Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

tzoker · 09-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 15

Α. Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left[\alpha , \beta \right] \rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f ' (x) > 0$ για κάθε $x \in \left[\alpha , \beta \right]$ .
Nα δείξετε ότι:

$\int_{\alpha }^{\beta } f\left(x \right) dx + \int_{f\left(\alpha \right)}^{f\left(\beta \right)} {f}^{-1}\left(x \right) dx = \beta f\left(\beta \right) - \alpha f\left(\alpha \right)$ .

B. Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right) = \eta \mu x , x \in \left[0, \frac{\pi }{2} \right]$ .

1. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται.

2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ${f}^{-1}$ , τον άξονα $x ' x$ και τις ευθείες $x = 0$ και $x = 1$ .

3. Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ${f}^{-1}$ τέμνει την ευθεία $y = -x + 1$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

4. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της αντίστροφης της συνάρτησης $f$ .

Hurr · 10-09-08

Αλλη μια πολυ ωραια ασκηση!!!

ΑΣΚΗΣΗ 16
Να λυθει η εξίσωση:

${x}^{2} + 2 = 3\sqrt{3x-2}$

zidane4ever · 10-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 16
Να λυθει η εξίσωση:

$({x}^{2} +2)^{2}=(3\sqrt{3x-2})^2=>{x}^{4}+4x^{2}+4=9(3x-2)=>{x}^{4}+4x^{2}+4=27x-18=>{x}^{4}+4x^{2}-27x+14=0=>$ μια βοηθεια?

ναι μου εφηγε ενα μειον

Hurr · 10-09-08

Αρχική Δημοσίευση από zidane4ever:
ΑΣΚΗΣΗ 16
Να λυθει η εξίσωση:

$({x}^{2} +2)^{2}=(3sqrt{3x-2})^2=>{x}^{4}+4x^{2}+4=9(3x-2)=>{x}^{4}+4x^{2}+4=27x-18=>{x}^{4}+4x^{2}-27x-14=0=>$ μια βοηθεια?

Ξανακοιτα τις πραξεις

zidane4ever · 10-09-08

δεν ειναι δυτετραγωνη παντως...
-----------------------------------------
σηγουρα βγαινει?θα σκασω!!!!!!μαλλον εκανες λαθος αντιγραφη :p

Hurr · 10-09-08

ξανακοιτα πραξεις...

zidane4ever · 10-09-08

ναι εκανα παλι λαθος!ειναι ...+22=0 μαλιστα το επεξεργαζομαι

manos66 · 11-09-08

Θέματα ομογενών Μαθηματικών Θετικής κατεύθυνσης 2008
https://www.ypepth.gr/docs/them_mat_omog_c_omog_no_0809.pdf

::Forg0tt3n:: · 11-09-08

Δε θυμάμαι τίποτα

manos66 · 11-09-08

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΝ ΘΕΛΕΙ
https://www.kelafas.gr/Panellinies08/math_kat_omo_08_a.pdf

johnakoseco · 11-09-08

ε ενταξει καλα θεματακια τους εβαλαν ουτε πανδυσκολα λεγονται αλλα ουτε και γελοια....μετρια πραμματα δηλαδη....

mostel · 11-09-08

Νομίζω πως είναι νορμάλ προς εύκολα θέματα και αναμενόμενα.

Στέλιος

Cosdel · 12-09-08

Εχω λυση, αλλα αυτη η ασκηση δεν ειναι Β Λυκειου;;;

Δεν διευκρινίζεις αν πρέπει να λυθεί η εξίσωση στο R.

Αν είναι έτσι τότε η λύση είναι η εξής στο συνημμένο(σόρρυ αλλά το λατεξ με σκοτώνει

)

Αν δεν διευκρινίζεις που να λυθεί, τότε προκύπτουν και μιγαδικές ρίζες αλλα επειδη διάταξη στο C δεν υπάρχει δεν ξέρω αν μπορώ να εφαρμόζω τους περιορισμούς.

Hurr · 12-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Cosdel:
Εχω λυση, αλλα αυτη η ασκηση δεν ειναι Β Λυκειου;;;

Ναι β λυκειου ειναι!

manos66 · 12-09-08

Με αφορμή μια όμορφη ¨συνομιλία¨ με τον φίλο Hurr και αφού οι περισσότεροι έχετε κάνει αντιστρέψιμες συναρτήσεις.

Οι εξισώσεις $f^{-1}=f(x)$ και $f(x) = x$ είναι ισοδύναμες;

Πολλές φορές ακούτε από καθηγητές ή διαβάζετε σε βιβλία ότι
για να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των $f^{-1}$ και f
αρκεί να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y =x.

Είναι σωστό;

01011001 · 12-09-08

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Πολλές φορές ακούτε από καθηγητές ή διαβάζετε σε βιβλία ότι
για να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των $f^{-1}$ και f
αρκεί να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y =x.

Είναι σωστό;

Όχι δεν είναι γιατί μπορεί να έχουν κοινά σημεία και πέρα απ'την y=x. Αν θυμάμαι καλά υπήρχε κάτι τέτοιο και σε ένα θέμα πανελληνίων όπου έπρεπε να βρείς τα κοινά τους σημεία.

PIL · 12-09-08

Πρεπει η f να ειναι γνησιως αυξουσα για να ισχυει αυτο που ρωτας...Και παλι,υπαρχει αποδειξη που δειχνει γιατι ΜΟΝΟ αν η f ειναι γνησιως αυξουσα ισχυει οτι ειναι ισοδυναμες.Το θεμα των πανελληνιων ειναι του Ιουνιου 2006

Cosdel · 12-09-08

Απαντησα με επεξεργασια το ατομο. :mad:

manos66 · 12-09-08

Σωστές οι παρατηρήσεις.
Στο θέμα του 2006 ζητούσε τα κοινά σημεία των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ με την ευθεία y = x
και όχι τα κοινά σημεία των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$

bobiras11 · 12-09-08

Μα γιατί, γίνεται να υπάρχουν κοινά σημεία της f και της αντίστροφης της έξω απ την ευθεία y=x?

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος