Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Έρεβος · 2015-10-11T17:14:19+0300

Ευχαριστώ για τις φιλοφρονήσεις

, αλλά έλεγξέ τα μήπως έχω κάνει κάποιο λάθος ή αν κάτι είναι "ακαταλαβίστικο". Τα έγραψα ολίγον βιαστικά. :whistle:

panspil · 2015-11-10T13:52:53+0200

παιδια λιγη βοηθεια σε μια ασκηση...να βρειτε τους τριγ. αριθμους της γωνιας 21π/4 (κλασμα) rad στις λυσεις λεει οτι 21π/4 =21/8 χ 2π.....πως καταληγει σε αυτο το συμπερασμα...;;;τι πραξεις κανει;;

Michanikara · 2015-11-10T21:30:33+0200

MSP22891h58c2aiab5eegig000036f6gc7b5204f40i

panspil · 2015-11-20T20:59:42+0200

παιδια μια ερωτηση...την εξισωση(χ+ψ-5)+α(2χ+ψ-7)=0 πως την φερνω στην μορφη ευθειας αχ+βψ+γ=0...;;

vasilakis13 · 2015-11-20T21:17:09+0200

θα κάνεις την επιμεριστική στο γινόμενο και μετά θα ομαδοποιήσεις τα χ και τα ψ. Έτσι θα έχεις:
(2α+1)χ + (α+1)ψ + (-5-7α)=0

panspil · 2015-11-20T21:23:45+0200

σε ευχαριστω πολυ για την απαντηση...

Τυφών · 2015-12-19T19:56:52+0200

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

Stelios1997 · 2015-12-19T21:07:11+0200

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

H gof ορίζεται στο Α={χΕ Df/ f(x) E Dg}
1.xE Df => χΕ [-2,4]
2. f(x) E Dg => xER
Άρα A=[-2,4]
Για κάθε χΕ Α έχουμε (gof)(x)=g(f(x))=

Κάνεις τα ίδια και προκύπτει και η fog

lowbaper92 · 2015-12-19T21:18:16+0200

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

Βάζω σε spoiler τη fog, αφού με πρόλαβαν.

${D}_{g}=\mathbb{R}\; \kappa \alpha \iota \; {D}_{f}=\left[-2,4 \right]$
${D}_{fog}=\left.\begin{matrix}x\in {D}_{g}\\ g\left(x \right)\in {D}_{f}\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\\ -2\leq {x}^{2}+x+2\leq 4\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow x\in \left[-2,1 \right]$

$\left(fog \right)\left(x \right)=f\left(g\left(x \right) \right)=f\left( {x}^{2}+x+2 \right)=\sqrt{-\left( {x}^{2}+x+2 \right)^2+2\left( {x}^{2}+x+2 \right)+8},\; x\in \left[-2,1 \right]$

manolis_98 · 2015-12-19T21:49:08+0200

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

View attachment ασκηση.docx
!στον υπολογισμό της gof είναι...6+√...

Τυφών · 2015-12-19T22:57:13+0200

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Δηλαδή για να καταλάβω, πρέπει πρώτα να βρούμε τα διαστήματα στα οποία οριζόνται οι fog και gof ξεχωριστά, και μετά να βρούμε τον τύπο τους από το g(f(x)) και το f(g(x))?
Κάναμε κάτι παραδείγματα στα οποία όμως οι συναρτήσεις είχαν για πεδίο ορισμού κλειστό διάστημα γι'αυτό δυσκολεύομαι.
Δεν υπάρχει όμως πιθανότητα ψάχνοντας τον τυπο της gof πχ να φτάσουμε σε συναρτήση που να χρειάζεται εκ νέου κάποιον περιορισμό;

Τυφών · 2015-12-19T23:25:43+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Βάζω σε spoiler τη fog, αφού με πρόλαβαν.

${D}_{g}=\mathbb{R}\; \kappa \alpha \iota \; {D}_{f}=\left[-2,4 \right]$
${D}_{fog}=\left.\begin{matrix}x\in {D}_{g}\\ g\left(x \right)\in {D}_{f}\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\\ -2\leq {x}^{2}+x+2\leq 4\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow x\in \left[-2,1 \right]$

$\left(fog \right)\left(x \right)=f\left(g\left(x \right) \right)=f\left( {x}^{2}+x+2 \right)=\sqrt{-\left( {x}^{2}+x+2 \right)^2+2\left( {x}^{2}+x+2 \right)+8},\; x\in \left[-2,1 \right]$

Δεν κατάλαβα την δεύτερη ισοδυναμία, γιατί
xΕ(-2,1) ;

lowbaper92 · 2015-12-20T00:25:26+0200

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δεν κατάλαβα την δεύτερη ισοδυναμία, γιατί
xΕ(-2,1) ;

Η αριστερή ανίσωση ισχύει για κάθε xεR, και η δεξιά δίνει το [-2,1]
Πάντως απ' τη δική σου εκφώνηση έχω γράψει ανάποδο πρόσημο στην g, οπότε δες τη λύση του Μανώλη.

Τυφών · 2015-12-20T00:43:33+0200

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η αριστερή ανίσωση ισχύει για κάθε xεR, και η δεξιά δίνει το [-2,1]
Πάντως απ' τη δική σου εκφώνηση έχω γράψει ανάποδο πρόσημο στην g, οπότε δες τη λύση του Μανώλη.

Αφού ειναι -2<_x²+x-2<_4 ειναι δευτερου βαθμου πως θα απομονωσουμε το χ;

manolis_98 · 2015-12-20T00:54:51+0200

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Αφού ειναι -2<_x²+x-2<_4 ειναι δευτερου βαθμου πως θα απομονωσουμε το χ;

προσθέτεις 2 παντου
επειτα σπας την ανισωση σε χ^2+χ>=0 και χ^2+χ<=6
λυνεις
συναληθευεις

Τυφών · 2015-12-20T12:15:58+0200

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x/x-4 και g(x)=x²-x+2. Να οριστεί η fog. Αρχικά βγάζω Dfog=R-{4} αλλά μετά το f(g(x)) πρέπει και x≠-1 , x≠2

Liquid Snake · 2015-12-20T12:40:40+0200

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x/x-4 και g(x)=x²-x+2. Να οριστεί η fog. Αρχικά βγάζω Dfog=R-{4} αλλά μετά το f(g(x)) πρέπει και x≠-1 , x≠2

Df=(-oo,4)U(4,+oo)
Dg=R

x E Dg => x E R
g(x) E Df => g(x) E (-oo,4)U(4,+oo) => g(x) διάφορο 4 => x^2-x+2 διάφορο 4 => x^2-x-2 διάφορο 0 => x διάφορο -1 και x διάφορο 2
Dfog=(-oo,-1)U(-1,2)U(2,+oo)

(fog)(x)=f(g(x))=f((x^2)-x+2)=((x^2)-x+2)/((x^2)-x-2)

kachorra · 2016-01-10T22:50:27+0200

Καλησπερα κ καλη χρονια! Μπορειτε να δωσετε μια βοηηεια για το ερωτημα γ(i)?

https://www.dropbox.com/sc/xad57n0cgq1rbuy/AAB0auuz4NNlsikEcHViqsVga

Stelios1997 · 2016-01-11T10:18:12+0200

Αρχική Δημοσίευση από kachorra:
Καλησπερα κ καλη χρονια! Μπορειτε να δωσετε μια βοηηεια για το ερωτημα γ(i)?

https://www.dropbox.com/sc/xad57n0cgq1rbuy/AAB0auuz4NNlsikEcHViqsVga

Πρώτα πάρε g(x)>=-1 και θα καταλήξεις σε κάτι που ισχύει.
Μετά κάνε το ίδιο για g(x)<=1.

rebel · 2016-01-12T19:55:03+0200

Αρχική Δημοσίευση από kachorra:
Καλησπερα κ καλη χρονια! Μπορειτε να δωσετε μια βοηηεια για το ερωτημα γ(i)?

https://www.dropbox.com/sc/xad57n0cgq1rbuy/AAB0auuz4NNlsikEcHViqsVga

Μία προσπάθεια:
H $g$ είναι ορισμένη και συνεχής στο $\mathbb{R}$ . Έστω $g(\mathbb{R})$ το σύνολο τιμών της. Αρχικά βλέπουμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ :
$|g(x)|\leq 1 \Leftrightarrow\left|\frac{2f(x)}{f^2(x)+1}\right|\leq 1 \Leftrightarrow \left(\left|f(x)\right|-1\right)^2 \geq 0$
που ισχύει. Άρα λοιπόν $|g(x)|\leq 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , κάτι που σημαίνει ότι $g(\mathbb{R}) \subseteq [-1,1],\,\,(1)$ .

Επιπλέον θα δείξω ότι $[-1,1] \subseteq g(\mathbb{R}),\,\,(2)$ . Κατ' αρχάς $f(1)=1$ και επειδή η $f$ είναι περιττή: $f(-1)=-f(1)=-1$ . Έτσι $g(-1)=-1,\,\,g(1)=1$ . Προφανώς λοιπόν $-1,1 \in g(\mathbb{R})$ . Τέλος για κάθε $\eta \in (-1,1)=\left(g(-1),g(1)\right)$ , λόγω του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών υπάρχει $x_0 \in (-1,1)$ τέτοιο ώστε $g(x_0)=\eta$ . Συνεπώς η (2) ισχύει και σε συνδυασμό με την (1) μας οδηγεί στο ότι $g(\mathbb{R})= [-1,1]$ που είναι και το ζητούμενο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος