Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 11 Δεκεμβρίου 2013

Όταν κάνεις το θέσιμο που λες θα βγει απροσδιοριστία την οποία πρέπει να εξαφανίσεις με κάποια παραγοντοποίηση ή συζυγή παράσταση ΑΝ χρειαστεί. Στην δεύτερη άσκηση ζητάει την ύπαρξη κάποιου $x_0$ . Αρχικά μετάφρασε τα δεδομένα και στη συνέχεια σκέψου: ποιο/-α υπαρξιακό/-α θεώρημα/-τα από αυτά που έχεις μάθει σε βολεύει;

need4sheed · 11-12-13

εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R-R γιατην οποια ισχυει f(x)>= (f(1)+f(0))/2 για καθε x E R
α)ν.δ.ο η f δεν ειναι αντιστρεψιμη συναρτηση
β)ν.δ.ο η f'(x) εχει τουλαχιστον τρεις πραγματικες διαφορετικες ριζες
γ)Αν f(0)>0 και η συναρτηση f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R τοτε η εξισωση
f''(x)f(x)={f'(x)}^2 εχει τουλαχιστον δυο πραγματικες λυσεις

Just myself · 11-12-13

Παιδια πως λυνονται αυτες οι δυο εξισωσεις στο C?? Εχω μπερδευτει τελειως... :confused:

i) x²-7x=0
ii) 2x²+3xi+2i=0

Civilara · 11-12-13

Αρχική Δημοσίευση από Just myself:
Παιδια πως λυνονται αυτες οι δυο εξισωσεις στο C?? Εχω μπερδευτει τελειως...
i) z²-7z=0
ii) 2z²+3zi+2i=0

Θα θέσεις z=x+yi όπου x,y ανήκουν R και θα καταλήξεις σε σύστημα δύο εξισώσεων με δύο πραγματικές μεταβλητές.

tweetyslvstr · 11-12-13

https://https://www.5lykpetr.gr/upload/oriastoapeiro.pdf
θεμα 10 μπορεί κανείς να με βοηθησει????????????

need4sheed · 12-12-13

estv h synarthsh f:R-R με f(o)=1 ωστε |e^x f(y)-e^y f(x)}|<= (y-x)^2 για καθε χ,y e R
Δ1)να δειξετε οτι η g(x)=e^-x f(X) ειναι σταθερη
Δ2)να δειξετε οτι f(x)=e^x
Δ3)αν για τους πραγματικους αριθμους α και β ισχυει e^(4a-b)=a+7(f(0)-1) να βρειτε τη μικροτερη δυνατη τιμη του β

Διονύσης13 · 12-12-13

Στο Δ1 λες e^(-x) * f(x) ?

need4sheed · 12-12-13

nai

εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R-R γιατην οποια ισχυει f(x)>= (f(1)+f(0))/2 για καθε x E R
α)ν.δ.ο η f δεν ειναι αντιστρεψιμη συναρτηση
β)ν.δ.ο η f'(x) εχει τουλαχιστον τρεις πραγματικες διαφορετικες ριζες
γ)Αν f(0)>0 και η συναρτηση f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R τοτε η εξισωση
f''(x)f(x)={f'(x)}^2 εχει τουλαχιστον δυο πραγματικες λυσεις

rebel · 12-12-13

Αρχική Δημοσίευση από tweetyslvstr:
https://www.5lykpetr.gr/upload/oriastoapeiro.pdf
θεμα 10 μπορεί κανείς να με βοηθησει????????????

Για ευκολία ας θέσουμε $b=|z+1/\bar{z}|$ .
α) Για να ορίζεται η $f$ σε όλο το $\mathbb{R}$ πρέπει το τριώνυμο μέσα στην ρίζα να είναι παντού μη αρνητικό, δηλαδή: $a>0 ,\,\,\Delta \leq 0$ .
β) Βλέπουμε ότι έχουμε απροσδιοριστία $+\infty - \infty$ οπότε πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με συζυγή παράσταση. Για $x$ κοντά στο $+\infty$ λοιπόν έχουμε:
$f(x)=\frac{\left(ax+b-\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\left(ax+b+\sqrt{ax^2+bx+c}\right)}{ax+b+\sqrt{ax^2+bx+c}}=\frac{a^2x^2+2abx+b^2-ax^2-bx-c}{ax+b+\sqrt{ax^2+bx+c}}=\frac{x^2\left(a^2-a+\frac{(2a-1)b}{x}+\frac{b^2-c}{x^2}\right)}{x\left(a+\frac{b}{x}+\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}\right)}=x\frac{a^2-a+\frac{(2a-1)b}{x}+\frac{b^2-c}{x^2}}{a+\frac{b}{x}+\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}}.$
Επειδή
$\lim_{x \to +\infty}x =+\infty$ και $\lim_{x \to +\infty}\frac{a^2-a+\frac{(2a-1)b}{x}+\frac{b^2-c}{x}}{a+\frac{b}{x}+\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}}=\frac{a(a-1)}{a+\sqrt{a}}$
συμπεραίνουμε ότι αν $a>1$ τότε $\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ ενώ αν $a<1$ τότε $\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ . Υποχρεωτικά λοιπόν πρέπει $a=1$ .

Ο τύπος της $f$ γράφεται: $f(x)=x+b-\sqrt{x^2+bx+c}$ . Όπως και πριν για $x$ κοντά στο $+\infty$ :
$f(x)=\frac{x^2+2bx+b^2-x^2-bx-c}{x+b+\sqrt{x^2+bx+c}}=\frac{x\left(b+\frac{b^2-c}{x}\right)}{x\left(1+\frac{b}{x}+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}\right)}=\frac{b+\frac{b^2-c}{x}}{1+\frac{b}{x}+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}}$
οπότε $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\frac{b}{2}$ , δηλαδή
$\frac{b}{2}=1 \Rightarrow b=2 \Rightarrow \left|z+\frac{1}{\bar{z}}\right|=2 \Rightarrow \left|z+\frac{1}{\bar{z}}\right|^2=4 \Rightarrow \left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\left(\bar{z}+\frac{1}{z}\right)=4 \\ \Rightarrow \left(z \bar{z}\right)^2+1=2z \bar{z} \Rightarrow \left(z\bar{z}-1\right)^2=0 \Rightarrow z\bar{z}=1 \Rightarrow \left|z\right|^2=1 \Rightarrow |z|=1$

γ) Επειδή $z \bar{z}=1$ έχουμε:
$\left(1+z^n\right)(1+\bar{z})^n=\left(1+\frac{1}{\bar{z}^n}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)^n=\frac{1}{\bar{z}^n}\left(\bar{z}^n+1\right)\frac{1}{z^n}\left(z+1\right)^n=\left(\bar{z}^n+1\right)\left(z+1\right)^n$
και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

need4sheed · 12-12-13

paideia sas parakalw ligo voh8eia me tis dyo askhseis poy anevasa prin eyxaristw ek twn proterwn

tipotas · 12 Δεκεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
nai

εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R-R γιατην οποια ισχυει f(x)>= (f(1)+f(0))/2 για καθε x E R
α)ν.δ.ο η f δεν ειναι αντιστρεψιμη συναρτηση
β)ν.δ.ο η f'(x) εχει τουλαχιστον τρεις πραγματικες διαφορετικες ριζες
γ)Αν f(0)>0 και η συναρτηση f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο R τοτε η εξισωση
f''(x)f(x)={f'(x)}^2 εχει τουλαχιστον δυο πραγματικες λυσεις

α) Για χ=1 και για χ=0 απο τη σχέση που δίνεται παίρνουμε αντίστοιχα:
f(1)>=f(0) και f(0)>=f(1)
Άρα f(1)=f(0) οπότε η f δεν ειναι αντιστρέψιμη
β)Αντικαθιστώντας στην αρχική σχέση όπου f(1)=f(0) έχουμε: f(x)>=f(0) (έστω σχέση (1) αυτή) και f(x)>=f(1)
Άρα τα 0,1 είναι ακρότατα της f, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα fermat f'(0)=f'(1)=0
Ακόμα επειδή f(0)=f(1) σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ξe(0,1) τέτοιο ώστε f'(ξ)=0
Τελικά η f'(x) έχει τουλάχιστον 3 πραγματικές ρίζες(τις 0,ξ,1)
γ)αφού f(0)>0 από την (1) έχουμε : f(x)>=f(0)>0 ή fx)>0 για κάθε xeR
f''(x)f(x)={f'(x)}^2 <=> f''(x)f(x)-(f'(x))^2=0 <=> f''(x)f(x)-(f'(x))^2/(f(x))^2=0 <=> [f'(x)/f(x)]'=0
Εστω g(x)=f'(x)/f(X)
g(0)=g(ξ)=g(1)=0 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Rolle η g' (οπότε ισοδύναμα και η f''(x)f(x)={f'(x)}^2) έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, μια στο (0,ξ) και μια στο (ξ,1)

Υ.Γ.

Αρχική Δημοσίευση από tweetyslvstr:
https://https://www.5lykpetr.gr/upload/oriastoapeiro.pdf
θεμα 10 μπορεί κανείς να με βοηθησει????????????

Μπορεί κάποιος να γράψει την εκφώνηση της άσκησης επειδή μου λέει ότι δε βρέθηκε η διεύθυνση;

rebel · 13-12-13

Αρχική Δημοσίευση από tipotas:
Μπορεί κάποιος να γράψει την εκφώνηση της άσκησης επειδή μου λέει ότι δε βρέθηκε η διεύθυνση;

https://www.5lykpetr.gr/upload/oriastoapeiro.pdf

need4sheed · 13-12-13

estv h synarthsh f:R-R με f(o)=1 ωστε |e^x f(y)-e^y f(x)}|<= (y-x)^2 για καθε χ,y e R
Δ1)να δειξετε οτι η g(x)=e^-x f(X) ειναι σταθερη
Δ2)να δειξετε οτι f(x)=e^x
Δ3)αν για τους πραγματικους αριθμους α και β ισχυει e^(4a-b)=a+7(f(0)-1) να βρειτε τη μικροτερη δυνατη τιμη του β

οποιος μπορει ας βοηθησει ευχαριστω εκ των προτερων

rebel · 13-12-13

α) Για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ διαιρώντας την ανισότητα με $e^{x+y}$ παίρνουμε:
$\left|e^{-y}f(y)-e^{-x}f(x)\right| \leq \frac{|y-x|^2}{e^{x+y}} \Rightarrow \left| \frac{e^{-y}f(y)-e^{-x}f(x)}{y-x}\right| \leq \frac{|y-x|}{e^{x+y}} .$
Για $y=x_0 \in \mathbb{R}$ αυθαίρετο και $x=x$ , η προηγούμενη σχέση γράφεται:
$\left| \frac{e^{-x}f(x)-e^{-x_0}f(x_0)}{x-x_0}\right| \leq \frac{|x-x_0|}{e^{x+x_0}} \Rightarrow \\ -\frac{|x-x_0|}{e^{x+x_0}} \leq \frac{e^{-x}f(x)-e^{-x_0}f(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{|x-x_0|}{e^{x+x_0}}$
Από την τελευταία σχέση και το κ. παρεμβολής παίρνουμε:
$\lim_{x \to x_0} \frac{e^{-x}f(x)-e^{-x_0}f(x_0)}{x-x_0}=0$
δηλαδή $g'(x_0)=0$ . Άρα $g'(x)=0 \,\, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g(x)=c \,\, \forall x \in \mathbb{R}$
β) Για $x=0: \,\, g(0)=c \Rightarrow c=1$ οπότε $g(x)=1 \Rightarrow f(x)e^{-x}=1 \Rightarrow f(x)=e^x$
γ)...δεν προλαβαίνω

tipotas · 16-12-13

Μπάρλας τεύχος Β σελ 132 άσκηση 39
i) Έστω f:R-->R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει f'(x)>2f(x), για κάθε xeR και f(0)=1.Να δείξετε ότι f(x)>e^2x, για κάθε x>0.
ii) Έστω g:R-->R μία συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο 0, για την οποία ισχύει g''(x) - 4g'(x) + 4g(x) > 0 , για κάθε x>0 και g(0)=0.
Να δείξετε ότι g(x)>xe^2x, για κάθε x>0.

Έχω πρόβλημα με το δεύτερο ερώτημα, επειδή δε μας δίνει το g'(0).Είναι λάθος η άσκηση ή μου ξεφεύγει κάτι;

Guest 018946 · 23-12-13

Αρχική Δημοσίευση από pizza1993:
dmitso διαφωνω λιγο με τον τροπο σου μιας και δεν διχνεις με απολυτη μαθηματικη αυστηροτητα το ζητουμενο και ο ενδεχωμενος εξεταστης ισως εκοβε μερικα μοριακια...(μπορει να κανω και λαθος αλλα με μια γρηγορη ματια κατι δεν μου καθετε,αν μπορεις εξηγησε λιγο παραπανω πως καταληγεις στο συμπερασμα σου..)

Εγω θα την ελυνα ετσι:lim[f^3(x)+limg^3(x)]=2
limf^3(x) +limg^3(x)=2
limf^3(x)=2-limg^3(x)

Ομως limf^3(x)>=1 αρα 2-limg^3(x)>=1
limg^3(x)<=1 ομως απο υποθεση limg^3(x)>=1 αρα limg^3(x)=1 ομοιως για το limf^3(x)=1...

E μετα ιδιοτητες οριων και ριζωνεις.Αυτα!

Αρχική Δημοσίευση από Dmitsos:
Oι συναρτήσες είναι μεγαλύτερες του 1, άρα οι συναρτήσεις υψωμένες στην τρίτη είναι μεγαλύτερες του 1 (καλά, για να κυριολεκτούμε, οι τιμές των συναρτήσεων), άρα τα όρια των συναρτήσεων (που είναι υψωμένες στην τρίτη) είναι μεγαλύτερα ίσα του 1. Προσθέτοντας βγαίνει ότι το άθροισμα είναι μεγαλύτερο ίσο του 2. Επειδή έχουμε όμως ότι είναι ίσο με δυο, καταλαβαίνουμε ότι το όριο της κάθε συνάρτησης στην τρίτη στο χ0 είναι 1. Άρα και το όριο της κάθε συνάρτησης στο χ0 είναι ίσο με 1.

Πιστεύω πως είστε και οι δύο λάθος :
Πιζζα σπας το οριο ενω δεν ξερεις αμα υπαρχουν τα εσωτερικα

λοιπον αυτη παει καπως ετσι

φ^3(χ)+g^3(x)-1>=φ^3(χ) -1>= 0

Απο Κριτήριο παρεμβολης προκύπτει $lim_{x \to x0}f^3(x)=1$

μετα χρησιμοποιω την ανισοτητα f^3(x) >= f(x) >= 1

και με ενα ΚΠ έχουμε τελειώσει
ομοια για την g

rebel · 23-12-13

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
φ^3(χ)+g^3(x)-1>=φ^3(χ) -1>= 0

To δεξί όριο είναι 0 και το αριστερό 1. Μία ιδέα είναι να βρεις αρχικά το όριο της $f(x)+g(x)$ . Αυτό θα σε βοηθήσει να βρεις το όριο της $f(x)g(x)$ . Μετά σκέψου ότι $1 \leq f(x) \leq f(x)g(x)$ κλπ

Guest 018946 · 23 Δεκεμβρίου 2013

εκανα λαθος στην αντιγραφη απο τα χαρτιά μου ειναι κανονικά f^3(x)+g^3(x)-1 >= f^3(x) >= 1 και μετα προχωραει κανονικα οπως το παω πιο πανω

Κώστα τωρα δεν μπορω να δω πως προχοράει η δικια σου ιδεα . Οταν τελειωσω με κατι διαφορικες που παιδευομαι θα το δω

aris-bas · 30-12-13

οποιος μπορει ας βοηθησει ευχαριστω εκ των προτερων!!!!

methexys · 30 Δεκεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
View attachment 55701

View attachment 55702

οποιος μπορει ας βοηθησει ευχαριστω εκ των προτερων!!!!

α) Ουσιαστικά ζητάει νδο υπάρχει χ1 ανήκει στο (α,β) ώστε f'(x1)=1
με ΘΜΤ στο (α,β) (επειδή είναι συνεχής και παρ/μη) έχουμε ότι υπάρχει ένα χ1 που ανήκει στο (α,β) ώστε f'(x1)=[f(β)-f(α)]/β-α=(β-α)/(β-α)=1 άρα ισχύει

σχετικά με το β ερώτημα,στο τέλος λέει αβ=4?
edit: τώρα είδα ότι υπάρχει και κώδικας latex,σόρυ!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος