Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 21-09-11

Παρατήρησε ότι g(3)=0 και εκμεταλλεύσου την μονοτονία της g

antwwwnis · 21-09-11

1)
Θέτομε g(x)=2x-5 και φ(χ)=4-χ

Έστω χ1,χ2€R, χ1<χ2
=>2χ1-5<2χ2-5
=>g(x1)<g(x2)
=>f(g(x1))<f(g(x2) γιατί f γνησιως αυξουσα

Άρα f(2x-5) γνησίως αύξουσα

χ1<χ2
=> -χ1>-χ2
=>4-χ1>4-χ2
=>φ(χ1)>φ(χ2)
=>f(φ(χ1))>f(φ(χ2)) f γνησίως αυξουσα
=>-f(φ(χ1))<-f(φ(χ2))
Άρα -f(4-x) γνησίως άυξουσα

g, λοιπόν, γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως αυξουσων συναρτήσεων

kosmas13green · 21-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
α) Το z ανήκει σε κύκλο με ακτίνα ρ=6 και κέντρο Α(1,0).
(ΟΑ)=1 και |z(max)|=(OA)+ρ=7 και |z(min)|=(OA)-ρ=5
Το σχήμα βοηθάει σε αυτές τις περιπτώσεις. Αυτό που σου ζητάει στην πραγματικότητα είναι να βρεις τα σημεία του κύκλου που απέχουν λιγότερο και περισσότερο από το Ο (0,0).

β) (i) Πρέπει να λύσεις το σύστημα: |z-1|=6 και |z+1/3|=12 θέτοντας z=x=yi με x,yER. Από εδώ θα βρεις είτε 1 είτε 2 τιμές για το z και με αντικατάσταση θα φτάσεις στο αποτέλεσμα.

(ii) (2u-1/2)((συζυγή του)u-1/4)=8w*(συζυγή του)w <=> 2*(u-1/4)((συζυγή του)u-1/4)=8w*(συζυγή του)w <=> |u-1/4|²=4|w|² <=>
|u-1/4|=2|w| κτλ

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
α) |z-1|=6 => |z-(1+0i)|=6 αρα ο γ.τ του z ειναι κυκλος με κεντρο Κ(1,0) και ακτινα 6 . Οταν σου ζητα την μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του |z| σημαινει οτι πρεπει να βρεις την μεγιστη και την ελαχιστη αποσταση που μπορει να εχει μια εικονα του z απο το σημειο Ο(0,0) . Κανε τον κυκλο σε ενα καρτετσιανο επιπεδο συντεταγμενων χ,y και θα δεις ποια ειναι η μεγιστη τιμη του |z | και ποια η ελαχιστη.

min|z|= ρ-1=6-1=5
max|z|=ρ+1=6+1=7

β) Λυσε την δευτερη σχεση ως προς w και θα βγει w=6(z-1)/3z+1= 2(z-1)/(z+1/3) [δεν υπαρχει προβλημα με τον παρανομαστη αφου z διαφορο του -1/3 (σου λεει οτι |z+1/3|=12) ]

αρα |w|= 2|(z-1)/(z+1/3)|=...=2*6/12=1 , οποτε |w|=1

Το τριτο θα το δω αργοτερα

Ευχαριστώ παιδιά :clapup:

teol20 · 21-09-11

Guys τα φωτα σας σε 2 ασκησεις μιγαδικων που εχω να κανω για αυριο,γιατι η καθηγητρια στο σχολειο έχει κάποιες εμμονές με συγκεκριμενα πραγματα και μας εχει κουφάνει.
Μιλάμε για τις 2 πρώτες ασκησεις.
https://imageshack.us/f/199/21092011228.jpg/

1000 ευχαριστω εκ των προτερων αλλα εχω ηδη διαθεσει παρα πολυ χρονο για την επιλυση και τρωω κολληματα.

rebel · 21 Σεπτεμβρίου 2011

1) Εύκολα βλέπουμε ότι οι ρίζες είναι $z_1=\sigma \upsilon \nu \theta + i \eta \mu \theta, \, z_2=\sigma \upsilon \nu \theta - i \eta \mu \theta$ . Είναι λοιπόν $|z_1|=|z_2|=\sqrt{\sigma \upsilon \nu^2 \theta + \eta \mu^2 \theta}=1$ . Άρα κινούνται στον μοναδιαίο κύκλο.
Στην συνέχεια λύνουμε την σχέση που δίνεται ως προς $z_2$ και έχουμε

$z_2=\frac{w-1}{1+w} \Rightarrow |z_2|= \left| \frac{w-1}{1+w} \right| \Leftrightarrow 1= \left| \frac{w-1}{1+w} \right| \Leftrightarrow |w-1|=|w-(-1)|$

Δηλαδή ο γ. τ. είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα (1,0), (-1,0) ήτοι η ευθεία χ=0

2) (Με επιφύλαξη) Αντικαθιστούμε $z=x+iy$ στις δοσμένες σχέσεις και εξισώνοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη στην σχέση $z_1=\bar{z}_2$ παίρνουμε

$\left\{\begin{matrix} \lambda y +x=2\lambda \, (1) \\ 4\lambda x - y=2 \, (2) \end{matrix}\right.$

Αν $x=0$ τότε από (1) προκύπτει ότι $y =2$ αφού $\lambda \neq 0$ . Αντικαθιστώντας όμως στην (2) προκύπτει ότι $y=-2$ άτοπο. Επομένως

$\left\{\begin{matrix} \lambda y +x=2\lambda \\ \lambda=\frac{y+2}{4x}, \, x \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{4-y^2}{4x}=x \\ \lambda=\frac{y+2}{4x}, \, x \neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 4x^2+y^2=4, \, x \neq 0(*)$

H (*) παριστάνει έλλειψη με εστίες $E(0,-\sqrt{3}), \, E' ( 0, \sqrt{3} )$ από την οποία εξαιρούνται τα σημεία $(0,-2),(0,2)$

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος.

antwwwnis · 21-09-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1) Εύκολα βλέπουμε ότι οι ρίζες είναι $z_1=\sigma \upsilon \nu \theta + i \eta \mu \theta, \, z_2=\sigma \upsilon \nu \theta - i \eta \mu \theta$ .

Ας το διευκρινήσω λίγο.
ισχύει συν²θ+ημ²θ=1

ζ²-2ζσυνθ+1=0=>
ζ²-2ζσυνθ+συν²θ+ημ²θ=0=>
(ζ-συνθ)²+ημ²θ=0

Παραγοντοποίηση και βγήκε.

Επίσης, ο περιορισμός στο θ δεν λαμβάνεται υποψη στην εξίσωση κύκλου, γιατί μας ρωτάει πού κινούνται(οχι γ.τ.), όπως πολύ σωστά βρήκε ο στυτ_γεια.

Athr · 21-09-11

Τι διαφορα εχειτ ο που κινουνται με τον γ.τ?

g1wrg0s · 21-09-11

ΚΑΜΙΑ...ειτε πεις οτι οι εικονες του z κινουνται σε μια ευθεια ,ειτε οτι ο γ.τ των εικονων του z ειναι μια ευθεια,,,το ιδιο ειναι

Athr · 21-09-11

δες μια το ποστ του αντωνη..

teol20 · 21-09-11

Thanks guys!Και η φαση ειναι πως στο σχολειο δεν μας εχει κανει η ηλιθια μετρα και προσπαθουσα να την λυσω αλλιως.

antwwwnis · 21-09-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
ΚΑΜΙΑ...ειτε πεις οτι οι εικονες του z κινουνται σε μια ευθεια ,ειτε οτι ο γ.τ των εικονων του z ειναι μια ευθεια,,,το ιδιο ειναι

Δύο σχεδόν ίδια ζητούμενα.
Λοιπόν.
Έστω το σημείο (λ,λ²/λ) του καρτεσιανού επιπεδου.

Αν μας ρωτήσουν πού κινείται, θα πούμε στην ευθεία y=x

Αν μας ρωτήσουν ποιος είναι ο γ.τ, τα πράγματα είναι πιο αυστηρά, και θα λάβουμε τον περιορισμό λ =/= 0 δηλαδή
η απάντηση μας θα είναι η ευθεία y=x χωρίς το σημείο (0,0)

Πιο επιστημονικά

. Στο που κινείται πάμε με συνεπαγωγές και στον γ τ υποχρεωτικά με ισοδυναμίες.

g1wrg0s · 21-09-11

το καταλαβα, μετα που ειδα το προηγουμενο post σου το καταλαβα...Απο περιεργια αν ζητουσε τον γ.τ τοτε εμεις πως θα απαντουσαμε; Δηλαδη πως θα ονομαζαμε το κομματι για το οποιο ισχυει θ ε (0,1) ;;;

Athr · 22-09-11

thx μαν

rebel · 22-09-11

Τελικά η άσκηση 2 έμελλε να είναι από τις λυμένες του Μπάρλα. To λάθος μου ήταν ότι βρήκα γεωμετρικό τόπο ενώ ζητούσε απλά που κινούνται οι εικόνες. Συνεπώς η εξαίρεση των σημείων (0,2),(0,-2) ήταν ανούσια. Όταν φθάσουμε στο σύστημα συνεχίζουμε ως εξής
$\left\{\begin{matrix} \lambda y +x=2\lambda \\ 4\lambda x - y=2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\lambda(2-y) \, (1) \\ 4\lambda x = y+2 \, (2) \end{matrix}\right. \stackrel{(1)*(2)}{\Rightarrow} 4\lambda x^2 =\lambda (4-y^2), \, \lambda \neq 0 \Rightarrow 4x^2+y^2=4$ .
Άρα οι εικόνες κινούνται στην συγκεκριμένη έλλειψη. Όπως είπε και ο Αντώνης πάμε με συνεπαγωγές και όχι με ισοδυναμίες. Συγγνώμη για την αναστάτωση. :/:

antwwwnis · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
το καταλαβα, μετα που ειδα το προηγουμενο post σου το καταλαβα...Απο περιεργια αν ζητουσε τον γ.τ τοτε εμεις πως θα απαντουσαμε; Δηλαδη πως θα ονομαζαμε το κομματι για το οποιο ισχυει θ ε (0,1) ;;;

μετά την παραγοντοποίηση μου:
z= συνθ-ημθ ι
ή z=συνθ+ημθ ι
δηλαδή
χ=συνθ και y=±ημθ
και ρίχνεις τους περιορισμούς στα θ.
(μετά υψωνεις στο τετραγωνο και προσθετεις. Βουαλά χ²+y²=1 με περιορισμούς. )
Όπως βλέπεις τεόλ, δεν χρειάζονταν μέτρα, οπότε μην βρίσεις την καθηγήτρια.

christina123 · 22-09-11

pfff με αυτες τις ισοδυναμιες και τις επαγωγες.ποτε βαζουμε το ενα ποτε το αλλο; :confused:

και κατι αλλο. πρεπει να αναλυουμε ή μαλλον να υπεραναλυουμε τα οσα γραφουμε οταν λυνουμε μια ασκηση μαθηματικων;

g1wrg0s · 22-09-11

ναι ρε πως τον ονομαζεις τον γ.τ ρωταω. Τι κωνικη τομη ειναι ; Θα πεις οτι ειναι κομματι κυκλου με κεντρο και Κ ακτινα ρ ;

antwwwnis · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από christina123:
pfff με αυτες τις ισοδυναμιες και τις επαγωγες.ποτε βαζουμε το ενα ποτε το αλλο;
και κατι αλλο. πρεπει να αναλυουμε ή μαλλον να υπεραναλυουμε τα οσα γραφουμε οταν λυνουμε μια ασκηση μαθηματικων;

Ισοδυναμία βάζουμε όταν μπορεί ο συλλογισμός να πάει και ανάποδα(γενικά). δηλαδή αν γ=>δ και δ=>γ, τοτε γ<=>δ

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
ναι ρε πως τον ονομαζεις τον γ.τ ρωταω. Τι κωνικη τομη ειναι ; Θα πεις οτι ειναι κομματι κυκλου με κεντρο και Κ ακτινα ρ ;

Ααα, φιλολογική ήταν η ερώτηση!
Θα πεις πως είναι τόξα κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα ρ.

dannaros · 22-09-11

γιατί ρε παιδιά χ^3=1 έχει δηλαδή μία λύση ενώ χ^2=1 έχει δύο λύσεις? δεν υποτίθεται ότι ο βαθμός της εξίσωσης καθορίζει το μέγιστο όριο των ριζών της.

Guest 018946 · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
γιατί ρε παιδιά χ^3=1 έχει δηλαδή μία λύση ενώ χ^2=1 έχει δύο λύσεις? δεν υποτίθεται ότι ο βαθμός της εξίσωσης καθορίζει το μέγιστο όριο των ριζών της.

Ο βαθμος καθοριζει ποσες το πολυ ριζες εχει και μιγαδικες και πραγματικες.Για τις μιγαδικες δεν ξερω παντως για να βρεις τις πραγματικες στο χ³=1 ριζωνεις με την 3η ριζα και η τριτη ριζα του 1 ειναι 1 . Ενω στην περιπτωση του χ²=1 αν ριζωσεις με 2η ριζα θα σου βγαλει +-1 γιατι δυο αριθμοι την επαληθευουν το 1 και το -1. Να θυμασαι οταν ριζωνεις με αρτια ριζα πχ. 2,4,8 παντα μπροστα απο την ριζα που σου δινει το αποτελεσμα να βαζεις +- ή το χ που ειναι μεστην ριζα να το βαλεις μεσα σε απολυτο. Πιστευω να σε καλυψα και οχι να σε μπερδεψα.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης