Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[g1wrg0s]

Οπως το λες ειναι...ο βαθμος της εξισωσης καθοριζει το μεγιστο αριθμο των πραγματικων ριζων της και οχι των αριθμο των πραγματικων ριζων της. Στη συγκεκριμενη περιπτωση η εξισωση χ^3-1=0 μπορει να εχει καμια, μια, δυο ή ρεις το πολυ πραγματικες ριζες

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kosmas13green]

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z με την ιδιότητα |z+3|+|(συζυγή του)z+4i|=5
α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικόνας Μ του z;
β)Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του |z|;
γ)Ποιος από τους παραπάνω αριθμούς z έχει το μέγιστο μέτρο;

Το α) το έλυσα. Τώρα στο β) επειδή βρήκα ΑΒ=5 και είναι ευθεία τότε χρειάζομαι την εξίσωση της η οποία είναι της μορφής Αx+By+Γ=0 αλλά πως την βρίσκω με τα δεδομένα που έχω; (δυστυχώς πέρυσι στην κατεύθυνση είχα καθηγητή που περισσότερο με δούλευε για την Ρεαλ παρά έκανε μάθημα...) . Και μια βοήθεια για το γ). Ευχαριστώ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Boom]

pfff με αυτες τις ισοδυναμιες και τις επαγωγες.ποτε βαζουμε το ενα ποτε το αλλο;
και κατι αλλο. πρεπει να αναλυουμε ή μαλλον να υπεραναλυουμε τα οσα γραφουμε οταν λυνουμε μια ασκηση μαθηματικων;

Για το πρώτο δες και εδώ: https://ischool.e-steki.gr/α-λυκείου/συνεπάγεται-ισοδυναμεί-48772/

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

Ο βαθμος καθοριζει ποσες το πολυ ριζες εχει και μιγαδικες και πραγματικες.Για τις μιγαδικες δεν ξερω παντως για να βρεις τις πραγματικες στο χ³=1 ριζωνεις με την 3η ριζα και η τριτη ριζα του 1 ειναι 1 . Ενω στην περιπτωση του χ²=1 αν ριζωσεις με 2η ριζα θα σου βγαλει +-1 γιατι δυο αριθμοι την επαληθευουν το 1 και το -1. Να θυμασαι οταν ριζωνεις με αρτια ριζα πχ. 2,4,8 παντα μπροστα απο την ριζα που σου δινει το αποτελεσμα να βαζεις +- ή το χ που ειναι μεστην ριζα να το βαλεις μεσα σε απολυτο. Πιστευω να σε καλυψα και οχι να σε μπερδεψα.

η αλήθεια είναι ότι το ήξερα απλά ήθελα να δω πως θα το εξηγούσατε... πολύ ωραία απάντηση...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pagitas]

Ο βαθμος καθοριζει ποσες το πολυ ριζες εχει και μιγαδικες και πραγματικες.

"Για πραγματα για τα οποια δε γνωριζουμε κατι, καλυτερα να σωπαινουμε"

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

"Για πραγματα για τα οποια δε γνωριζουμε κατι, καλυτερα να σωπαινουμε"

x^2=1 έχει δύο πραγματικές ρίζες... και δύο μιγαδικές... χ=1,-1,i,-i

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pagitas]

x^2=1 έχει δύο πραγματικές ρίζες... και δύο μιγαδικές... χ=1,-1,i,-i

Παντως, το "ποσες ριζες εχει η εξισωση χ³=1" δε λεει τιποτα απο μονο του. Πρεπει να δωσεις και το συνολο στο οποιο ανηκει το χ.
Ο Μικρος που βιαστηκε να απαντησει να περιμενει καλυτερα μεχρι την Γ' Λυκειου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 278211]

Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: (by d'Alembert και ολοκληρωμένα by Gauss)

κάθε πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικών ν ακριβώς ρίζες

Αυτό σημαίνει πως στους πραγματικούς έχει το πολύ ν ρίζες. Α, και μετράμε τις διπλές-τριπλές-κλπ ρίζες ως δύο-τρεις-διαφορετικές διαφορετικές ρίζες που ταυτίζονται.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: (by d'Alembert και ολοκληρωμένα by Gauss)



Αυτό σημαίνει πως στους πραγματικούς έχει το πολύ ν ρίζες. Α, και μετράμε τις διπλές-τριπλές-κλπ ρίζες ως δύο-τρεις-διαφορετικές διαφορετικές ρίζες που ταυτίζονται.

οπότε μαζί έχουν 2ν πάντα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 278211]

οπότε μαζί έχουν 2ν πάντα?

Το πολύ ν στο R, ακριβώς ν στο C. Θυμήσου ότι το R είναι υποσύνολο του C.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

Το πολύ ν στο R, ακριβώς ν στο C.

κάτσε το χ^2=1 έχει δύο λύσεις στο R ενώ στο C έχει 4 λύσεις (αφού το R είναι υποσύνολο του C). το ακριβώς δεν καταλαβαίνω λοιπόν... το "τουλάχιστον" το καταλαβαίνω ή το "ακριβώς 2ν στο C" επίσης... τι είναι τελικά?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 278211]

κάτσε το χ^2=1 έχει δύο λύσεις στο R ενώ στο C έχει 4 λύσεις (αφού το R είναι υποσύνολο του C). το ακριβώς δεν καταλαβαίνω λοιπόν... το "τουλάχιστον" το καταλαβαίνω ή το "ακριβώς 2ν στο C" επίσης... τι είναι τελικά?

Έχεις δίκιο, δεν είπα ολοκληρωμένα αυτό που ήθελα, γιατί βιαζόμουν.

Αν έχουμε μια πολυωνυμική εξίσωση και δεν ξέρουμε ποιου βαθμού είναι και ξέρουμε πως έχει k λύσεις στο R, έχει τουλάχιστον k λύσεις στο C και είναι τουλάχιστον βαθμού k.

Το 2 ν, από πού το συμπέρανες; δεν είπα κάτι τέτοιο.

Χμμ...
Εδώ το (-1) είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης, και για αυτό λέμε ότι έχουμε δύο ρίζες που ταυτίζονται.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

Το 2 ν, από πού το συμπέρανες; δεν είπα κάτι τέτοιο.

λάθος μου... γιατί και καλά στο χ^2=1 έχει δύο στο R και 4 στο C... Λάθος όμως

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 278211]

x^2=1 έχει δύο πραγματικές ρίζες... και δύο μιγαδικές... χ=1,-1,i,-i

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

Σωστός !! άρα καταλήγουμε ότι έστω ν ο μέγιστος αριθμός ριζών στο R, τότε είναι ν τουλάχιστον ρίζες στο C. Άμα θες διόρθωσε πιο πάνω στο μήνυμα σου το "ακριβώς", γιατί γράφει ότι το έχεις επεξεργαστεί και το ολοκλήρωσες, ενώ η λέξη όμως παραμένει εκεί...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

δε νομίζω ότι ισχύει αυτό με τις ν ακριβώς ρίζες στο C... η x³=1 στο C ξέρω γω έχει μια ρίζα το 1, οι άλλες 2 μιγαδικές ρίζες ποιες είναι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

δε νομίζω ότι ισχύει αυτό με τις ν ακριβώς ρίζες στο C... η x³=1 στο C ξέρω γω έχει μια ρίζα το 1, οι άλλες 2 μιγαδικές ρίζες ποιες είναι;

Βασίλη, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δεν χωράει αμφισβήτηση. Η ισχύς του έχει αποδειχθεί εδώ και πάρα πολλά χρόνια. Η εξίσωση x^3=1 έχει ακριβώς 3 μιγαδικές ρίζες: x1=1, x2=-(1/2)+(sqrt(3)/2)i, x3=-(1/2)-(sqrt(3)/2)i.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 278211]

δε νομίζω ότι ισχύει αυτό με τις ν ακριβώς ρίζες στο C... η x³=1 στο C ξέρω γω έχει μια ρίζα το 1, οι άλλες 2 μιγαδικές ρίζες ποιες είναι;

Δε γνωρίζω την απόδειξη, όμως ισχύει. Δες τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης σελίδα 112-113. (εκτός ύλης, όμως χρήσιμο)

Και στο συγκεκριμένο: x^3-1=0 <=> (x-1)(x^2+x+1)=0 κλπ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vassilis498]

Βασίλη, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δεν χωράει αμφισβήτηση. Η ισχύς του έχει αποδειχθεί εδώ και πάρα πολλά χρόνια. Η εξίσωση x^3=1 έχει ακριβώς 3 μιγαδικές ρίζες: x1=1, x2=-(1/2)+(sqrt(3)/2)i, x3=-(1/2)-(sqrt(3)/2)i.

Να φανταστώ όμως οι άλλες 2 δεν βρίσκονται με κάποιον τρόπο που μαθαίνουμε στο σχολείο.
edit: άκυρο, από κάτω

Δε γνωρίζω την απόδειξη, όμως ισχύει. Δες τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης σελίδα 112-113. (εκτός ύλης, όμως χρήσιμο)

Και στο συγκεκριμένο: x^3-1=0 <=> (x-1)(x^2+x+1)=0 κλπ

α ναι όντως γίνεται και με παραγντοποίηση δεν το σκέφτηκα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

ρε παιδια με τοσα που εχουν γραφτει εγω προσωπικα μπερδευτηκα.
Εστω ενα μη μηδενικο πολυώνυμο ν βαθμου τοτε θα εχει ν μιγαδικες ριζες. Μπορει για παραδειγμα οι ν-2 να ειναι πραγματικες και οι αλλες δυο να ειναι της μορφης α+βi .
Δηλαδη το συνολο των ριζων που ειναι πραγματικες και το συνολο των ριζων της μορφης α+βi ειναι ν .
Αυτο ισχυει ή τιποτα αλλο;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.