Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lostie · 11-12-11

Aν η εξισωση χ^3+αχ^2+βχ + γ εχει τρεις ριζες πραγματικες και ανισες ανα δυο ν.δ.ο α^2 > 3β

drosos · 11-12-11

$g'(x)=-{e}^{-f(x)}f'(x)$
$g''(x)={e}^{-f(x)}{{f'(x)}^{2}-{e}^{-f(x)}f''(x)={e}^{-f(x)}({f'(x)}^{2}-f''(x)$
Ειναι πολ/σμος αρα παραγωγος του πρωτου και παραγωγος του δευτερου

Mizzkaterinoula · 11-12-11

σορρυ αλλα μπερδευτικα με αυτο που εχεις γραψει που δειχνει καθε φορα κατω απο την απαντηση σου και νομιζα πως ηταν μαζι με το μυνημα.

rebel · 11 Δεκεμβρίου 2011

Γενικά
(*) Παράγωγος γινομένου: $(fg)^\prime(x)=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$
(**)Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης(κανόνας της αλυσίδας): $(hof)^\prime(x)=h^\prime\left(f(x)\right)\cdot f^\prime(x)$
Στην περίπτωση αυτή:

$g^\prime(x)=\left(e^{-f(x)}\right)^\prime \stackrel{(**)}{=} e^{-f(x)} \cdot \left(-f^\prime(x)\right)=-e^{-f(x)}\cdot f^\prime(x)$
$g^{\prime\prime}(x)=\left(-e^{-f(x)}\cdot f^\prime(x)\left)^\prime \stackrel{(*)}{=} \left(-e^{-f(x)}\right)^\prime f^\prime(x)+ \left(-e^{-f(x)}\right)f^{\prime\prime}(x)\stackrel{(**)}{=}e^{-f(x)} \left(f^\prime(x)\right)^2-e^{-f(x)}f^{\prime\prime}(x)$
Edit: Απαντήθηκε αλλά μια που το έγραψα το αφήνω

Αρχική Δημοσίευση από lostie:
Aν η εξισωση χ^3+αχ^2+βχ + γ εχει τρεις ριζες πραγματικες και ανισες ανα δυο ν.δ.ο α^2 > 3β

Έστω $\rho_1,\rho_2,\rho_3$ με $\rho_1<\rho_2<\rho_3$ οι ρίζες της εξίσωσης $f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0$ . Από το θεώρημα Rolle
$\exists \xi \in (\rho_1,\rho_2): f^\prime(\xi)=0$
$\exists \xi^\prime \in (\rho_2,\rho_3): f^\prime(\xi^\prime)=0$
με $\xi \neq \xi^\prime$
Δηλαδή το τριώνυμο $f^\prime(x)=3x^2+2ax+b$ έχει ακριβώς δύο ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους οπότε και θετική διακρίνουσα: $\Delta=4a^2-4\cdot 3b=4 (a^2-3b)>0\Rightarrow \boxed{a^2>3b} \,\,\blacksquare$

lostie · 12-12-11

Aντε να το βρισκα, σ'ευχαριστω

so_desperate · 12-12-11

εστω f συνεχης και φθινουσα στο[-1,3].δειξε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο στο(-1,3) ωστε f(χο)=(2f(-1)+f(0)+ 3f(3))/6

εστω f συνεχης στο R με (f(x))^3+(f(x))^2+f(x)=xe^x-συνχ.δειξε οτι η εξισωση f(x)=0 εχει μια ακριβως ριζα.

οποιος μπορει ας βοηθησει

drosos · 12-12-11

Το πρωτο απλα θεωρημα μεγιστης κ ελαχιστης τιμης και μετα ενδιαμεσων τιμων
Στο δευτερο f(x)=0 θεσε συναρτηση αυτο που μενει και bolzano στο [0,π/2] και δειξε οτι ειναι γν μονοτονη(θεσε $g(x)={x}^{3}+{x}^{2}+x$ για την μονοτονια)

rebel · 12 Δεκεμβρίου 2011

Η δεύτερη δεν είναι και πολύ σαφής γιατί η εξίσωση $g(x)=xe^x-\sigma \upsilon \nu x=0$ έχει άπειρες λύσεις στο R ( φαίνεται με γράφημα) οπότε αν θεωρήσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις λύσεις, έστω $x_0$ θα είναι και $f(x_0)\left(f^2(x_0)+f(x_0)+1\right)=0 \Rightarrow f(x_0)=0$ . 'Αρα η εξίσωση $f(x)=0$ έχει και αυτή άπειρες λύσεις στο R. Eκτός αν ζητάει η εκφώνηση ότι έχει μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα.

turistas · 13 Δεκεμβρίου 2011

μπορειτε να με βοηθησετε να βρω την παραγουσα;
$x lnx f '(x)=f(x)$
$4/x=f '(x)/f(x)$
$e^x f(x)+e^x f '(x)=f '(x)$
$3x^2 f '(x^3)=f '(x)+$ συνπx

drosos · 13-12-11

Το δευτερο:
$4\frac{1}{x}-\frac{f'(x)}{f(x)}=0\Leftrightarrow (4lnx)'-(lnf(x))'=0$
Το τριτο:
${e}^{x}f(x)+{e}^{x}f'(x)-f'(x)=0\Leftrightarrow ({e}^{x}f(x))'-(f(x))'=0$
Το τελευταιο:
$3{x}^{2}f'({x}^{3}))-f'(x)-\sigma \upsilon \nu \pi x=0\Leftrightarrow (f({x}^{3}))'-(f(x))'-(\frac{\eta \mu \pi x}{\pi })'=0$

qwerty111 · 13-12-11

Έχει νόημα το ορισμένο ολοκλήρωμα από το α στο β μιας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο [α, β];

Rempeskes · 13-12-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Έχει νόημα το ορισμένο ολοκλήρωμα από το α στο β μιας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο [α, β];

Ναι. Δηλαδή, εάν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση f στο [α,β] και αλλάξουμε την τιμή της σε ένα σημείο ώστε να μετατραπεί στην ασυνεχή συνάρτηση g, τότε το ολοκλήρωμα Riemann της g υπολογίζεται και είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα Riemann της f.

rebel · 13-12-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Έχει νόημα το ορισμένο ολοκλήρωμα από το α στο β μιας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο [α, β];

Για την ύλη του λυκείου όχι. Η f πρέπει να είναι συνεχής σε όλο το διάστημα [α,β].

antonio2761994 · 17-12-11

έστω η συνάρτηση f με f: (-1,1) στο R, παραγωγίσιμη στο (-1,1) και g(x)=f(|x|) κάθε χ που ανήκει στο (-1,1)
να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 αν και μονο αν f'(0)=0

έχω κολλήσει και δεν μου βγαίνει τίποτα. όποιος μπορεί να βοηθήσει ας το κάνει. ευχαριστώ

rebel · 18 Δεκεμβρίου 2011

H συνάρτηση γράφεται $g(x)=\begin{cases} f(-x), & -1<x<0 \\ f(x), & 0 \leq x <1\end{cases}$ . Έχουμε
$\lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\ell$
$\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(-x)-f(0)}{x-0}\stackrel{y=-x}{=}-\lim_{y\to 0^+}\frac{f(y)-f(0)}{y-0}=-\ell$
Επομένως η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 αν και μόνο αν
$\lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} \Leftrightarrow \ell=-\ell \Leftrightarrow \ell=0 \Leftrightarrow f^\prime(0)=0$
H τελευταία ισοδυναμία έπεται από την παραγωγισιμότητα της f στο 0.

stelios1994-4 · 18-12-11

Καλησπέρα κ από μένα. Στο ψητό:
$f\left(x \right)={\alpha }^{x}$ με α>0. Να βρείτε το α, ώστε η ευθεία $\varepsilon : \chi -\psi =0$ να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f. Φαινομενικά είναι εύκολη, και δεν ξέρω γιατί κόλλησα

... Βγαίνω στην σχέση : ${\alpha }^{\alpha \ln \frac{1}{\alpha }}= e$ και δεν ξέρω πως να προχωρήσω. Μπορεί να κάνω και λάθος... Όποιος δεν βαριέται ας βοηθήσει..

rebel · 18-12-11

H η (ε) εφάπτεται της f στο σημείο $\left(x_0,f(x_0)\right)$ αν και μόνο αν
$\left\{\begin{matrix} f(x_0)-x_0=0 \\ f^\prime(x_0)=1\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_0}=x_0 \\ a^{x_0}\ln a = 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_0}=x_0 \\ a^{x_0} = \frac{1}{\ln a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a = 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln \left( a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a \right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln \left( a^{\frac{1}{\ln a}}\right)+\ln \left(\ln a\right) = 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \frac{1}{\ln a}\ln a+\ln \left(\ln a\right)= 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln \left(\ln a\right)=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln a= e^{-1} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= e \\ a= e^{1/e} \end{matrix}\right.$

stelios1994-4 · 18-12-11

Δεν κατάλαβα, από που προκύπτει ότι ln(lna)=-1 ...

rebel · 18-12-11

Στην δεύτερη εξίσωση από το σημείο
$\frac{1}{\cancel{\ln a}}\cdot \cancel{\ln a}+\ln \left(\ln a\right)= 0 \Leftrightarrow 1+\ln \left(\ln a\right)=0 \Leftrightarrow \ln \left(\ln a\right)=-1$

stelios1994-4 · 18-12-11

Ωχ, ναι! Δεν έβλεπα την διαίρεση... Φτάνω να σκέφτομαι πώς θα αλλάξω τους εκθέτες και τί θα βάλω στους λογάριθμους και δεν βλέπω τις διαιρέσεις.. !! Ευχαριστώ πάντως!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος