Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[American Economist]

1) Λ
(a^x)'=a^x*lna
2) Λ
f'(x)=g'(x)<=>f(x)=g(x)+c, c εν R
3) Λ
Δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων, αντιπαράδειγμα να αλλάζει τύπο στο 0
4) Σ
Έστω προς άτοπο ότι f συνεχής στο [α,β]
Πληροί τις προϋποθέσεις για Rolle=>Jxο στο (a,b):f'(x0)=0

Ευχαριστώ πολύ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Καλησπέρα! Πρόσφατα έγραψα ένα διαγώνισμα στον διαφορικό λογισμό και ο καθηγητής μου έκοψε από το εξής στο Θέμα Β.
Έχουμε τη συνάρτηση f (x)=x*e^[(-x^2)/2]. Έπρεπε κάποια στιγμή να βρω το σύνολο τιμών της , το οποίο βρήκα σωστά. Έπειτα, ρωτούσε το πλήθος ριζών της εξίσωσης :
e^[(-x^2)/2]-a/x=0. Προφανώς αν την προχωρήσεις καταλήγεις στο f (x)=a , όμως εδώ είχαμε την διαφωνία. Εγώ είπα ότι το χ><0 , διότι δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Παίρνοντας διάφορες τιμές για το a, όταν έφτασα στο σημείο όπου a=0 , τότε είπα ότι μόνο το f (0) =0, άρα πρέπει να απορριφθεί η περίπτωση a=0 αφού το χ=0 δεν ανήκει στο "πεδίο ορισμού" της εξίσωσης.
Τελικά πρέπει ή δεν πρέπει να το απορρίψω;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[unπαικτable]

Καλησπέρα! Πρόσφατα έγραψα ένα διαγώνισμα στον διαφορικό λογισμό και ο καθηγητής μου έκοψε από το εξής στο Θέμα Β.
Έχουμε τη συνάρτηση f (x)=x*e^[(-x^2)/2]. Έπρεπε κάποια στιγμή να βρω το σύνολο τιμών της , το οποίο βρήκα σωστά. Έπειτα, ρωτούσε το πλήθος ριζών της εξίσωσης :
e^[(-x^2)/2]-a/x=0. Προφανώς αν την προχωρήσεις καταλήγεις στο f (x)=a , όμως εδώ είχαμε την διαφωνία. Εγώ είπα ότι το χ><0 , διότι δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Παίρνοντας διάφορες τιμές για το a, όταν έφτασα στο σημείο όπου a=0 , τότε είπα ότι μόνο το f (0) =0, άρα πρέπει να απορριφθεί η περίπτωση a=0 αφού το χ=0 δεν ανήκει στο "πεδίο ορισμού" της εξίσωσης.
Τελικά πρέπει ή δεν πρέπει να το απορρίψω;

Το x=0 δεν ειναι σημειο προς μελετη. Επισης, υποθετω οτι πρεπει να βρεις λυσεις για καθε α και οχι να παρεις ενδεικτικες τιμες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Τι εννοείς ενδεικτικές τιμές;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[unπαικτable]

Τι εννοείς ενδεικτικές τιμές;

Λες οτι "Παίρνοντας διάφορες τιμές για το a, όταν έφτασα στο σημείο όπου a=0". Αυτο δεν ειναι σωστο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Δεν το διατύπωσα σωστά. Εννοώ ότι παιρνω διαστήματα στα οποία μπορεί να ανήκει το α και βρίσκω το πλήθος. Οχι ξεχωριστες τιμές.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Καλησπέρα! Πρόσφατα έγραψα ένα διαγώνισμα στον διαφορικό λογισμό και ο καθηγητής μου έκοψε από το εξής στο Θέμα Β.
Έχουμε τη συνάρτηση f (x)=x*e^[(-x^2)/2]. Έπρεπε κάποια στιγμή να βρω το σύνολο τιμών της , το οποίο βρήκα σωστά. Έπειτα, ρωτούσε το πλήθος ριζών της εξίσωσης :
e^[(-x^2)/2]-a/x=0. Προφανώς αν την προχωρήσεις καταλήγεις στο f (x)=a , όμως εδώ είχαμε την διαφωνία. Εγώ είπα ότι το χ><0 , διότι δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Παίρνοντας διάφορες τιμές για το a, όταν έφτασα στο σημείο όπου a=0 , τότε είπα ότι μόνο το f (0) =0, άρα πρέπει να απορριφθεί η περίπτωση a=0 αφού το χ=0 δεν ανήκει στο "πεδίο ορισμού" της εξίσωσης.
Τελικά πρέπει ή δεν πρέπει να το απορρίψω;

Εαν α = 0,η εξισωση δεν εχει ριζες διοτι επικρατει ο εκθετικος ορος της εξισωσης να ειναι ισος με το μηδεν(που δεν γινεται).

Εαν το α>0 επειδη ο εκθετικος ορος αποσβενει πολυ γρηγορα θα μεινεις με μια υπερβολη η οποια δεν θα εχει ριζες για θετικα x(ειναι φανερο απο την εξισωση) .

Εαν το α<0 ομοιως θα μεινεις με μια υπερβολη η οποια δεν θα εχει ριζες για αρνητικα x .

Στις δυο περιπτωσεις ομως θα υπαρχει το αντιστοιχο τεταρτημοριο που κοντα στο x θα παρουσιαζει δυο,μια η καμια ρίζα.Αυτο συμβαινει γιατι καθως η τιμη του α μεταβαλλεται ειτε θετικα ειτε αρνητικα,το αρχικο γραφημα του εκθετικου σπαει σε δυο καμπυλες της υπερβολης. Αρχικα ο εκθετικος ορος προσπαθει να πιασει το 0,και οσο μικροτερο ειναι το α τοσο πιο πολυ το "καταφερνει" αυτο,ομως οσο μεγαλωνει το x,το εκθετικο και ο ορος της υπερβολης τεινουν στο 0,με αποτελεσμα να δημειουργειται ακροτατο . Οσο μεγαλωνει ομως το α κατα απολυτη τιμη τοσο εξαμολυνεται το ακροτατο και χανονται οι ριζες απο 2 γινονται 1(το ακροτατο μολις που αγγιζει τον αξονα των x'x) εως και καμια και στη συνεχεια χανεται και εντελως το ακροτατο.

Σου εδωσα μια διαισθητικη εικονα του τι συμβαινει και γιατι ο τροπος λυσης θα ηταν λαθος . Ουσιαστικα χανεις 3 περιπτωσεις :

• Υπαρξη 2 ριζων


• Υπαρξη 1 ριζας


• Καμια ριζα

Σημειωση -> Ριζα 3η δεν υπαρχει διοτι η συναρτηση τεινει στο 0 οσο το x αυξανεται ή μειωνεται(αναλογα το α). Αυτο που πρεπει να εχεις στο νου σου ειναι οτι η παραμετρος συνηθως αλλαζει την εν λογω συναρτηση καθε φορα . Με το να παρεις μεμονωμενες τιμες εξεταζεις μια απο τις απειρες μορφες της τελικης .

Ενας καλος τροπος επιλυσης αυτου θα ηταν να υπολογισεις δευτερη παραγωγο και μετα το ακροτατο της(εξισωσης που θα θεσεις ως συναρτηση) συναρτησει του α. Να επαιρνες περιπτωσεις οταν το g'(α) > 0 ή g'(α)<0 ή g'(α) = 0 και με την βοηθεια του θεωρηματος Bolzano και τις οριακες τιμες της f στο +οο(ή στο -οο) να ισχυριζοσουν σε καθε περιπτωση το πληθος ριζων που αντιστοιχουν.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Έστω ότι η άσκηση είναι αυτή. Η διαφωνία βρίσκεται στο γεγονός ότι υποστηρίζω ότι το πλήθος ριζών του α) είναι διαφορετικό από το πλήθος ριζών του β) , άσχετα αν η 2η εξίσωση μετασχηματίζεται στην 1η. ( η γραφική της παράσταση μοιάζει με αυτή, την ζητούσε στο προηγούμενο ερώτημα.)
Υποστηρίζω ότι στο β) ερώτημα το α πρέπει να μην είναι μηδέν, γιατί μόνο το f (0) κάνει 0. Ελπίζω τώρα να ξεκαθάρισαν τα πράγματα. Περιμένω την γνώμη σας, και συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[unπαικτable]

Λοιπον(ρε παιδια που πηγε το latex).
Η εξισωση exp(-x^2/2)-a/x=0 ειναι ισοδυναμη με την x*exp(-x^2/2)=a μονο αν x διαφορο 0. Δεν εχει νοημα να μιλαμε για το x=0.
Αν a=0 τοτε εχεις exp(-x^2/2)=0 που δεν ικανοποιειται για κανενα x. Αρα δεν εχει νοημα να ασχοληθεις με την περιπτωση a=0.
Η λυση της ασκησης ειναι η εξης. Αν aε(-απειρο,-1/sqrt(e))U{0}U(1/sqrt(e),+απειρο) δεν υπαρχει λυση. Για καθε αλλη τιμη του a εχει δυο ριζες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Το εξηγώ στον καθηγητή μου και δεν το καταλαβαίνει. Επιμένει ότι οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.. Δεν με πιστεύει.
Μην ξεχνάς βέβαια και τα ακρότατα στα οποία έχει μία λύση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[unπαικτable]

Το εξηγώ στον καθηγητή μου και δεν το καταλαβαίνει. Επιμένει ότι οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.. Δεν με πιστεύει.

Μηπως το σημειο διαφωνιας σας δεν ειναι αυτο;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Έστω ότι η άσκηση είναι αυτή. Η διαφωνία βρίσκεται στο γεγονός ότι υποστηρίζω ότι το πλήθος ριζών του α) είναι διαφορετικό από το πλήθος ριζών του β) , άσχετα αν η 2η εξίσωση μετασχηματίζεται στην 1η. ( η γραφική της παράσταση μοιάζει με αυτή, την ζητούσε στο προηγούμενο ερώτημα.)
Υποστηρίζω ότι στο β) ερώτημα το α πρέπει να μην είναι μηδέν, γιατί μόνο το f (0) κάνει 0. Ελπίζω τώρα να ξεκαθάρισαν τα πράγματα. Περιμένω την γνώμη σας, και συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

Αα η συναρτηση ειναι η f(x) = xe^((-x^2)/2 ,νομιζα οτι δεν ειχε x μπροστα της ,τωρα τα πραγματα ειναι πιο απλα .
Τελος παντων,agnwsth,καλα τα λες γενικα,το μονο σου λαθος ειναι οτι προσπαθεις να κανεις force το α να μην ειναι μηδεν γιατι τοτε δεν θα εχεις ριζα .Ομως αυτο δεν σε νοιαζει,θες να την βρεις αυτη την περιπτωση οχι να την αποφυγεις .

Οποτε λες οτι εαν το α = 0 προκυπτει οτι μια εκθετικη πρεπει να ειναι ισο με το 0 το οποιο ειναι αδυνατο για καθε x E R και επομενως εαν το α = 0 η εξισωση δεν εχει ριζες,και οχι πως δεν γινεται το α να γινει μηδεν. Αρα για να συνοψισω ειναι λαθος να πεις "αγνοω την περιπτωση που α = 0 γιατι δεν εχω ριζες". Η ασκηση περιμενει απο εσενα να το ανακαλυψεις αυτο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Σας ευχαριστώ! Έκανα το λάθος που αναφέρει ο Samael εδώ. Αλλά και εκείνος που επιμένει ότι έχει μία ρίζα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Σας ευχαριστώ! Έκανα το λάθος που αναφέρει ο Samael εδώ. Αλλά και εκείνος που επιμένει ότι έχει μία ρίζα.

Λογικα κατι αλλο ειχε στο μυαλο του εκεινη την στιγμη και μπερδευτηκε.Εαν δει το διαγραμμα της f θα αλλαξει γνωμη .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ιωαννα Κ.]

Οταν θελω να βρω πραγωγο f(x)= x-ln(1+x)/1+x βοηθεια οποιος ξερει εχω φαει το κεφαλι μου μια ωρα για κατι τοσο απλο!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Οταν θελω να βρω πραγωγο f(x)= x-ln(1+x)/1+x βοηθεια οποιος ξερει εχω φαει το κεφαλι μου μια ωρα για κατι τοσο απλο!

Το χ περιεχεται στον αριθμητη η ειναι σκετο ln(x+1) στον αριθμητη ;

Γενικα η παραγωγιση ειναι τετριμενη διαδικασια απο την στιγμη που ξερεις τους κανονες . Γιατι εχεις τετοια απορια λιγες βδομαδες πριν τις πανελληνιες ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Tsosmi_maths]

Προς φοιτητες και καθηγητες. Τα μαθηματικα συνεχιζουν να γινονται πιο ενδιαφεροντα μετα απο την 3η λυκειοτ; Γενικα απο 2α δημοτικου μου αρεσαν και ημουν καλος και καθε χρονο μαρεσαν πιο πολυ και γενικα εχω κολλησει απιστεθτα τα τελευταια 2 χρονια. Μετα την 3η λυκειου πως ειναι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Προς φοιτητες και καθηγητες. Τα μαθηματικα συνεχιζουν να γινονται πιο ενδιαφεροντα μετα απο την 3η λυκειοτ; Γενικα απο 2α δημοτικου μου αρεσαν και ημουν καλος και καθε χρονο μαρεσαν πιο πολυ και γενικα εχω κολλησει απιστεθτα τα τελευταια 2 χρονια. Μετα την 3η λυκειου πως ειναι;

Η απάντηση είναι σχετική εξαρτάται απο την ιδιοσυγκρασία σου. Λόγου χάρη ο λογισμός είναι πολύ χρήσιμος . Ωστόσο προσωπικά βρίσκω τα διακριτά αρκετά πιο απολαυστικά . Ομοίως κάποιος άλλος θα μπορούσε να έχει κόλλημα με θεωρία αριθμών ή δυναμικά συστήματα . Εφόσον σε ενδιαφέρουν θα σου πρότεινα να ακολουθήσεις σχετικές σπουδές και να εκτεθείς σε όσους περισσότερους κλάδους τους είναι δυνατόν ,διάβασε βιβλία και ασχολήσου με προβλήματα που σου κινούν το ενδιαφέρον . Εαν έχεις την δυνατότητα προσπάθησε να συμμετάσχεις και σε σχετικούς διαγωνισμούς .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δημ.Μοσχόπουλος]

Συμφωνώ με τον Samael ως προς το θέμα της ιδιοσυγκρασίας. Σημαντικός παράγοντας επίσης είναι ποια θέματα Μαθηματικών διδάσκεται κάποιος στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, αλλά και πώς του τα μεταφέρουν οι διδάσκοντες. Στην σχολή που σπούδασα ας πούμε, με τράβηξαν τα Θεωρητικά Μαθηματικά και όχι τα Εφαρμοσμένα (τα οποία πάντα θα αντιπαθώ). Το 99% των συμφοιτητών μου τράβηξαν προς τα Εφαρμοσμένα (και δεν το λέω αυτό για να δείξω ότι το έκανα για να ξεχωρίζω από τους υπόλοιπους). Στην διδασκαλία μου με ελκύουν τα αφηρημένα θέματα και όχι τα απτά.

Επομένως, σαν -με το καλό- συνεχίσετε στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, θα δείτε και θα κρίνετε μόνος σας. Ότι σας αρέσουν τα Μαθηματικά είναι πολύ καλό πάντως, διότι θα σας δίνει δύναμη να ασχολείστε με τα δύσκολα θέματα που θα συναντάτε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

f1(x) =e^x
f2(x) =x^2
f3(x)=ημχ

Να γραφούν ως σύνθεση των παραπάνω:
ημ²e^x
ημe^2x
ε^ημχ⁴
ημ⁴*e^2x

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πως σκεφτόμαστε εδώ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.