Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

μπαμπης5304 · 16-10-11

α ναι το ιδιο ειναι!!!!

(Ευχαριστω Anyway!!!!!)

kesmarag · 22-10-11

Παραθέτω ένα αρκετά απαιτητικό διαγώνισμα για συναρτήσεις
Διάρκεια 3 ώρες
Ύλη : Ορισμός Συνάρτησης, Σύνθεση, Μονοτονία
Σύντομα θα αναρτήσω και τις λύσεις

https://www.math24.gr/pdf/lck/Diagonisma_B1.1_1.3.pdf

μπαμπης5304 · 23-10-11

antwwwnis · 23-10-11

Οι διαφορικές εξισώσεις δεν είναι εκτός;

vassilis498 · 23-10-11

δε νομίζω ότι οι ασκήσεις αυτές είναι έτσι κι αλλιώς λυκειακού επιπέδου.

μπαμπης5304 · 23-10-11

μα η κατηγορια ειναι και για αποφοιτους,μην κοιτας που λεει οτι ειμαι μαθητης γ λυκειου

lowbaper92 · 23-10-11

Αρχική Δημοσίευση από μπαμπης5304:
$\chi = 1-{t}^{2} \psi = t-{t}^{3} dy/dx = ?$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=...$

rebel · 24-10-11

Αν για τους μιγαδικούς $z_1,z_2$ ισχύει $|z_1-i|=|z_2-i|=1$ καί $|z_1-z_2|=2$ να βρεθεί το $|z_1+z_2|$

rebel · 25 Οκτωβρίου 2011

Επειδή μου άρεσε το Β2 θα δώσω μία λύση αν μου επιτρέπεις.

Αρχικά λύνω την εξίσωση $f\left(f\left(f\left(x \right)\right) \right)=f\left(f\left(x \right)\right) \,\, (1)$ . Έχουμε:

$(1) \Leftrightarrow 25x+12=125x+124a \Leftrightarrow x=x_0=\frac{12-124a}{100}$

Έυκολα αποδεικνύεται με βάση την πρώτη δοθείσα σχέση οτι η $f$ είναι ένα προς ένα. Επομένως έχουμε διαδοχικά:

$f\left(f\left(f\left(x_0 \right)\right) \right)=f\left(f\left(x_0 \right)\right)\,\,(2) \Rightarrow f\left(f\left(x_0 \right)\right)=f\left(x_0 \right)\,\, (3) \Rightarrow \\ f\left(x_0 \right)=x_0 \,\, (4)$

Από $(2),(3),(4)$ είναι

$f\left(f\left(f\left(x_0 \right)\right) \right)=x_0 \Leftrightarrow 125x_0+124a=x_0 \Leftrightarrow -a=x_0 \Leftrightarrow \\ -a=\frac{12-124a}{100} \Leftrightarrow \boxed{a=\frac{1}{2}}$

επομένως

$f\left(f\left(f\left(x \right)\right) \right)=125x+62=5(25x+12)+2=5f\left(f\left(x \right)\right)+2 \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, (5)$

Έστω τώρα $y\in \mathbb{R}$ . Επιλέγοντας $x=\frac{y-12}{25}$ εύκολα βλέπουμε ότι $f\left(f\left(x \right)\right)=y$ οπότε από $(5)$ έχουμε τελικά

$\boxed{f(y)=5y+2 , \,\, \forall y \in \mathbb{R}}$ και αυτή η συνάρτηση επαληθεύει τις δοθείσες σχέσεις.

Leo 93 · 25-10-11

Κώστα η απάντηση είναι $2$ ;

rebel · 25-10-11

Ναι τόσο είναι

. Αν έχεις χρόνο γράψε και την λύση σου.

Civilara · 25 Οκτωβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν για τους μιγαδικούς $z_1,z_2$ ισχύει $|z_1-i|=|z_2-i|=1$ καί $|z_1-z_2|=2$ να βρεθεί το $|z_1+z_2|$

Μια κάπως ανορθόδοξη λύση που μας δίνει περισσότερα στοιχεία από όσα θέλουμε.

Αν z=x+yi όπου x, y ανήκουν R και ισχύει |z-i|=1 τότε έχουμε διαδοχικά |x+(y-1)i|=1 => |x+(y-1)i|^2=1 => (x^2)+(y-1)^2=1
Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο K(0,1) και ακτίνα ρ=1. Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτού του κύκλου είναι x=συνθ, y=1+ημθ όπου 0<=θ<2π

Άρα z1=συνθ1+(1+ημθ1)i, z2=συνθ2+(1+ημθ2)i όπου 0<=θ1<2π και 0<=θ2<2π.
Έχουμε z1-z2=(συνθ1-συνθ2)+(ημθ1-ημθ2)i
Συνεπώς |z1-z2|^2=(συνθ1-συνθ2)^2+(ημθ1-ημθ2)^2=(συνθ1)^2+(συνθ2)^2-2συνθ1συνθ2+(ημθ1)^2+(ημθ2)^2-2ημθ1ημθ2=
=[(ημθ1)^2+(συνθ1)^2]+[(ημθ2)^2+(συνθ2)^2]-2(συνθ1συνθ2+ημθ1ημθ2)=(1+1)-2συν(θ1-θ2)=2-2συν[-(θ2-θ1)]=2[1-συν(θ2-θ1)]>=0 αφού συν(θ2-θ1)<=1

|z1-z2|=2 => |z1-z2|^2=4 => 2(1-συν(θ2-θ1))=4 => 1-συν(θ2-θ1)=2 => συν(θ2-θ1)=-1 => συν(θ2-θ1)=συνπ => θ2-θ1=(2κ+1)π => θ2=θ1+(2κ+1)π, κ ανήκει Ζ

0<=θ1<2π => -2π<-θ1<=0
0<=θ2<2π

Άρα -2π<θ2-θ1<2π => -2π<2κπ+π<2π => -3π<2κπ<π => -(3/2)<κ<(1/2) => κ=-1 ή κ=0

Για κ=-1 είναι θ2=θ1-π
0<=θ2<2π => 0<=θ1-π<2π => π<=θ1

π και επειδή 0<=θ1<2π τότε πρέπει π<=θ1<2π
Αν θ1=θ τότε θ2=θ-π και ημθ2=ημ(θ-π)=-ημ(π-θ)=-ημθ, συνθ2=συν(θ-π)=συν(π-θ)=-συνθ

Για κ=0 είναι θ2=θ1+π
0<=θ2<2π => 0<=θ1+π<2π => -π<=θ1<π και επειδή 0<=θ1<2π τότε πρέπει 0<=θ1<π
Αν θ1=θ τότε θ2=θ+π και ημθ2=ημ(θ+π)=ημ(π-(-θ))=ημ(-θ)=-ημθ, συνθ2=συν(θ+π)=συν(π-(-θ))=-συν(-θ)=-συνθ

Και στις 2 περιπτώσεις είναι ημθ2=-ημθ, συνθ2=-συνθ
Συνεπώς z1=συνθ1+(1+ημθ1)i=συνθ+(1+ημθ)i, z2=συνθ2+(1+ημθ2)i=-συνθ+(1-ημθ)i όπου 0<=θ<2π

Έχουμε z1+z2=2i. Άρα |z1+z2|=|2i|=|2||i|=2*1=2

rebel · 25-10-11

Σ' ευχαριστώ για την ωραία απάντηση :clapup:

. Μαλλον πρωτότυπη παρά ανορθόδοξη εγώ θα έλεγα. Περιμένω όμως και σχολικές λύσεις.

soras7 · 25-10-11

Επειδη το μετρο z1-z2 ειναι ισο με 2 προκυπτει απο τριγωνικη οτι ισχυει μονο οταν οι εικονες των μιγαδικων ειναι στην ιδια ευθεια.Φερνουμε το συμμετρικο της μιας εικονας.Συγκρινοντας τα δυο τριγωνα με το κριτηριο ορθογωνιων τριγωνων προκυπτει οτι ειναι ισα.Αρα το μετρο z1+z2 ειναι ισο με το μετρο z1-z2 ισο με δυο.Σορρυ δεν εχω τροπο να ανανεβασω σχημα

exc · 25-10-11

Να σκέφτεστε απλά. Να χρησιμοποιείτε όσο πιο άμεσα γίνεται τα δεδομένα.
Η σχέση |z1-i|=|z2-i|=1 μας λέει ότι z1 και z2 βρίσκονται πάνω στον ίδιο καθορισμένο κύκλο με κέντρο το z=i και ακτίνα 1.
Η σχέση |z1-z2|=2 μας λέει ότι τα z1 και z2 είναι αντιδιαμετρικά.
Άρα μπορούμε να γράψουμε:
z1=z+z0 και z2=z-z0.
Άρα |z1+z2|=|2z|=|2i|=2.
ο.ε.δ.

soras7 · 25-10-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Να σκέφτεστε απλά. Να χρησιμοποιείτε όσο πιο άμεσα γίνεται τα δεδομένα.
Η σχέση |z1-i|=|z2-i|=1 μας λέει ότι z1 και z2 βρίσκονται πάνω στον ίδιο καθορισμένο κύκλο με κέντρο το z=i και ακτίνα 1.
Η σχέση |z1-z2|=2 μας λέει ότι τα z1 και z2 είναι αντιδιαμετρικά.
Άρα μπορούμε να γράψουμε:
z1=z+z0 και z2=z-z0.
Άρα |z1+z2|=|2z|=|2i|=2.
ο.ε.δ.

Oντως πρεπει να σκεφτομαστε πιο απλα :whistle:

.Ωραια αυτη η λυση με τον κυκλο

rebel · 25 Οκτωβρίου 2011

Όμορφα, βάζω και το σχήμα.

Ας βάλω και μία αλγεβρική λύση έτσι για να υπάρχει.
Λήμμα
Αν $z \in \mathbb{C}, \,\, w \in \mathbb{C^*}$ με $|z-w|= |z|+|w|$ τότε $\frac{z}{w}=a \leq 0 , \,\, a \in \mathbb{R}$
Απόδειξη
$|z-w|= |z|+|w|\Rightarrow \left|\frac{z}{w}-1\right|=\left|\frac{z}{w}\right|+1\,\, (1)$ . Θέτουμε $\frac{z}{w}=a+bi$ και έχουμε:

$(1)\Rightarrow \sqrt{(a-1)^2+b^2}=\sqrt{a^2+b^2}+1\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=-a \,\, (2)$

H $(2)$ αληθεύει μόνο αν $a \leq 0$ και τότε υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει $b= 0$ . Άρα $\frac{z}{w}=a \leq 0 , \,\, a \in \mathbb{R} \,\, \square$

Επιστρέφοντας στην άσκηση λοιπόν, η δεύτερη δοθείσα σχέση γράφεται
$|(z_1-i)-(z_2-i)|=|z_1-i|+|z_2-i|$ οπότε από το πάνω λήμμα με $z=z_1-i,w=z_2-i$ θα έχουμε ότι

$\frac{z_1-i}{z_2-i}=a \leq 0 \,\, (3)$

απ΄όπου παίρνοντας μέτρα βρίσκουμε ότι $|a|=1\Rightarrow a=-1$ αφού $a\leq 0$ . Συνεπώς:

$(3)\Rightarrow \frac{z_1-i}{z_2-i}=-1 \Rightarrow z_1-i=-z_2+i \Rightarrow z_1+z_2=2i \Rightarrow |z_1+z_2|=2$

soras7 · 25 Οκτωβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Όμορφα, βάζω και το σχήμα.

.Τα σχηματα που τα φτιαχνεις?????

rebel · 25-10-11

Στο wolfram mathematica. Βασικά είναι λίγο μπελαλίδικο γιατί τα σημεία και οι γραμμές μπαίνουν με συντεταγμένες, όμως απλά γεωμετρικά σχήματα μπορώ να φτιάξω. Για πιο περίπλοκα ενδείκνυται απ' ότι ξέρω το Geogebra το οποίο είναι και τσαμπέ (δεν το έχω δουλέψει).

soras7 · 25-10-11

οκ.Σε ευχαριστω

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος