Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

rebel · 06-01-12

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
5. $x^4-x^2-3x+4 > 0$
κάπως πιο απλά....
$x^4-x^2-3x+4= x^4-2x^2+x^2-3x+4= x^4-2x^2+x^2-3x+3+1= (x^2-1)^2+(x^2-3x+3) = (x^2-1)^2+(x^2-3x+9/4)+3/4= (x^2-1)^2+(x-3/2)^2+3/4>0$

Αυτή την διάσπαση έψαχνα κι εγώ ανεπιτυχώς.

Guest 018946 · 12-01-12

Μπηκαμε δευτεροβαθμιες οποτε Κωστα βαλε και απο εκει κανα θεματακι να ασχολουμεθα .
Btw: μια ερωτηση προς ολους : Ξερετε κανα site σαν το mathematica αλλα για φυσικη ; Θα παω να δωσω λογικά στην εεφ και θελω να δω τι παιζει .

transient · 12-01-12

μία εύκολη:

Έστω χ_1 και χ_2 οι ρίζες της εξίσωσης χ^2-4χ-2=0 Να βρεθεί η εξίσωση β βαθμού που να έχει ρίζες τα:
1) 1/χ^2_1 και 1/χ^2_2
2) χ^2_1/χ^2 και χ^2_2/χ+1
3) (3χ_1 +1) / (χ_1-3) και (3χ_2+1) / (χ_2-3)

Guest 018946 · 13 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
3) Να βρεθούν οι τιμές του m για τις οποίες η εξίσωση $mx^2+5x-6=0$ έχει δύο διαφορετικές ρίζες με διαφορά 1

Ξεκιναμε :
Πρεπει για να εχει δυο ανισες πραγματικες ριζες να ισχυει $\Delta = m > \frac{-25}{24}$
Μετασχηματίζω την εξίσω στην ισοδυναμη $x^2+\frac{5x}{m}-\frac{6}{m} = 0$ Απο δω εύκολα ο Vieta και τα δεδομενα μου δινον τρεις σχεσεις:
$S= -\frac{-5}{m} \; (1) \; \; P= \frac{-6}{m} \; (2) \; \; x_{1}=1+x_{2} \; \; (3)$ Αρχίζω αντικαστασεις και φτανω στο εξης συστημα οποτε εχω $\displaystyle{\begin{cases} & -\frac{5}{m}=2x_{2}+1 & -\frac{6}{m}=x_{2}(x_{2}+1) \end{cases}}$ Που απο δω ευκολα εχω : $\displaystyle{\begin{cases} & -6\frac{5}{m}=6(2x_{2}+1) & -5\frac{6}{m}=5x_{2}(x_{2}+1) \end{cases}}$ Απο δώ εξισώνω και καταληγω στην εξης δευτεροβαθμια $12x_{2}+=5x_{2}^2+5x_{2} \Leftrightarrow 5x_{2}^2-7x_{2}-6=0 \Leftrightarrow x_{2}_{1}=2 \vee x_{2}_{2}=-\frac{-3}{5}$ Και απο δω ευκολα παιρνω δυο τιμες για το $m$ τις : $m_{1}=25 \vee m_{2}=-1$
ΥΣ: Με βγήκε καπως το $tex$

schooliki · 13-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ξεκιναμε :
Πρεπει για να εχει δυο ανισες πραγματικες ριζες να ισχυει $\Delta = m > \frac{-25}{24}$
Μετασχηματίζω την εξίσω στην ισοδυναμη $x^2+\frac{5x}{m}-\frac{6}{m} = 0$ Απο δω εύκολα ο Vieta και τα δεδομενα μου δινον τρεις σχεσεις:
$S= -\frac{-5}{m} \; (1) \; \; P= \frac{-6}{m} \; (2) \; \; x_{1}=1+x_{2} \; \; (3)$ Αρχίζω αντικαστασεις και φτανω στο εξης συστημα οποτε εχω $\displaystyle{\begin{cases} & -\frac{5}{m}=2x_{2}+1 & -\frac{6}{m}=x_{2}(x_{2}+1) \end{cases}}$ Που απο δω ευκολα εχω : $\displaystyle{\begin{cases} & -6\frac{5}{m}=6(2x_{2}+1) & -5\frac{6}{m}=5x_{2}(x_{2}+1) \end{cases}}$ Απο δώ εξισώνω και καταληγω στην εξης δευτεροβαθμια $12x_{2}+=5x_{2}^2+5x_{2} \Leftrightarrow 5x_{2}^2-7x_{2}-6=0 \Leftrightarrow x_{2}_{1}=2 \vee x_{2}_{2}=-\frac{-3}{5}$ Και απο δω ευκολα παιρνω δυο τιμες για το $m$ τις : $m_{1}=25 \vee m_{2}=-1$
ΥΣ: Με βγήκε καπως το $\Latex$

Νομίζω ότι είναι καλύτερα να δουλεύεις με θεμελιώδεις ταυτότητες:
${({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}=1\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}=1\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=1-2\frac{6}{m}=\frac{m-12}{m}$
${({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}\Rightarrow {(-\frac{5}{m})}^{2}=\frac{m-12}{m}-2\frac{6}{m}\Rightarrow {m}^{2}-24m-25=0\Rightarrow m=25\, \kappa \alpha \iota \, m=-1$

Guest 018946 · 13-01-12

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
Νομίζω ότι είναι καλύτερα να δουλεύεις με θεμελιώδεις ταυτότητες:
${({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}=1\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}=1\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=1-2\frac{6}{m}=\frac{m-12}{m}$
${({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}\Rightarrow {(-\frac{5}{m})}^{2}=\frac{m-12}{m}-2\frac{6}{m}\Rightarrow {m}^{2}-24m-25=0\Rightarrow m=25\, \kappa \alpha \iota \, m=-1$

Φιλε πολυ ωραια η λυση σου κομψη . Οντως ειναι καλυτερο να δουλευεις έτσι εγω βεβαια το πηγα πιο τυφλοσουρτικα :redface:

schooliki · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Φιλε πολυ ωραια η λυση σου κομψη . Οντως ειναι καλυτερο να δουλευεις έτσι εγω βεβαια το πηγα πιο τυφλοσουρτικα

Ακόμα πιό κομψά. Με αφαίρεση των θεμελιωδών ταυτοτήτων έχουμε (νομίζω legendre):
${({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-{({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}=4{x}_{1}{x}_{2}\Rightarrow {(-\frac{5}{m})}^{2}-{1}^{2}=4(-\frac{6}{m})\Rightarrow {m}^{2}-24m-25m=0$
Ομοίως η ταυτότητα:
${({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}+{({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}=2({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})$
Και εφαρμογές των παραπάνω ταυτοτήτων για max και min γινομένων και αθροισμάτων.
1. Αν έχουμε σταθερό το εμβαδόν ορθογωνίου, πότε έχουμε ελαχιστοποίηση της περιμέτρου;
2. Αν έχουμε σταθερή περίμετρο ορθογωνίου, πότε έχουμε μεγιστοποίηση του εμβαδού;
3. Αν έχουμε σταθερή την περίμετρο ορθογωνίου, πότε έχουμε ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των εμβαδών των τετραγώνων που σχηματίζονται με πλευρές τις πλευρές του ορθογωνίου;

Guest 018946 · 14-01-12

οι ερωτησεις στο τελος ειναι για να απαντηθουν ;

schooliki · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
οι ερωτησεις στο τελος ειναι για να απαντηθουν ;

Βεβαίως, με βάση τις ταυτότητες Legendre.

Guest 018946 · 24 Ιουνίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από schooliki:
1. Αν έχουμε σταθερό το εμβαδόν ορθογωνίου, πότε έχουμε ελαχιστοποίηση της περιμέτρου;
2. Αν έχουμε σταθερή περίμετρο ορθογωνίου, πότε έχουμε μεγιστοποίηση του εμβαδού;
3. Αν έχουμε σταθερή την περίμετρο ορθογωνίου, πότε έχουμε ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των εμβαδών των τετραγώνων που σχηματίζονται με πλευρές τις πλευρές του ορθογωνίου;

Έχω απαντηση για τα 1 , 2 αλλα με ανισότητες :
έχω $2(a+b) \geq 4 \sqrt{ab} \Leftrightarrow a+b \geq 2\sqrt{ab} \Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$ με την ελαχιστη περιμετρο να πιανεται για $a=b$ οπως ακριβως και το μεγιστο εμβαδο πιανεται για $a=b$

Α και ειναι ταυτοτητα
Lagrange

schooliki · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Έχω απαντηση για τα 1 , 2 αλλα με ανισότητες :
έχω $2(a+b) \geq 4 \sqrt{ab} \Leftrightarrow a+b \geq 2\sqrt{ab} \Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$ με την ελαχιστη περιμετρο να πιανεται για $a=b$ οπως ακριβως και το μεγιστο εμβαδο πιανεται για $a=b$

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Α και ειναι ταυτοτητα
Lagrange

1. Εξήγησέ μου, γιατί δεν κατάλαβα, πως η απόδειξη της ανισότητας Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου όρου, λύνει τα προβλήματα που έθεσα. Είναι απλές, αλλά σημαντικές εφαρμογές, αν ασχολείσαι με ΕΜΕ κ.λ.π.
2. Η Lagrange είναι η εξής: Για 2 δυάδες αριθμών α, β και χ, ψ ισχύει: $({\alpha }^{2}+{\beta }^{2})({\chi }^{2}+{\psi }^{2})={(\alpha \chi +\beta \psi )}^{2}+{(\alpha \psi -\beta \chi )}^{2}$
Η Lagrange βεβαίως ισχύει και για ν-άδες αριθμών. Είναι πολύ δυνατή αλλά δύσκολη ταυτότητα.

Guest 018946 · 14-01-12

ουσιαστικα σου εβγαλα με την ανισοτητα ποτε ελαχιστοποιειται η παρασταση $2(a+b)$ .

schooliki · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
ουσιαστικα σου εβγαλα με την ανισοτητα ποτε ελαχιστοποιειται η παρασταση $2(a+b)$ .

Έχεις δίκιο για τις 1,2, βγαίνουν και με την ανισότητα.
Για την 3, με τη 2η Legendre έχουμε:
${({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}+{({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}=2({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})\Leftrightarrow c+{({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}=2({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})$
Το 2ο μέρος ελαχιστοποιείται όταν το $({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}$ μηδενίζεται, δηλαδή όταν ${x}_{1}={x}_{2}$
Ομοίως και οι 1,2 με την 1η Legendre.

Guest 018946 · 14-01-12

Και λεω εγω γιατι να το κουρασουμε με ταυτοτητες δεν μπορω να επικαλεστω την θεμελιωδη ανισοτητα ( $x^2+y^2 \geq 2xy$ ) αφου θελω να βρω την ελαχιστη τιμη της παραστασης $a^2+b^2$ αρα εφαρμοζοντας εδω εχω $a^2+b^2-2ab \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ με την ισοτητα να κρατα για $a=b$ .

schooliki · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Και λεω εγω γιατι να το κουρασουμε με ταυτοτητες δεν μπορω να επικαλεστω την θεμελιωδη ανισοτητα ( $x^2+y^2 \geq 2xy$ ) αφου θελω να βρω την ελαχιστη τιμη της παραστασης $a^2+b^2$ αρα εφαρμοζοντας εδω εχω $a^2+b^2-2ab \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ με την ισοτητα να κρατα για $a=b$ .

Απλά ήθελα να σου δείξω ένα καλό εργαλείο. Αν θες το κρατάς. Μιλάω για τις Legendre. Μπράβο σου όμως με τις ανισότητες.
Μια που σου αρέσουν, από ΕΜΕ του 1987.
x, y, μ πραγματικοί με $x+y=2\mu -4$ και $xy={\mu }^{2}-3\mu +5$
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ${x}^{2}+{y}^{2}$

vimaproto · 14-01-12

Πες του και την απάντηση ότι είναι -6,5. Τώρα μπήκαν στις δευτεροβάθμιες.

Guest 018946 · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Πες του και την απάντηση ότι είναι -6,5. Τώρα μπήκαν στις δευτεροβάθμιες.

πως γινεται να ειναι - 6 , 5 ?

vimaproto · 14-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
πως γινεται να ειναι - 6 , 5 ?

Η μεθοδολογία για την περίπτωση μεγίστου ή ελαχίστου στην περίπτωση που εμφανίζεται δευτεροβάθμια εξίσωση είναι συγκεκριμένη. Παίρνουμε τη διακρίνουσα στο τελικό τριώνυμο με πραγματικούς όρους.
Εδώ ονομάζεις Α=χ²+y² και από τα δεδομένα φροντίζεις να διώξεις τα χ,y και θα σου μείνει μια δευτεροβάθμια έκφραση του μ. Δοκίμασε και τα ξαναλέμε.

Guest 018946 · 15-01-12

Πως γινεται αθροισμα μη αρνητικων να βγαζει αρνητικο ;

vimaproto · 18 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Πως γινεται αθροισμα μη αρνητικων να βγαζει αρνητικο ;

Δεν καταλαβαίνω τι ζητάς

Λοιπόν , επειδή έχει περάσει η ώρα και θα έχεις αγωνία για την άσκηση
Α=χ²+ y²=(χ+y)²-2χy=2μ²-10μ+6 ===> 2μ²-10μ+6-Α=0 ο μ πραγματικός , άρα διακρίνουσα Δ>_0 2Α+13>_0 ==> Α>_-13/2 ==> Αελαχ =-6,5

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος