Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Έρεβος · 11-10-15

Ευχαριστώ για τις φιλοφρονήσεις

, αλλά έλεγξέ τα μήπως έχω κάνει κάποιο λάθος ή αν κάτι είναι "ακαταλαβίστικο". Τα έγραψα ολίγον βιαστικά. :whistle:

panspil · 10-11-15

παιδια λιγη βοηθεια σε μια ασκηση...να βρειτε τους τριγ. αριθμους της γωνιας 21π/4 (κλασμα) rad στις λυσεις λεει οτι 21π/4 =21/8 χ 2π.....πως καταληγει σε αυτο το συμπερασμα...;;;τι πραξεις κανει;;

Michanikara · 10-11-15

panspil · 20-11-15

παιδια μια ερωτηση...την εξισωση(χ+ψ-5)+α(2χ+ψ-7)=0 πως την φερνω στην μορφη ευθειας αχ+βψ+γ=0...;;

vasilakis13 · 20-11-15

θα κάνεις την επιμεριστική στο γινόμενο και μετά θα ομαδοποιήσεις τα χ και τα ψ. Έτσι θα έχεις:
(2α+1)χ + (α+1)ψ + (-5-7α)=0

panspil · 20-11-15

σε ευχαριστω πολυ για την απαντηση...

Τυφών · 19-12-15

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

Stelios1997 · 19-12-15

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

H gof ορίζεται στο Α={χΕ Df/ f(x) E Dg}
1.xE Df => χΕ [-2,4]
2. f(x) E Dg => xER
Άρα A=[-2,4]
Για κάθε χΕ Α έχουμε (gof)(x)=g(f(x))=

Κάνεις τα ίδια και προκύπτει και η fog

lowbaper92 · 19-12-15

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

Βάζω σε spoiler τη fog, αφού με πρόλαβαν.

${D}_{g}=\mathbb{R}\; \kappa \alpha \iota \; {D}_{f}=\left[-2,4 \right]$
${D}_{fog}=\left.\begin{matrix}x\in {D}_{g}\\ g\left(x \right)\in {D}_{f}\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\\ -2\leq {x}^{2}+x+2\leq 4\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow x\in \left[-2,1 \right]$

$\left(fog \right)\left(x \right)=f\left(g\left(x \right) \right)=f\left( {x}^{2}+x+2 \right)=\sqrt{-\left( {x}^{2}+x+2 \right)^2+2\left( {x}^{2}+x+2 \right)+8},\; x\in \left[-2,1 \right]$

manolis_98 · 19 Δεκεμβρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.

View attachment ασκηση.docx
!στον υπολογισμό της gof είναι...6+√...

Τυφών · 19-12-15

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Δηλαδή για να καταλάβω, πρέπει πρώτα να βρούμε τα διαστήματα στα οποία οριζόνται οι fog και gof ξεχωριστά, και μετά να βρούμε τον τύπο τους από το g(f(x)) και το f(g(x))?
Κάναμε κάτι παραδείγματα στα οποία όμως οι συναρτήσεις είχαν για πεδίο ορισμού κλειστό διάστημα γι'αυτό δυσκολεύομαι.
Δεν υπάρχει όμως πιθανότητα ψάχνοντας τον τυπο της gof πχ να φτάσουμε σε συναρτήση που να χρειάζεται εκ νέου κάποιον περιορισμό;

Τυφών · 19-12-15

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Βάζω σε spoiler τη fog, αφού με πρόλαβαν.

${D}_{g}=\mathbb{R}\; \kappa \alpha \iota \; {D}_{f}=\left[-2,4 \right]$
${D}_{fog}=\left.\begin{matrix}x\in {D}_{g}\\ g\left(x \right)\in {D}_{f}\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix}x\in \mathbb{R}\\ -2\leq {x}^{2}+x+2\leq 4\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow x\in \left[-2,1 \right]$

$\left(fog \right)\left(x \right)=f\left(g\left(x \right) \right)=f\left( {x}^{2}+x+2 \right)=\sqrt{-\left( {x}^{2}+x+2 \right)^2+2\left( {x}^{2}+x+2 \right)+8},\; x\in \left[-2,1 \right]$

Δεν κατάλαβα την δεύτερη ισοδυναμία, γιατί
xΕ(-2,1) ;

lowbaper92 · 20 Δεκεμβρίου 2015

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δεν κατάλαβα την δεύτερη ισοδυναμία, γιατί
xΕ(-2,1) ;

Η αριστερή ανίσωση ισχύει για κάθε xεR, και η δεξιά δίνει το [-2,1]
Πάντως απ' τη δική σου εκφώνηση έχω γράψει ανάποδο πρόσημο στην g, οπότε δες τη λύση του Μανώλη.

Τυφών · 20-12-15

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η αριστερή ανίσωση ισχύει για κάθε xεR, και η δεξιά δίνει το [-2,1]
Πάντως απ' τη δική σου εκφώνηση έχω γράψει ανάποδο πρόσημο στην g, οπότε δες τη λύση του Μανώλη.

Αφού ειναι -2<_x²+x-2<_4 ειναι δευτερου βαθμου πως θα απομονωσουμε το χ;

manolis_98 · 20-12-15

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Αφού ειναι -2<_x²+x-2<_4 ειναι δευτερου βαθμου πως θα απομονωσουμε το χ;

προσθέτεις 2 παντου
επειτα σπας την ανισωση σε χ^2+χ>=0 και χ^2+χ<=6
λυνεις
συναληθευεις

Τυφών · 20-12-15

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x/x-4 και g(x)=x²-x+2. Να οριστεί η fog. Αρχικά βγάζω Dfog=R-{4} αλλά μετά το f(g(x)) πρέπει και x≠-1 , x≠2

Liquid Snake · 20-12-15

Αρχική Δημοσίευση από Τυφών:
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x/x-4 και g(x)=x²-x+2. Να οριστεί η fog. Αρχικά βγάζω Dfog=R-{4} αλλά μετά το f(g(x)) πρέπει και x≠-1 , x≠2

Df=(-oo,4)U(4,+oo)
Dg=R

x E Dg => x E R
g(x) E Df => g(x) E (-oo,4)U(4,+oo) => g(x) διάφορο 4 => x^2-x+2 διάφορο 4 => x^2-x-2 διάφορο 0 => x διάφορο -1 και x διάφορο 2
Dfog=(-oo,-1)U(-1,2)U(2,+oo)

(fog)(x)=f(g(x))=f((x^2)-x+2)=((x^2)-x+2)/((x^2)-x-2)

kachorra · 10-01-16

Καλησπερα κ καλη χρονια! Μπορειτε να δωσετε μια βοηηεια για το ερωτημα γ(i)?

https://www.dropbox.com/sc/xad57n0cgq1rbuy/AAB0auuz4NNlsikEcHViqsVga

Stelios1997 · 11-01-16

Αρχική Δημοσίευση από kachorra:
Καλησπερα κ καλη χρονια! Μπορειτε να δωσετε μια βοηηεια για το ερωτημα γ(i)?

https://www.dropbox.com/sc/xad57n0cgq1rbuy/AAB0auuz4NNlsikEcHViqsVga

Πρώτα πάρε g(x)>=-1 και θα καταλήξεις σε κάτι που ισχύει.
Μετά κάνε το ίδιο για g(x)<=1.

rebel · 12 Ιανουαρίου 2016

Αρχική Δημοσίευση από kachorra:
Καλησπερα κ καλη χρονια! Μπορειτε να δωσετε μια βοηηεια για το ερωτημα γ(i)?

https://www.dropbox.com/sc/xad57n0cgq1rbuy/AAB0auuz4NNlsikEcHViqsVga

Μία προσπάθεια:
H $g$ είναι ορισμένη και συνεχής στο $\mathbb{R}$ . Έστω $g(\mathbb{R})$ το σύνολο τιμών της. Αρχικά βλέπουμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ :
$|g(x)|\leq 1 \Leftrightarrow\left|\frac{2f(x)}{f^2(x)+1}\right|\leq 1 \Leftrightarrow \left(\left|f(x)\right|-1\right)^2 \geq 0$
που ισχύει. Άρα λοιπόν $|g(x)|\leq 1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , κάτι που σημαίνει ότι $g(\mathbb{R}) \subseteq [-1,1],\,\,(1)$ .

Επιπλέον θα δείξω ότι $[-1,1] \subseteq g(\mathbb{R}),\,\,(2)$ . Κατ' αρχάς $f(1)=1$ και επειδή η $f$ είναι περιττή: $f(-1)=-f(1)=-1$ . Έτσι $g(-1)=-1,\,\,g(1)=1$ . Προφανώς λοιπόν $-1,1 \in g(\mathbb{R})$ . Τέλος για κάθε $\eta \in (-1,1)=\left(g(-1),g(1)\right)$ , λόγω του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών υπάρχει $x_0 \in (-1,1)$ τέτοιο ώστε $g(x_0)=\eta$ . Συνεπώς η (2) ισχύει και σε συνδυασμό με την (1) μας οδηγεί στο ότι $g(\mathbb{R})= [-1,1]$ που είναι και το ζητούμενο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος