Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

kvgreco · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Aν καταλαβα αυτο που θες να πεις ειναι οτι για για x=x1 η f περνει την ελαχιστη τιμη της στο διαστημα [0,2008/2009]

το x1 + 1/2009 ανηκει αναγκαστικα στο παραπανω διαστημα?

Δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στι διάστημα πού λες αλλά στο [0,1] πού είναι το π.ο της f(x) καί πράγματι το (χ+1/2009) ανήκει στο [0,1] οταν το χ ανηκει στο πεδίο ορισμού της h(x) δηλ. στο [0.2008/2009].
Νομίζω δηλαδή, εκτός αν κάτι μου διαφεύγει οπότε διορθώστε με.Δεν είμαι δα καί πιό έμπειρος από εσάς.

Hurr · 06-09-08

h(x1)=f(x1+1/2009)-f(x1)>=0

Εδω θεωρεις οτι f(x1+ 1/2009) >= f(x1)
Δεν εχεις δειξει οτι το f(x1) ειναι το ελαχιστο στο [0,1] αλλα στο [0,2008/2009] οποτε αν το x1+ 1/2009 ανηκει στο (2008/2009,1] τι γινεται?

kvgreco · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Εδω θεωρεις οτι f(x1+ 1/2009) >= f(x1)
Δεν εχεις δειξει οτι το f(x1) ειναι το ελαχιστο στο [0,1] αλλα στο [0,2008/2009] οποτε αν το x1+ 1/2009 ανηκει στο (2008/2009,1] τι γινεται?

Έχεις δίκιο.Να το περιορίσουμε το διάστημα καί να το πούμε [0, 2007/2009]? διορθώνεται έτσι το σκεπτικό?Μέσα εκεί να πούμε ότι ανήκουν τα x1,x2 πού υπάρχουν σίγουρα τέτοια λόγω της συνέχειας σε κλειστό διάστημα γιά την f(x)? :hmm:

Hurr · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Έχεις δίκιο.Να το περιορίσουμε το διλαστημα καί να το πούμε [0, 2007/2009]? διορθώνεται έτσι το σκεπτικό?

Πρεπει λογικα να χρησιμοποιησεις ολες σου τις υποθεσεις.
Τουλαχιστον στη δικη μου λυση τις χρησιμοποιω

kvgreco · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hurr:
Πρεπει λογικα να χρησιμοποιησεις ολες σου τις υποθεσεις.
Τουλαχιστον στη δικη μου λυση τις χρησιμοποιω

Αν είναι λάθος ο τρόπος μου πες μου.Δώσε τη λύση σου γιατί υποθέτω ότι καί άλλα παιδιά θα θέλουν να τη δούν, από ανθρώπους πού ξέρουν το αντικείμενο.Εμείς τώρα μαθαίνουμε.
Δεν μπορώ να καταλάβω πού χρησιμεύει το f(0)=f(1).

Hurr · 06-09-08

Ο τροπος σου δεν ειναι εντελως λαθος. Απλα χανεις καποιες περιπτωσεις
Θα τη γραψω σε λιγο

Hurr · 06-09-08

γ ερωτημα)

$h(x):= f(x +\frac{1}{2009}) -f(x), x \epsilon [0,\frac{2008}{2009}]$
h συνεχης..

$h(0)+h(\frac{1}{2009}) +h (\frac{2}{2009}) + ... + h(\frac{2008}{2009})= f(\frac{1}{2009}) -f(0) + f(\frac{2}{2009}) -f(\frac{1}{2009})+..+ f(1)- f(\frac{2008}{2009}) = f(1)-f(0)=0$

Αρα $h(0)+h(\frac{1}{2009}) +h (\frac{2}{2009}) + ... + h(\frac{2008}{2009})= 0$ (1)

Αν η h ηταν 0 για x= κ/2009 κ ανηκει στο {0,1,...,2008} εχουμε το ζητουμενο
Αν θεωρησουμε οτι η h δεν μηδενιζεται για καμια απο τις παραπανω τιμες
συμπεραινουμε απο την (1) οτι υπαρχουν τιμες για τις οποιες η h ειναι θετικη και τιμες για τις οποιες η h ειναι αρνητικη. Απο bolzano ακολουθει το συμπερασμα

kvgreco · 06-09-08

Σωστά αλλά δεν λένε ότι κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή?Ύστερα δεν νομίζω πως χάνω περιπτώσεις που λες.Απόδειξη ρίζας είναι δεν είναι περιπτώσεις ώστε να χάνω κάποια.Έπειτα κανείς δεν με υποχρεώνει να παω με τα 'νερά' τού εξεταστή δηλαδή σώνει καί καλά να χρησιμοποιήσω δεδομένα του, αν αυτά δεν είναι αναγκαία.Εγώ νομίζω ότι οι μη αναμενόμενες λύσεις είναι πού 'τραβούν' τούς βαθμολογητές λένε

Hurr · 06-09-08

Δεν μου ειπες τι γινεται με τη λυση σου αν το x1+ 1/2009 ανηκει στο (2008/2009,1]

kvgreco · 06-09-08

Άλλο να έκανα λάθος συλλογισμό και άλλο να έχασα περίπτωση.Εσύ τί εννοείς;

Hurr · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Άλλο να έκανα λάθος συλλογισμό και άλλο να έχασα περίπτωση.Εσύ τί εννοείς;

Εγω βλεπω οτι την περιπτωση που x1 + 1/2009 ανηκει στο (2008/2009,1] η αποδειξη σου δεν την καλυπτει. Ο συλλογισμος σου δεν ειναι εντελως σωστος

Hurr · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Έχεις δίκιο.Να το περιορίσουμε το διάστημα καί να το πούμε [0, 2007/2009]? διορθώνεται έτσι το σκεπτικό?Μέσα εκεί να πούμε ότι ανήκουν τα x1,x2 πού υπάρχουν σίγουρα τέτοια λόγω της συνέχειας σε κλειστό διάστημα γιά την f(x)?

Και παλι θα υπηρχε το ιδιο ακριβως προβλημα

kvgreco · 07-09-08

Τέλος πάντων.Καθώς τώρα αρχίζω να μαθαίνω,είναι λογικό να είμαι άπειρος.Ας το σταματήσουμε εδώ.Μην κουράζουμε και τους υπόλοιπους.

tzoker · 07-09-08

Σας παραθέτω την πιο πλήρη λύση του γ. ερωτήματος της συγκεκριμένης άσκησης.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g\left(x \right) = f\left(x + \frac{1}{2009} \right) - f(x)$ , ορισμένη στο κλειστό διάστημα $\left[0 , \frac{2008}{2009} \right]$ και συνεχής φυσικά σ' αυτό.

Συλλογισμός

Έστω ότι $g(x) \neq 0$ για κάθε $x \epsilon \left[0 , \frac{2008}{2009} \right]$ , τότε:

. Η $g$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $\left[0 , \frac{2008}{2009} \right]$ και

. $g(x) \neq 0$ για κάθε $x \epsilon \left[0 , \frac{2008}{2009} \right]$

Άρα η συνάρτηση $g$ διατηρεί πρόσημο. Επομένως $g(x) > 0$ ή $g(x) < 0$ .

Έχουμε τώρα:

$g(0) = f\left(\frac{1}{2009} \right) - f(0)$

$g\left( \frac{1}{2009}\right) = f\left( \left\frac{2}{2009} \right \right)- f\left( \frac{1}{2009}\right)$

$g\left( \frac{2}{2009}\right) = f\left( \left\frac{3}{2009} \right \right)- f\left( \frac{2}{2009}\right)$

$g\left( \frac{3}{2009}\right) = f\left( \left\frac{4}{2009} \right \right)- f\left( \frac{3}{2009}\right)$

....
....

$g\left( \frac{2008}{2009}\right) = f\left(1 \right) - f\left( \frac{2008}{2009}\right)$

Mε πρόσθεση τώρα, κατά μέλη , των παραπάνω σχέσεων έχουμε:

$g\left(0 \right) + g\left(\frac{1}{2009} \right) + g\left(\frac{2}{2009} \right) + g\left(\frac{3}{2009} \right) + ... + g\left(\frac{2008}{2009} \right) = f\left(1 \right) - f\left(0 \right)$

Όμως $f(1) = f(0)$ ( μας δίνεται αυτό ), οπότε :

$g\left(0 \right) + g\left(\frac{1}{2009} \right) + g\left(\frac{2}{2009} \right) + g\left(\frac{3}{2009} \right) + ... + g\left(\frac{2008}{2009} \right) = 0$

Α-Τ-Ο-Π-Ο , γιατί υποθέσαμε ότι η συνάρτηση $g$ διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε $x \epsilon \left[ 0 , \frac{2008}{2009} \right]$ .

Άρα υπάρχει ${x}_{0} \epsilon \left[ 0 , \frac{2008}{2009} \right]$ τέτοιο ώστε $g\left( {x}_{0}\right) = 0$ $\Rightarrow f\left({x}_{0} + \frac{1}{2009}\right) = f\left({x}_{0} \right)$ .

Σχόλια:

Είναι μια αρκετά δύσκολη άσκηση μα τόσο μαγική, οπότε νομίζω πως αξίζει να την ξέρει καλά κάθε μαθητής!

tzoker · 07-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 14

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f$ στο διάστημα $[0,1]$ ώστε ${f}^{2}\left(0 \right) + \left( f(1) - 1 \right)f\left(0 \right) = 1$ . Nα δείξετε ότι υπάρχει ρίζα της εξίσωσης $f\left(x \right) = 0$ στο διάστημα $(0,1)$ .

Hurr · 07-09-08

H f(x)=1 για καθε x στο [0,1] ειναι συνεχης και ικανοποιει την παραπανω σχεση αλλα η f(x)=0 δεν εχει λυση στο (0,1)

Αν καταλαβα καλα επαιξε τυπογραφικο. Η ασκηση νομιζω οτι ειναι ετσι

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f$ στο διάστημα $[0,1]$ ώστε ${f}^{2}\left(0 \right) + \left( f(1) - 1 \right)f\left(0 \right) = -1$ . Nα δείξετε ότι υπάρχει ρίζα της εξίσωσης $f\left(x \right) = 0$ στο διάστημα (0,1)

tzoker · 08-09-08

Έχεις απόλυτο δίκιο! Καλά τώρα το είδα και εγώ. . . ε τα είχα παίξει γράφοντας σε LATEX τη λύση της παραπάνω!!

Τη διορθώνω!

tzoker · 08-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 14

Όπως σας την δίνει ο Hurr!!!
Sorry για το τυπογραφικό παιδιά!!!:thanks:

zidane4ever · 08-09-08

πωωωωωωωω και δοκιμαζα να την λυση και μπορουσα!δεν ξαναλυνω καμια αλλη δικη σου ασκηση!δεν σε εμπιστευομαι πια :nono:
(προφαση για να μην τις λυσω

)

tzoker · 08-09-08

EEE ρε συ . . . πάντα υπάρχουν τυπογραφικά!!!. . . μου είχαν βγει τα μάτια να δώσω τη λύση της άλλης!!!!

ζητώ συγγνώμη!!!χεχεχεχ

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος