Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

t00nS · 18-04-13

αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)

Lost in the Fog · 18-04-13

ναι ηταν πραγματικα δυσκολες οι ασκησεις! δεν ξερω και γω που τις σκεφτηκε ο καθηγητης μου. ευχαριστω παντως!

JKaradakov · 18 Απριλίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)

1. Αφού ν περιττός:

$\lim_{x \to - \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to - \infty } {a_v}{x^v} = - \infty$ άρα $\exists {\rho _1} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _1}) < 0$
$\lim_{x \to + \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to + \infty } {a_v}{x^v} = + \infty$ άρα $\exists {\rho _2} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _2}) > 0$

Άρα απο Θ.Bolzano $\exists {x_0} \in \mathbb{R}:\Pi ({x_0}) = 0$

2. Αφου $\Pi (x) \ne 0$ τότε απο το πρώτο ερώτημα συμπαιραίνουμε πως ν άρτιος, άρα ο βαθμός της παραγώγου θα είναι περιττός επομένως και πάλι απο το πρώτο ερώτημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Έστω ότι η παράγωγος έχει και δεύτερη ρίζα ${x_1} \in \mathbb{R}$ τότε:

Π(x) συνεχής στο R.
Π(x) παραγωγίσημη στο R.
$\Pi '({x_0}) = \Pi '({x_1}) = 0$

άρα απο Θ.Rolle $\exists \xi \in \mathbb{R}:\Pi ''(\xi ) = 0$ . Άτοπο. Άρα η Π'(x) έχει μοναδική ρίζα.

3. Η $\Pi '(x)$ είναι γν. μονότονη αφου $\Pi ''(x) \ne 0$ και καθώς είναι συνεχής ώς πολυωνυμική διατηρεί πρόσημο. Άρα το πρόσημο της Π' αλλάζει εκατέρωθεν της ρίζας.Άρα η ρίζα είναι θέση ακροτάτου για την συνάρτηση Π(x).

Για το τρίτο νομίζω υπάρχει και καλύτερος τρόπος να το πεις. :hmm:

t00nS · 18-04-13

στο 2) εννοείς ότι για περιτού βαθμού έχουμε ρίζα,όταν μας λέει μετά ότι η Π(χ)#0 συμπεραίνουμε ότι έχουμε ν άρτιο(εδώ κόλλησα και πριν)

JKaradakov · 18-04-13

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
στο 2) εννοείς ότι για περιτού βαθμού έχουμε ρίζα,όταν μας λέει μετά ότι η Π(χ)#0 συμπεραίνουμε ότι έχουμε ν άρτιο(εδώ κόλλησα και πριν)

Αφού Π(χ) δίαφορο του μηδενος και στο πρώτο έχουμε αποδείξη πως για ν περιττό έχουμε ρίζα τότε το Π(χ) είναι άρτιου βαθμού.

Guest 845212 · 18-04-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
1. Αφού ν περιττός:

$\lim_{x \to - \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to - \infty } {a_v}{x^v} = - \infty$ άρα $\exists {\rho _1} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _1}) < 0$

$\lim_{x \to + \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to + \infty } {a_v}{x^v} = + \infty$ άρα $\exists {\rho _2} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _2}) < 0$

Άρα απο Θ.Bolzano $\exists {x_0} \in \mathbb{R}:\Pi ({x_0}) = 0$

2. Αφου $\Pi (x) \ne 0$ τότε απο το πρώτο ερώτημα συμπαιραίνουμε πως ν άρτιος, άρα ο βαθμός της παραγώγου θα είναι περιττός επομένως και πάλι απο το πρώτο ερώτημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Έστω ότι η παράγωγος έχει και δεύτερη ρίζα ${x_1} \in \mathbb{R}$ τότε:

Π(x) συνεχής στο R.

Π(x) παραγωγίσημη στο R.

$\Pi '({x_0}) = \Pi '({x_1}) = 0$

άρα απο Θ.Rolle $\exists \xi \in \mathbb{R}:\Pi ''(\xi ) = 0$ . Άτοπο. Άρα η Π'(x) έχει μοναδική ρίζα.

3. Η $\Pi '(x)$ είναι γν. μονότονη αφου $\Pi ''(x) \ne 0$ και καθώς είναι συνεχής ώς πολυωνυμική διατηρεί πρόσημο. Άρα το πρόσημο της Π' αλλάζει εκατέρωθεν της ρίζας.Άρα η ρίζα είναι θέση ακροτάτου για την συνάρτηση Π(x).

Για το τρίτο νομίζω υπάρχει και καλύτερος τρόπος να το πεις.

Στο 1ο εκανες μια απροσεξια. Π(ρ2)>0. Αλλιως δεν θα ισχυει το μπολζανο.

JKaradakov · 18-04-13

Αρχική Δημοσίευση από Dimitris_Väinämöinen:
Στο 1ο εκανες μια απροσεξια. Π(ρ2)>0. Αλλιως δεν θα ισχυει το μπολζανο.

Yep, απροσεξία. Την διόρθωσα.

exc · 18-04-13

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)

εδιτ: λολ, γιατί δεν είδα ότι έχει απαντηθεί ήδη;

1) Πάρε το όριο για χ->+οο και μετά στο -οο. Θα δεις ότι έχουν αντίθετο πρόσημο.
2) Π' ' διάφορο του 0 => Π' γνησίως μονότονη => αν έχει ρίζα είναι μοναδική
Π διάφορο του 0 => απορρίπτονται από (α) όσα πολυώνυμα είναι περιττού βαθμού => Η παράγωγος, όμως, ενός πολυωνύμου άρτιου βαθμού, είναι πολυώνυμο περιττό και έχει ρίζα πάντα => ύπαρξη ρίζας
3) Εμ... Προφανώς; Αφού είναι ρίζα της παραγώγου της.

Αρίκος · 18-04-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
1. Αφού ν περιττός:

$\lim_{x \to - \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to - \infty } {a_v}{x^v} = - \infty$ άρα $\exists {\rho _1} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _1}) < 0$

$\lim_{x \to + \infty } ({a_v}{x^v} + ... + {a_1}x + {a_0}) =\lim_{x \to + \infty } {a_v}{x^v} = + \infty$ άρα $\exists {\rho _2} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\Pi ({\rho _2}) > 0$

Άρα απο Θ.Bolzano $\exists {x_0} \in \mathbb{R}:\Pi ({x_0}) = 0$

2. Αφου $\Pi (x) \ne 0$ τότε απο το πρώτο ερώτημα συμπαιραίνουμε πως ν άρτιος, άρα ο βαθμός της παραγώγου θα είναι περιττός επομένως και πάλι απο το πρώτο ερώτημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Έστω ότι η παράγωγος έχει και δεύτερη ρίζα ${x_1} \in \mathbb{R}$ τότε:

Π(x) συνεχής στο R.

Π(x) παραγωγίσημη στο R.

$\Pi '({x_0}) = \Pi '({x_1}) = 0$

άρα απο Θ.Rolle $\exists \xi \in \mathbb{R}:\Pi ''(\xi ) = 0$ . Άτοπο. Άρα η Π'(x) έχει μοναδική ρίζα.

3. Η $\Pi '(x)$ είναι γν. μονότονη αφου $\Pi ''(x) \ne 0$ και καθώς είναι συνεχής ώς πολυωνυμική διατηρεί πρόσημο. Άρα το πρόσημο της Π' αλλάζει εκατέρωθεν της ρίζας.Άρα η ρίζα είναι θέση ακροτάτου για την συνάρτηση Π(x).

Για το τρίτο νομίζω υπάρχει και καλύτερος τρόπος να το πεις.

Ωραιος, αλλα στο πρωτο ξεχασες να διακρινεις περιπτωσεις για το α.

JKaradakov · 18-04-13

Αρχική Δημοσίευση από Αρίκος:
Ωραιος, αλλα στο πρωτο ξεχασες να διακρινεις περιπτωσεις για το α.

Όντως. Αυτά που έκανα είναι για α>0. :redface:

saktop · 18-04-13

Παιδιά, έχω δύο απορίες:
1) Ποιες αποδείξεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης χρειάζονται και τα σχήματα;
2) Πώς λύνεται το Θέμα 97, σελίδα 408, στον Μπάρλα;;

P@NT?LO$ · 19-04-13

βοηθεια με τη μονοτονια τα ακροτατα και τις ασυμπτωτες τις f(x)=x^2lnx
δεν τα καταφερνω... ευχαριτω εκ των προτερων

Sarantis_Ts · 19-04-13

Δεν είναι δύσκολη συνάρτηση...
Κατ αρχάς, εχει πεδιο ορισμου (0,+00) όπου και ειναι παρ/μη
1) Για την μονοτονια παραγωγίζεις φυσικά.
f'(x) = 2xlnx + 1/x^2 * x^2 = 2xlnx + x = x(2lnx +1)
το χ ειναι θετικό αφού ανοίκει στο (0,+00) αρα μελετας πρόσημο (2lnx+1)
2lnx+1 > 0 <=> lnx > -1/2 <=> x > e^(-1/2) [ δηλαδή 1/(ρίζα e) ]
επομενως ειναι γν αύξουσα στο [ e^(-1/2), +00) και γν φθίνουσα στο (0, e^(-1/2)]
Το μηδεν είναι ανοιχτο ακρο του ΠΟ αρα τ μονο ακροτατο ειναι στο x= e^(-1/2) (ολικό ελαχιστο)
f( e^(-1/2)) = -1/2e
Όσο για τις ασυμπτωτες, αν πας να βρεις οριο lim (f/x) στο +00 θα βγαλεις +00, δεν ειναι αριθμος, αρα δεν εχει οριζοντια/πλαγια ασυμπτωτη. Ομως εχει κατακορυφη ασυμπτωτη την χ=0 (ο αξονας yy') γιατι limf(x) στο 0 ειναι 0. αρα χ=0 ασυμπτωτη.
Αυτα

JKaradakov · 19-04-13

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
βοηθεια με τη μονοτονια τα ακροτατα και τις ασυμπτωτες τις f(x)=x^2lnx
δεν τα καταφερνω... ευχαριτω εκ των προτερων

$f(x) = {x^2}\ln x,{\text{ }}x > 0$
H f(x) παραγωγίσημη ως γινόμενο παραγωγίσημων συναρτήσεων με παράγωγο:

$f'(x) = 2x\ln x + x,{\text{ }}x > 0$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) = 0$
Άρα:

$x = 0$ , Άτοπο αφού $x>0$
$2\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt e }}$

$f'(x) > 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) > 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \ln x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt e }}$
$f'(x) < 0 \Leftrightarrow x(2\ln x + 1) < 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \ln x < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < \frac{1}{{\sqrt e }}$
Άρα:

$f \uparrow ,\forall x \in [\frac{1}{{\sqrt e }}, + \infty )$
$f \downarrow ,\forall x \in (0,\frac{1}{{\sqrt e }}]$
Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ${x_0} = \frac{1}{{\sqrt e }}$ με τιμή $f(\frac{1}{{\sqrt e }}) = - \frac{1}{{2e}}$ .

Ασύμπτωτες:

Πλαγιες/Οριζόντιες Ασύμπτωτες:
- $\lim_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} =\lim_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}\ln x}}{x}=\lim_{x \to + \infty } x\ln x = + \infty$
Άρα δεν έχει Πλάγιες/Οριζόντιες Ασύμπτωτες.
Κατακόρυφες Ασύμπτωτες:
Δεν έχει.

Αρχική Δημοσίευση από Sarantis_Ts:
Δεν είναι δύσκολη συνάρτηση...
Κατ αρχάς, εχει πεδιο ορισμου (0,+00) όπου και ειναι παρ/μη
1) Για την μονοτονια παραγωγίζεις φυσικά.
f'(x) = 2xlnx + 1/x^2 * x^2 = 2xlnx + x = x(2lnx +1)
το χ ειναι θετικό αφού ανοίκει στο (0,+00) αρα μελετας πρόσημο (2lnx+1)
2lnx+1 > 0 <=> lnx > -1/2 <=> x > e^(-1/2) [ δηλαδή 1/(ρίζα e) ]
επομενως ειναι γν αύξουσα στο [ e^(-1/2), +00) και γν φθίνουσα στο (0, e^(-1/2)]
Το μηδεν είναι ανοιχτο ακρο του ΠΟ αρα τ μονο ακροτατο ειναι στο x= e^(-1/2) (ολικό ελαχιστο)
f( e^(-1/2)) = -1/2e
Όσο για τις ασυμπτωτες, αν πας να βρεις οριο lim (f/x) στο +00 θα βγαλεις +00, δεν ειναι αριθμος, αρα δεν εχει οριζοντια/πλαγια ασυμπτωτη. Ομως εχει κατακορυφη ασυμπτωτη την χ=0 (ο αξονας yy') γιατι limf(x) στο 0 ειναι 0. αρα χ=0 ασυμπτωτη.
Αυτα

Το όριο πρέπει να είναι άπειρο για να έχεις κατακόρυφη ασύμπτωτη.

P@NT?LO$ · 19-04-13

σας ευχαριστω!!

Αμελί · 19 Απριλίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Isom1312:
Aν σε μια ασκηση πρεπει να χρησιμοποιησω οτι η αντιστροφη της f ειναι 1-1 (εφοσον η f ειναι 1-1) πρεπει να το αποδειξω;Μονο με ατοπο μπορω.σωστα;

Για να αντιστρέφεται η f προφανως και ειναι "1-1". Η αντίστροφή της όμως δεν σημαίνει πως θα είναι κι εκείνη "1-1". Η αντιστρεψιμότητα της αντίστροφης είναι δηλαδή νέα άσκηση, συνεπώς πρέπει να το αποδείξεις.

Η αντιστρεψιμότητα αποδυκνείεται ως εξής:

Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ, τότε:

f(x1)=f(x2) \Leftrightarrow x1=x2

ή

x1\neq x2 \Leftrightarrow f(x1)\neq f(x2)

ή

ότι η f(x)=y έχει μοναδική λύση ως προς y

ή

έχοντας αποδείξει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ, συνεπώς και "1-1".

alexalchemist · 19-04-13

παιζει να μπει ευρεση τυπου ξανα για 4ο θεμα?

akis95 · 19-04-13

nobody knows

JKaradakov · 19-04-13

Αρχική Δημοσίευση από alexalchemist:
παιζει να μπει ευρεση τυπου ξανα για 4ο θεμα?

Είναι ένα πολύ καλό ερώτημα για 4ο αυτό.

alexalchemist · 19-04-13

ρε συ Ιορδανη το λεω γτ ποτε την επομενη χρονια δν ειχε πεσει ζητουμενο ιδιο ...(καθε χρονο τα αλλαζουν τελειως)...τεσπα αν πεσει ξανα κατα 80 % θα ειναι με δυο σταθερες

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 845212

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος