Ας βάλω κι εγώ το γριφάκι μου : Δύο φοιτητές μαθηματικών, ο Άρης και ο Γιώργος, ενδιαφέρονται για την ίδια συμφοιτήτριά τους τη Μαρία. Αυτή τους είπε πως θα τα φτιάξει με αυτόν που θα αποδειχτεί πιο έξυπνος από τους δύο. Έβαλε στο μυαλό της δύο ακέραιους αριθμούς από το 3 έως το 100 και ψιθύρισε στον Άρη το άθροισμά τους και στον Γιώργο το γινόμενό τους. Τους εξήγησε τους κανόνες και τους είπε πως όποιος από τους δύο καταφέρει να βρει τους δύο αριθμούς θα κερδίσει την καρδιά της. Τότε οι δύο φοιτητές έκαναν μεταξύ τους τον παρακάτω διάλογο:
- Άρης: Ξέρω πως δεν μπορείς να βρεις τους αριθμούς. Δυστυχώς ούτε κι εγώ μπορώ.
- Γιώργος: Τώρα με αυτό που είπες τους βρήκα!
- Άρης: Τώρα τους βρήκα κι εγώ!
Στο τέλος έμειναν κι οι δύο μπουκάλες γιατί ήρθαν ισοπαλία, αλλά τουλάχιστον πήραν την ικανοποίηση πως έλυσαν το γρίφο της Μαρίας. Ποιοι ήταν οι δύο αριθμοί;
Σαν βοήθεια δίνεται η Εικασία του Goldbach που λέει πως κάθε ζυγός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δύο πρώτων. Παρόλο που δεν έχει αποδειχτεί για κάθε αριθμό, ισχύει στα σίγουρα μέσα στα όρια που θέτει το πρόβλημα.
Υγ.Δεν τον έχω λύσει οπότε οι απαντήσεις θα συζητηθούν.
Μερικές σκέψεις
1. Αν ο Άρης είχε ως άθροισμα άρτιο αριθμό, τότε, σύμφωνα με την εικασία του Goldbach, θα μπορούσε να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Επομένως, αν ο Γιώργος είχε ως γινόμενο αριθμό που αναλύεται μόνο σε γινόμενο δύο πρώτων, θα έβρισκε τους αριθμούς αμέσως (π.χ. αν είχε 35 τότε οι αριθμοί θα ήταν 7 και 5). Ο Άρης ξέρει ότι υπάρχει αυτή η πιθανότητα. Αφού του λέει ότι δε μπορεί να βρει τους αριθμούς, έχει αποκλείσει αυτή την πιθανότητα. Και αυτό το έκανε διότι είδε ότι
το άθροισμα των δύο αριθμών είναι περιττός αριθμός. Αυτό δεν το ήξερε ο Γιώργος. Μετά τo "ξέρω πως δε μπορείς να βρεις τους αριθμούς" του Άρη, το ξέρει.
2. Αν το άθροισμα είναι περιττός της μορφής 2 εις την ν + πρώτος, τότε υπάρχει η πιθανότητα ο Γιώργος να έχει το γινόμενο δύο τέτοιων αριθμών. Π.χ. 8 x 19 = 152. Το 152 έχει πρώτους παράγοντες τους 2 και 19. Ως γινόμενο μπορεί να γραφεί 8 x 19, 4 x 38, 2 x 76. Όμως τα δύο τελευταία γινόμενα δίνουν άρτιο άθροισμα, επομένως απορρίπτονται (Το τελευταίο και επειδή έχει το 2). Γενικά, αν σπάσουμε τη δύναμη του 2, το άθροισμα των αριθμών γίνεται άρτιο (άθροισμα δύο αρτίων). Ο Άρης τα γνωρίζει αυτά και έχει αποκλείσει και αυτή την πιθανότητα. Επομένως
το άθροισμα των δύο αριθμών δεν είναι αριθμός της μορφής 2 εις την ν + πρώτος. Αυτό επίσης δεν το ήξερε ο Γιώργος. Μετά τo "ξέρω πως δε μπορείς να βρεις τους αριθμούς" του Άρη, το ξέρει.
3. Αφού έχουμε ως άθροισμα περιττό αριθμό, ο ένας αριθμός είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, δηλαδή
το γινόμενο των δύο αριθμών είναι άρτιος αριθμός. Αυτό το ξέρουν και οι δύο από την αρχή.
Ερώτημα
Ποιά στοιχεία επί πλέον έδωσε στο Γιώργο το "Δυστυχώς ούτε και εγώ μπορώ" του Άρη;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.