εαν είναι συνεχής τότε κάπως διευκολύνεται η κατάσταση. Χωρίς αυτή την πληροφορία πάντως,εαν και αρχικά δεν γεμίζει το μάτι, είναι tough ερώτημα .

Τώρα κάτι εκτός λυκείου δεν είχα δοκιμάσει,αλλά μπορεί να το κάνω .
I feel weak without my derivatives,i'm dying .

 

[Μάρκος Βασίλης]

Ναι ακριβώς εκεί φοβόμουν οτι έμπαζε . Δεν ξέρω εαν μπορώ να κάνω κάτι για να το συνεχίσω,propably not .
Εαν είναι συνεχής τότε κάπως διευκολύνεται η κατάσταση. Χωρίς αυτή την πληροφορία πάντως,εαν και αρχικά δεν γεμίζει το μάτι, είναι tough ερώτημα .

Τώρα κάτι εκτός λυκείου δεν είχα δοκιμάσει,αλλά μπορεί να το κάνω .
I feel weak without my derivatives,i'm dying .

Μπορείς να δείξεις όπως πριν ότι f(1)=1/2 και μετά, από τη συνέχεια και το 1-1 και το γεγονός ότι f(x)>1/2 για x> και διάφορο του 1 να καταλήξεις σε άτοπο - θα πρέπει να μοιάζει με μπολάκι εκεί κοντά στο 1. Αλλά εδώ κάπου λίγο ξεφεύγει από το λύκειο. :Ρ

 

[Samael]

Μπορείς να δείξεις όπως πριν ότι f(1)=1/2 και μετά, από τη συνέχεια και το 1-1 και το γεγονός ότι f(x)>1/2 για x> και διάφορο του 1 να καταλήξεις σε άτοπο - θα πρέπει να μοιάζει με μπολάκι εκεί κοντά στο 1. Αλλά εδώ κάπου λίγο ξεφεύγει από το λύκειο. :Ρ

Χμ κατάλαβα το σκεπτικό. Βγάζει απόλυτο νόημα, ωραίος !
Χωρίς την υπόθεση της συνέχειας υπάρχει απάντηση στο ερώτημα ;

Αυτά τα ερωτήματα ύπαρξης είναι καλή άσκηση για το μυαλό και διασκεδαστικά.
Μου θύμισε λίγο ερωτήματα του στυλ "Πόσες συνεχείς συναρτήσεις υπάρχουν;" .

 

[Μάρκος Βασίλης]

Χμ κατάλαβα το σκεπτικό. Βγάζει απόλυτο νόημα, ωραίος !
Χωρίς την υπόθεση της συνέχειας υπάρχει απάντηση στο ερώτημα ;

Αυτά τα ερωτήματα ύπαρξης είναι καλή άσκηση για το μυαλό και διασκεδαστικά.
Μου θύμισε λίγο ερωτήματα του στυλ "Πόσες συνεχείς συναρτήσεις υπάρχουν;" .

Κοίτα, χωρίς την υπόθεση της συνέχειας δεν πέφτουμε μέσα στην ύλη του λυκείου - τουλάχιστον με όσα έχω σκεφτεί προς το παρόν. :Ρ

 

[Samael]

Κοίτα, χωρίς την υπόθεση της συνέχειας δεν πέφτουμε μέσα στην ύλη του λυκείου - τουλάχιστον με όσα έχω σκεφτεί προς το παρόν. :Ρ

Σωστός,και μέσα στην ύλη γενικά δεν δουλεύονται ιδιαίτερα προβλήματα που δεν διασφαλίζεται έστω η συνέχεια .
Ας ρωτήσω κάτι πιο light τότε(μάλλον ; ). Έχεις σκεφτεί κανένα πρόβλημα με παντού συνεχής αλλά πουθενά διαφορίσιμη συνάρτηση;

 

[Μάρκος Βασίλης]

Σωστός,και μέσα στην ύλη γενικά δεν δουλεύονται ιδιαίτερα προβλήματα που δεν διασφαλίζεται έστω η συνέχεια .
Ας ρωτήσω κάτι πιο light τότε(μάλλον ; ). Έχεις σκεφτεί κανένα πρόβλημα με παντού συνεχής αλλά πουθενά διαφορίσιμη συνάρτηση;

Είχα βάλει μια φορά φέτος δύο πολύ δυνατές κοπέλες από ένα τμήμα στο φροντιστήριο να δουλέψουν λίγο την ιδέα προσπαθώντας να βρουν συναρτήσεις με όλο και περισσότερα σημεία ασυνέχειας. Η αλήθεια είναι ότι, μιας και τέτοιες συναρτήσεις προκύπτουν - συνήθως - ως ομοιόμορφο όριο συνεχών συναρτήσεων με «μύτες», είναι δύσκολο να τις αξιοποιήσεις κάπως στην τάξη - βασικά, εμένα μου φαίνεται δύσκολο. :Ρ Αλλά, πρακτικά, αν πεις σε ένα παιδί ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής και δεν του πεις κάτι για την παραγωγισιμότητα, είναι σαν του δίνεις, μεταξύ άλλων, και μία τέτοια συνάρτηση - για θεωρητικές ασκήσεις, πάντα.

 

[Samael]

Είχα βάλει μια φορά φέτος δύο πολύ δυνατές κοπέλες από ένα τμήμα στο φροντιστήριο να δουλέψουν λίγο την ιδέα προσπαθώντας να βρουν συναρτήσεις με όλο και περισσότερα σημεία ασυνέχειας. Η αλήθεια είναι ότι, μιας και τέτοιες συναρτήσεις προκύπτουν - συνήθως - ως ομοιόμορφο όριο συνεχών συναρτήσεων με «μύτες», είναι δύσκολο να τις αξιοποιήσεις κάπως στην τάξη - βασικά, εμένα μου φαίνεται δύσκολο. :Ρ Αλλά, πρακτικά, αν πεις σε ένα παιδί ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής και δεν του πεις κάτι για την παραγωγισιμότητα, είναι σαν του δίνεις, μεταξύ άλλων, και μία τέτοια συνάρτηση - για θεωρητικές ασκήσεις, πάντα.

Ενδιαφέρον άσκηση για να παίξει κάποιος με την ιδέα . Σε πανελλήνιες πράγματι δεν πιστεύω να μπει ποτέ κάτι τέτοιο,πέρα απο το στυλ ιδού η f(x) συνεχής,και καμία πληροφορία για την διαφορισιμότητα στο Df . Εξάλλου δεν αφήνουν και πολλά περιθώρια για να δουλέψει κάποιος και την ύλη της Γ λυκείου καλά .

Τις προετοίμαζες μήπως και για κάποιον μαθηματικό διαγωνισμό ή απλά ήθελες ή/και ήθελαν εκείνες να δουν κάτι πιο τσιμπημένο ;

 

[Μάρκος Βασίλης]

Ενδιαφέρον άσκηση για να παίξει κάποιος με την ιδέα . Σε πανελλήνιες πράγματι δεν πιστεύω να μπει ποτέ κάτι τέτοιο,πέρα απο το στυλ ιδού η f(x) συνεχής,και καμία πληροφορία για την διαφορισιμότητα στο Df . Εξάλλου δεν αφήνουν και πολλά περιθώρια για να δουλέψει κάποιος και την ύλη της Γ λυκείου καλά .

Τις προετοίμαζες μήπως και για κάποιον μαθηματικό διαγωνισμό ή απλά ήθελες ή/και ήθελαν εκείνες να δουν κάτι πιο τσιμπημένο ;

Η μία είχε δώσει σημάδια στην Α' λυκείου ότι τα πήγαινε καλά με τα μαθηματικά, όταν είχε ανταποκριθεί σε ένα ερώτημα του τύπου: μπορείτε να βάλετε τους πραγματικούς αριθμούς σε έναν κύκλο χωρίς να χαλάσει η διάταξη κ.λπ.; Και είπα να δω πόσο μακριά πάμε. :Ρ