Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

photon · 13 Δεκεμβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από photon:
Μία προσπάθεια:
Δίνεται (ε): $y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)$ και έστω $K(x2,f(x2))$ κοινό σημείο της (ε) με την Cf.Άρα το Κ επαληθεύει την (ε): $f(x2)-f(x1)=f'(x1)(x2-x1)\Rightarrow f'(x1)=\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}$ Αφού Κ,Μ ανήκουν στην ίδια ευθεία όμοια ισχύει ότι $f(x1)-f(x2)=f'(x2)(x1-x2)\Rightarrow f'(x2)=\frac{f(x1)-f(x2)}{x1-x2}=\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1},f'(x1)=f'(x2)$ Άρα από rolle υπάρχει $\xi \in(x1,x2)$ ώστε f''(ξ)=0, άτοπο.

Λοιπόν, άκυρο. Δεν ξέρω αν το M επαληθεύει την εφαπτομένη στο Κ.

Δίνεται (ε): $y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)$ και έστω $K(x2,f(x2))$ (χ1<χ2)κοινό σημείο της (ε) με την Cf.Άρα το Κ επαληθεύει την (ε): $f(x2)-f(x1)=f'(x1)(x2-x1)\Rightarrow f'(x1)=\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}$ Από ΘΜΤ υπάρχει $\xi \in (x1,x2)$ ώστε $f'(\xi )=\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}\Rightarrow f'(\xi )=f'(x1)$ Από Rolle υπάρχει $\alpha \in (x1,\xi )$ τέτοιο ώστε $f''(a)=0$ άτοπο.

Αν x2<x1 $f'(\xi )=\frac{f(x1)-f(x2)}{x1-x2}=\frac{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}$ και από rolle sto (ξ,χ1)προκύπτει πάλι τι ίδιο

Guest 018946 · 17-12-13

Να δώσω και εγώ μια ασκηση που μου εδωσε ενας φιλος και μου αρεσε :

Έστω φ R->R 2 φορες παρμ/η με
φ(α)=κe^a
φ(c)=κe^c
φ(b)=κe^b
c \in (a,b)

Να δείξετε οτι υπάρχει ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε 2φ'(ξ)=φ(ξ)+φ''(ξ)

Guest 018946 · 28-12-13

παιζει τιποτα ρε αλήτες ;

C.J.S. · 31-12-13

Καλησπέρα.Έχω μια άσκηση και θέλω βοηθειά!!
Έχουμε:

και μας ζητάει να βρούμε την F(x).
Πως την βρίσκω;;;

Civilara · 31-12-13

Αρχική Δημοσίευση από C.J.S.:
Καλησπέρα.Έχω μια άσκηση και θέλω βοηθειά!!
Έχουμε: View attachment 55707 και μας ζητάει να βρούμε την F(x).
Πως την βρίσκω;;;

Πρέπει να διευκρινήσεις σε ποιο υποσύνολο του R ανήκουν τα x και y.

C.J.S. · 31-12-13

Ωχ έχεις δίκιο ξέχασα να γράψω 2 σημαντικά πραγματάκια...
χ,y>0 και
F'(1)=3

rebel · 31-12-13

Αρχική Δημοσίευση από C.J.S.:
Καλησπέρα.Έχω μια άσκηση και θέλω βοηθειά!!
Έχουμε: View attachment 55707 και μας ζητάει να βρούμε την F(x).
Πως την βρίσκω;;;

H σχέση γράφεται
$F(xy)=F(x)+F(y)+xy(x-1)(y-1),\,\,\forall x,y >0\,\,(1)$ .
Για $x=y=1$ στην (1) παίρνουμε $F(1)=0,\,\,(2).$ Για $x,x_0>0$ με $x \neq x_0$ είναι:

$\frac{F(x_0h)-F(x_0)}{x_0 h-x_0} \stackrel{(1)}{=}\frac{F(x_0)+F(h)+x_0h(x_0-1)(h-1)-F(x_0)}{x_0(h-1)}= \\ \frac{F(h)}{x_0(h-1)}+h(x_0-1),\,\,(3).$
οπότε
$F'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\stackrel{x=x_0h}{=}\lim_{h \to 1} \frac{F(x_0h)-F(x_0)}{x_0 h-x_0}\stackrel{(2),(3)}{=} \lim_{ h \to 1} \left[ \frac{F(h)-F(1)}{x_0(h-1)}+h(x_0-1) \right]= \\ \frac{F'(1)}{x_0}+x_0-1=\frac{3}{x_0}+x_0-1.$
δηλαδή
$F'(x)=\frac{3}{x}+x-1,\,\,\forall x >0$
οπότε
$F(x)=3 \ln x +\frac{x^2}{2}-x+c$
και για $x=1$ :
$F(1)=c-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow c=\frac{1}{2}$ .

Καλή χρονιά σε όλους !!

C.J.S. · 01-01-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
H σχέση γράφεται
$F(xy)=F(x)+F(y)+xy(x-1)(y-1),\,\,\forall x,y >0\,\,(1)$ .
Για $x=y=1$ στην (1) παίρνουμε $F(1)=0,\,\,(2).$ Για $x,x_0>0$ με $x \neq x_0$ είναι:

$\frac{F(x_0h)-F(x_0)}{x_0 h-x_0} \stackrel{(1)}{=}\frac{F(x_0)+F(h)+x_0h(x_0-1)(h-1)-F(x_0)}{x_0(h-1)}= \\ \frac{F(h)}{x_0(h-1)}+h(x_0-1),\,\,(3).$
οπότε
$F'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\stackrel{x=x_0h}{=}\lim_{h \to 1} \frac{F(x_0h)-F(x_0)}{x_0 h-x_0}\stackrel{(2),(3)}{=} \lim_{ h \to 1} \left[ \frac{F(h)-F(1)}{x_0(h-1)}+h(x_0-1) \right]= \\ \frac{F'(1)}{x_0}+x_0-1=\frac{3}{x_0}+x_0-1.$
δηλαδή
$F'(x)=\frac{3}{x}+x-1,\,\,\forall x >0$
οπότε
$F(x)=3 \ln x +\frac{x^2}{2}-x+c$
και για $x=1$ :
$F(1)=c-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow c=\frac{1}{2}$ .

Καλή χρονιά σε όλους !!

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!!Να σαι καλά βοηθάς πολύ εδώ μέσα!!
Καλή χρονιά με υγεία και ευτυχία!!

Guest 018946 · 08-02-14

έλα να φτύνονται οι ντόπες

rebel · 10 Φεβρουαρίου 2014

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(0)=0$ και $\left|f'(x)\right| \leq f(x),\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι $f(x)=0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

DumeNuke · 10-02-14

Εφαρμογή ΘΜΤ στο (0,x).

DumeNuke · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Εφαρμογή ΘΜΤ στο (0,x).

Περίμενα να μπορώ να το διορθώσω. Τέλος πάντων, το παραπάνω είναι λάθος (αντικαθιστώ την f'(x) με f'(ξ), διατηρώντας την f(x) ακέραιη.

Δεύτερη προσπάθεια, με εφαρμογή μονοτονίας.

Civilara · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(0)=0$ και $\left|f'(x)\right| \leq f(x),\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι $f(x)=0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

|f΄(x)|<=f(x) <=> -f(x)<=f΄(x)<=f(x) για κάθε x ανήκει R

Θεωρούμε τις συναρτήσεις g(x)=f(x)(e^x) και h(x)=f(x)(e^(-x)), x ανήκει R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R Τότε και οι g, h είναι παραγωγίσιμες στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=(f΄(x)+f(x))(e^x)
h΄(x)=(f΄(x)-f(x))(e^(-x))

-f(x)<=f΄(x) => f΄(x)+f(x)>=0 => g΄(x)>=0, x ανήκει R
f΄(x)<=f(x) => f΄(x)-f(x)<=0 => h΄(x)<=0, x ανήκει R

Οι συναρτήσεις f, g, h είναι συνεχείς στο R ως παραγωγίσιμες στο R.

g(0)=f(0)=0
h(0)=f(0)=0

Η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει g΄(x)>=0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g είναι αύξουσα στο R. Έχουμε:

x>0 => g(x)>=g(0) => f(x)(e^x)>=0 => f(x)>=0
x<0 => g(x)<=g(0) => f(x)(e^x)<=0 => f(x)<=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει h΄(x)<=0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η h είναι φθίνουσα στο R. Έχουμε:

x>0 => h(x)<=h(0) => f(x)(e^(-x))<=0 => f(x)<=0
x<0 => h(x)>=h(0) => f(x)(e^(-x))>=0 => f(x)>=0

Για x<0 ισχύουν f(x)<=0 και f(x)>=0. Άρα f(x)=0.
Για x>0 ισχύουν f(x)<=0 και f(x)>=0. Άρα f(x)=0.

Επειδή για x διάφορο 0 ισχύει f(x)=0 και f(0)=0 τότε f(x)=0 για κάθε x ανήκει R.

rebel · 11-02-14

Σωστά!

.Ας επαναφέρουμε κι αυτές τις δύο που ξεχάστηκαν.

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f$ συνεχής στο $[a,b]$ , παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ , με $f(a)=f(b)$ και $k,\ell,m>0$ . Δείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3 \in (a,b)$ με $kf'(\xi_1)+\ell f'(\xi_2)+mf'(\xi_3)=0$

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Για την πολυωνυμική και μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ισχύει
$\left[f'(x)\right]^2=f(2x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x^2,\,\,x \in \mathbb{R}$
β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $(\varepsilon)$ της $C_f$ που σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα $x'x$ και διέρχεται από το σημείο $A(0,-1)$
γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $(a-b)^2+\left(a^2-2b+2011\right)^2$

Πηγή

DumeNuke · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $f$ συνεχής στο $[a,b]$ , παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ , με $f(a)=f(b)$ και $k,\ell,m>0$ . Δείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3 \in (a,b)$ με $kf'(\xi_1)+\ell f'(\xi_2)+mf'(\xi_3)=0$

3 φορές ΘΜΤ στα υποδιαστήματα του (α,β).

Eliminated · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από panabarbes:
Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει $f''\left(x \right) \succ 0$ , για κάθε $x\epsilon R$ . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της ${C}_{f}$ στο σημείο $M\left({x}_{1},f\left({x}_{1} \right) \right)$ δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την ${C}_{f}$ εκτός του $M$

ή απλά αφού η f είναι κυρτή, κάθε εφαπτομένη βρίσκεται "κάτω" από τη Cf, εκτός από το σημείο επαφής.

Mariaal · 12-02-14

Μπορεί να μου δώσει κάποιος απαντήσεις στις παρακάτω ασκησεις γιατί δεν έχω τις λύσεις τους;

1. Δίνονται οι μιγαδικοι αριθμοι z= 1+iα^χ (το α είναι υψωμένο εις τη χ) , w=x+1+i και η συνάρτηση f(x)= x|z|^2 + |w-1|^2 με χ ανήκει R και α > 0. Αν ισχύει | z - w:συζηγής| <= | z:συζυγής + w|
Α) να δείξετε ότι α= e
B) να βρείτε τα limf(x) οταν το χ τείνει στο +άπειρο και στο -άπειρο
Γ) να δείξετε ότι η Cf δεν έχει ασύμπτωτες
Δ) να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 είναι αδύνατη στο R.

2. Δίνεται η g(x)= (e^x - 1)/ (e^x + 1) με x ανήκει στο R. Θεωρούμε επίσης την παραγωγίσιμη συνάρτηση f(0,+άπειρο)->R για την οποία ισχύουν:
• f(e) = limg(x) το χ τείνει στο +άπειρο
• χf'(x)=1, για κάθε χ>0
Α) να βρείτε τον τύπο της f
Β) να βρείτε το όριο lim(f(x)+f'(x)) το χ τείνει στο 0+
Γ) να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία, κυρτότητα, σημεία καμπής
Ε) να λύσετε την εξίσωση (e^συνχ•e^(2x) - 1)(e+1)=(e^συνχ•e^(2x) +1)(e-1)

3. Δίνεται f:R ->R 2 φορές παταγωγίσιμη για την οποία ισχύει:
Lim[(xf(x)-ημχ)/(e^(x^2)-1)]=1 το χ τείνει στο 0. Θεωρούμε g

0,+άπειρο)->R με g(x)=x^2+x-2-f(2)lnx η γραφική παράσταση της οποίας δεν έχει κανένα τμήμα της κάτω απο τον xx'.
A) να δείξετε ότι f(2)=3
Β) να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία
Γ) να βρεθούν τα limg(x) όταν χ τείνει στο 0+ και στο +άπειρο
Δ) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο που τέμνει τον yy'
E)να αποδείξετε ότι υπάρχει χ0 ανήκει (0,2) τέτοιο ώστε f"(x0)=0
Στ) να αποδείξετε ότι η f(x)-2x=(1-x)f'(x) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,2)
Ζ) αν επιπλέον ισχύει ότι f'(x)

για κάθε χ να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ανήκει (-2,4) τέτοιο ώστε 3f(ξ)=7ξ-1.

Guest 018946 · 18-02-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Σωστά! .Ας επαναφέρουμε κι αυτές τις δύο που ξεχάστηκαν.

παίζει τίποτα σε υποδειξη για το τελευταιο; γιατι σκεφτηκα την 2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 αλλα δεν μπορω να την προχωρήσω

rebel · 18-02-14

Η λύση που έχω είναι γεωμετρική. Ίσως βγαίνει και αλγεβρικά βέβαια.

nikoslarissa · 12-03-14

Εστω συνάρτηση $f$ ορισμένη στο $(0,e)$ με $f(1)=0$
Να βρείτε τον τύπο της αν $ln(f'(x))=f(x)-lnx$

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος