Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

eukleidhs1821 · 29-08-21

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.
Άρα έστω πως f(0,+oo) = (α,β), β>α>=0 λόγω συνόλου αφίξεως.
Τότε το όριο της f στο -οο ισούται με α και το όριο στο +οο με β, αφού f συνεχής και γνησιως αυξουσα.
Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=f(x)-e^(-x), η οποία αποδεικνύεται κατασκευαστικά ότι είναι γνησίως αυξουσα, αλλά και συνεχής(πράξεις μεταξύ συνεχών).
Το όριο της h στο -οο είναι α + (-οο)=-οο
Στο +οο είναι β>0
άρα h(IR)=(-oo,β), επομένως 0εh(IR)
Τελικά λόγω μονοτονίας υπάρχει μοναδικό ξεIR: h(ξ)=0 <=>
f(ξ)e^ξ=1.
Δεν γνωρίζω αν στην γενίκευση μου μπορεί να θεωρηθεί ότι το β είναι μη πεπερασμένο άκρο διαστήματος λόγω αυστηρότητας. Αν δεν γίνεται, τότε διακρίνουμε την περίπτωση όπου το όριο της f στο +οο είναι +οο και προκύπτει τότε ότι h(IR)=IR

μην το ζοριζεις απλα αντι να πει οτι f(R)=(0,+00) το εδωσε ετσι το οποιο ειναι απλοικος συμβολισμος αλλα πρεπει να αναφερθει οτι η συναρτηση f ειναι επί για να μπορει να σταθει

asdfqwerty · 29 Αυγούστου 2021

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
η σωστη διατυπωση της ασκησης ειναι δειξτε οτι μοναδικο ξ.
Θεωρουμε τη συναρτηση h(x)=f(x)-e^-x,x πραγματικος
Kατασκευαστικα,αποδεικνυεται οτι η h είναι γνησιως αυξουσα.
Η h είναι συνεχης ως διαφορα συνεχων.
Φανταζομαι οτι η συναρτηση f ειναι επί επομένως το σύνολο αφιξης που δινεις ταυτιζεται με το συνολο τιμων.Οπότε limf οταν χ τεινει στο -00=0 limf χ τεινει στο +00=+00 αφου ισχυουν οι προυποθεσεις για την f
limh(x) χ τείνει στο -00=-00
limh(x) χ τείνει στο +00=+00
Άρα το σύνολο τιμων της h είναι ολοι οι πραγματικοί,επόμενώς υπάρχει ξ τέτοιο ώστε h(ξ)=0 δηλαδή f(ξ)=1/e^ξ f(ξ)e^ξ=1 λόγω του οτι η h είναι γνησιως αυξουσα το ξ ειναι μοναδικο

Πρωτον o συμβολισμος $\exists!$ σημαινει υπαρχει μοναδικο , παραξενευομαι που δεν το ξερεις μιας και εχεις βγαλει το μαθηματικο. Δευτερον δεν νομιζω να απαιτειται να ειναι επι η συναρτηση και γι' αυτο τον λογο δεν δινεται.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 29 Αυγούστου 2021

$f(\mathbb{R})=(a,b)\subseteq(0,+\infty)$
με $a\in \mathbb{R}^{*}_+$

Εστω $h(x)=f(x)\cdot e^{x} -1 , x\in\mathbb{R}$
Η h ειναι γνησιως αυξουσα.

$x>0 \Leftrightarrow f(x)>f(0) \Leftrightarrow f(x)\cdot e^{x} -1 > e^{x}\cdot f(0)-1 \Leftrightarrow h(x)>e^{x}\cdot f(0)-1$

απο αυτο προκυπτει οτι $\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }h(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }(f(x)\cdot e^{x}-1)=a\cdot0-1=-1$

Αρα: $h(\mathbb{R})=(-1,+\infty)$

eukleidhs1821 · 29 Αυγούστου 2021

Αρχική Δημοσίευση από asdfqwerty:
Πρωτον o συμβολισμος $\exists!$ σημαινει υπαρχει μοναδικο , παραξενευομαι που δεν το ξερεις μιας και εχεις βγαλει το μαθηματικο. Δευτερον δεν νομιζω να απαιτειται να ειναι επι η συναρτηση και γι' αυτο τον λογο δεν δινεται.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 29 Αυγούστου 2021

$f(\mathbb{R})=(a,b)\subseteq(0,+\infty)$
με $a\in \mathbb{R}^{*}_+$

Εστω $h(x)=f(x)\cdot e^{x} -1 , x\in\mathbb{R}$
Η h ειναι γνησιως αυξουσα.

$x>0 \Leftrightarrow f(x)>f(0) \Leftrightarrow f(x)\cdot e^{x} -1 > e^{x}\cdot f(0)-1 \Leftrightarrow h(x)>e^{x}\cdot f(0)-1$

απο αυτο προκυπτει οτι $\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }h(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }(f(x)\cdot e^{x}-1)=a\cdot0-1=-1$

Αρα: $h(\mathbb{R})=(-1,+\infty)$

ωραιος.αρα το (0,+00) ηταν αχρηστο δεδομενο για να μπερδεψει.βεβαια σε επιπεδο γ λυκειου ποτε δεν μπορει να δοθει σε τετοια μορφη,θα δινεται f(R)=(0,+00).το συνολο αφιξης παντα δινεται το R.ο συμβολισμος που λες οχι δεν τον γνωριζα.ισως σε επιπεδο καμιας γλωσσας προγραμματισμου μπορει να υπηρχε αλλα δεν τον θυμαμαι.αυτο που θυμαμαι ειναι το != που σημαινει διαφορο.

asdfqwerty · 29-08-21

Αρχική Δημοσίευση από eukleidhs1821:
ωραιος.αρα το (0,+00) ηταν αχρηστο δεδομενο για να μπερδεψει.βεβαια σε επιπεδο γ λυκειου ποτε δεν μπορει να δοθει σε τετοια μορφη,θα δινεται f(R)=(0,+00).το συνολο αφιξης παντα δινεται το R.ο συμβολισμος που λες οχι δεν τον γνωριζα.ισως σε επιπεδο καμιας γλωσσας προγραμματισμου μπορει να υπηρχε αλλα δεν τον θυμαμαι.αυτο που θυμαμαι ειναι το != που σημαινει διαφορο.

δεν ηταν αχρηστο, χρειαστηκε στην μονοτονια γιατι πως αλλιως θα πολ/ζαμε, χρειαστηκε στο οριο ωστε να γνωριζουμε οτι το f(0)>0 και να προκυψει το οριο της h +οο

eukleidhs1821 · 29-08-21

Αρχική Δημοσίευση από asdfqwerty:
δεν ηταν αχρηστο, χρειαστηκε στην μονοτονια γιατι πως αλλιως θα πολ/ζαμε, χρειαστηκε στο οριο ωστε να γνωριζουμε οτι το f(0)>0 και να προκυψει το οριο της h +οο

ναι εχεις δικιο

Alexandros28 · 29-08-21

Η λύση μου είναι σωστή; Έχω την εντύπωση ότι στην αρχή πρέπει να αποδειξω ότι το σύνολο τιμών δεν γίνεται να είναι κλειστό διάστημα

asdfqwerty · 30-08-21

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
Η λύση μου είναι σωστή; Έχω την εντύπωση ότι στην αρχή πρέπει να αποδειξω ότι το σύνολο τιμών δεν γίνεται να είναι κλειστό διάστημα

what ,για που λες ?

Alexandros28 · 30-08-21

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.
Άρα έστω πως f(0,+oo) = (α,β), β>α>=0 λόγω συνόλου αφίξεως.
Τότε το όριο της f στο -οο ισούται με α και το όριο στο +οο με β, αφού f συνεχής και γνησιως αυξουσα.
Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=f(x)-e^(-x), η οποία αποδεικνύεται κατασκευαστικά ότι είναι γνησίως αυξουσα, αλλά και συνεχής(πράξεις μεταξύ συνεχών).
Το όριο της h στο -οο είναι α + (-οο)=-οο
Στο +οο είναι β>0
άρα h(IR)=(-oo,β), επομένως 0εh(IR)
Τελικά λόγω μονοτονίας υπάρχει μοναδικό ξεIR: h(ξ)=0 <=>
f(ξ)e^ξ=1.
Δεν γνωρίζω αν στην γενίκευση μου μπορεί να θεωρηθεί ότι το β είναι μη πεπερασμένο άκρο διαστήματος λόγω αυστηρότητας. Αν δεν γίνεται, τότε διακρίνουμε την περίπτωση όπου το όριο της f στο +οο είναι +οο και προκύπτει τότε ότι h(IR)=IR

.

Εκανα επικη γκαφα με το προηγουμενο μηνυμα. Ξανανεβαζω εκφωνηση:
Eστω f:[α,+oo)-->IR μια συνεχης συνάρτηση. Αν η f ειναι παραγωγισιμη σε ολα τα εσωτερικα σημεια του πεδιου ορισμου της και ισχυει f(α)=limf(x),x->+oo.
να δειχτει οτι υπαρχει ξ>α: f'(ξ)=0

asdfqwerty · 07-09-21

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ συνεχης και ισχυει : $f(f(x))=\eta \mu \chi \quad \forall x\in \mathbb{R}$
Να βρεθει το οριο : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(\eta \mu \chi )}{f(x)}$

bovid19 · 07-09-21

βγαίνει 1, θα ανεβάσω λύση αύριο αργά το απόγευμα αν δεν το έχει κάνει κάποιος άλλος μέχρι τότε

Alexandros28 · 07-09-21

βαζοντας οπου χ το f(x) στη δοθεισα σχεση προκυπτει f(ημχ)=ημf(x) (1) οπου για χ=0 προκυπτει f(0)=ημf(0). Λογω της ανισοτητας του σχολικου οπου αναφερει οτι ημχ=<χ, με το ισον ΜΟΝΟ για χ=0, συμπεραινουμε οτι f(0)=0.
στο ζητουμενο οριο αντικαθιστουμε το f(ημχ) με το ημf(x). To οριο προκυπτει 1, πρεπει να αναφερθει ομως οτι το οριο της f καθως το χ τεινει στο 0 ειναι 0 λογω συνεχειας, και να δικαιολογηθει η συνθεση.

asdfqwerty · 07-09-21

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
βαζοντας οπου χ το f(x) στη δοθεισα σχεση προκυπτει f(ημχ)=ημf(x) (1) οπου για χ=0 προκυπτει f(0)=ημf(0). Λογω της ανισοτητας του σχολικου οπου αναφερει οτι ημχ=<χ, με το ισον ΜΟΝΟ για χ=0, συμπεραινουμε οτι f(0)=0.
στο ζητουμενο οριο αντικαθιστουμε το f(ημχ) με το ημf(x). To οριο προκυπτει 1, πρεπει να αναφερθει ομως οτι το οριο της f καθως το χ τεινει στο 0 ειναι 0 λογω συνεχειας, και να δικαιολογηθει η συνθεση.

δεν νομιζω να χρειαζεται καποια αιτιολογηση μιας και η f ειναι συνεχης , ας μην γινομαστε τυπολατρες , η ουσια ειναι αλλου . Ωραιος !

Alexandros28 · 07-09-21

συμφωνω μαζι σου και με το παραπανω φιλε. Το λεω για να μη τη πατησουν οσοι δινουν φετος, γιατι τετοιες μαλακιες μου στερησαν το 100 στις πανελλαδικες και εχασα ολα μου τα μορια απο το θεμα Β επειδη δεν ανεφερα μια αντιστοιχη μαλακια

asdfqwerty · 07-09-21

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
συμφωνω μαζι σου και με το παραπανω φιλε. Το λεω για να μη τη πατησουν οσοι δινουν φετος, γιατι τετοιες μαλακιες μου στερησαν το 100 στις πανελλαδικες και εχασα ολα μου τα μορια απο το θεμα Β επειδη δεν ανεφερα μια αντιστοιχη μαλακια

Τελος παντως , καποιοι ανθρωποι ειναι κολλημενοι με καποια πραγματα .Δεν πειραζει εσυ πηρες αυτα που ηθελες και εχεις ολα τα εφοδια για να συνεχισεις.
Μιας και λυθηκε γρηγορα θα ανεβασω μια αλλη

Guest 488121 · 07-09-21

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
συμφωνω μαζι σου και με το παραπανω φιλε. Το λεω για να μη τη πατησουν οσοι δινουν φετος, γιατι τετοιες μαλακιες μου στερησαν το 100 στις πανελλαδικες και εχασα ολα μου τα μορια απο το θεμα Β επειδη δεν ανεφερα μια αντιστοιχη μαλακια

Πόσο έγραψες μαθηματικα και ποια χρόνια?

asdfqwerty · 7 Σεπτεμβρίου 2021

Αρχική Δημοσίευση από kyriakos208:
Πόσα μόρια έγραψες και ποια χρόνια?

φετος εδινε

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Σεπτεμβρίου 2021

Eστω : $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποια ισχυει $f^{2}(x)+ \eta \mu ^{2}\chi =x^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}$

α) νδο η f ειναι συνεχης στο $x_o=0$

b) Αν η συναρτηση ειναι συνεχης στο $\mathbb{R}$ και ισχυει $f(a)\cdot f(b) <0$ με $a<b$ τοτε νδο $a<0<b$

Alexandros28 · 7 Σεπτεμβρίου 2021

Αρχική Δημοσίευση από kyriakos208:
Πόσο έγραψες μαθηματικα και ποια χρόνια?

Φετος 97/98

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Σεπτεμβρίου 2021

Το όριο της f^2(x) καθώς το x τείνει 0 είναι 0. Άρα και το όριο της απόλυτοf στο 0 είναι 0 λόγω των ιδιοτήτων των Ορίων. Ισχύει: -απολυτοf(x)=<f(x)=<απόλυτοf άρα από κριτήριο παρεμβολης το όριο της f στο 0 προκύπτει 0. Για το β ερώτημα αποδεικνύουμε μέσω της γνωστής ανισότητας (πάνω) ότι μοναδική ριζα της f είναι το 0, άρα το 0 πρέπει να είναι στοιχείο του διαστήματος (α,β), διότι λόγω bolzano σε εκείνο το διάστημα υπάρχει η μια τουλάχιστον (μοναδική ) ριζα της f

Guest 488121 · 7 Σεπτεμβρίου 2021

Αρχική Δημοσίευση από Alexandros28:
Φετος 97/98

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 7 Σεπτεμβρίου 2021

Το όριο της f^2(x) καθώς το x τείνει 0 είναι 0. Άρα και το όριο της απόλυτοf στο 0 είναι 0 λόγω των ιδιοτήτων των Ορίων. Ισχύει: -απολυτοf(x)=<f(x)=<απόλυτοf άρα από κριτήριο παρεμβολης το όριο της f στο 0 προκύπτει 0. Για το β ερώτημα αποδεικνύουμε μέσω της γνωστής ανισότητας (πάνω) ότι μοναδική ριζα της f είναι το 0, άρα το 0 πρέπει να είναι στοιχείο του διαστήματος (α,β), διότι λόγω bolzano σε εκείνο το διάστημα υπάρχει η μια τουλάχιστον (μοναδική ) ριζα της f

Μια χαρά είσαι φίλε. Σίγουρα μπορούσες και 100 . Βγάζεις δύσκολες ασκήσεις εδώ στο forum

giorgost2612 · 08-09-21

Μια ωραία άσκηση που είχα βρεί στο mathematica.gr πριν κάτι μήνες από τον χρήστη gbaloglou :
Να αποδείξετε ότι η ευθεία y= (2x+1)/2e είναι πλάγια ασύμπτωτη της f(x)=(x^(x+1))/((x+1)^x)

asdfqwerty · 08-09-21

Τα σημερινα θεματα των μαθηματικων, πολυ ενδιαφερον το Γ θεμα(χρειαζεται να θυμασαι καποιες βασικες ιδιοτητες του ισοσκελους τριγωνου) και το Δ3 . Σιγουρα πολυ καλυτερα απο του ιουνιου. Παντως το οτι δινουν τον τυπο του μηκους τοξου δειχνει την καταντια της γεωμετριας.

https://www.minedu.gov.gr/publications/docs2021/panelladikes_2021_sept/%CE%9501%20%CE%9C%CE%91%CE%98%CE%97%CE%9C%CE%91%CE%A4%CE%99%CE%9A%CE%91_%CE%95%CE%A0%CE%91%CE%9D%CE%91%CE%9B_2021_NEO-9.pdf

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 488121

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Guest 488121

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος