Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Metal-Militiaman · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από mikri_tulubitsa:
πως δειχνω οτι $x^2>\ln 2x$ για καθε χ>0;

$f(x)={x}^{2}-ln(2x) , χ>0$

Aρκεί να δείξεις $f(x)>0$
παραγωγίζεις και βρίσκεις ότι στο $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

Άρα $f(x)\geq f(\frac{1}{\sqrt{2}})={(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}-ln(\frac{2}{\sqrt{2}})={\frac{1}{2}}(1-ln2))>0$

Όπα! απαντήθηκε από τον styt_geia, ξέχασα να σκρολάρω :hehe:

stelios1994-4 · 31-03-12

Μια μικρή γενική βοήθεια. Πως αντιμετωπίζω όρια που περιέχουν ολοκληρώματα μέσα? Κανονικά? Υπάρχει καμιά περίεργη περίπτωση που πρέπει να προσέξω??

rebel · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από stelios1994-4:
Μια μικρή γενική βοήθεια. Πως αντιμετωπίζω όρια που περιέχουν ολοκληρώματα μέσα? Κανονικά? Υπάρχει καμιά περίεργη περίπτωση που πρέπει να προσέξω??

Αυτό το άρθρο πιστεύω θα φανει χρήσιμο.

drosos · 31-03-12

Συνηθως με delhospital... Αλλιως θα χεις αποδειξει απο πανω καποια ανισοτητα και με κριτηριο παρεμβολης θα το βρισκεις )

stelios1994-4 · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτό το άρθρο πιστεύω θα φανει χρήσιμο.

Πολύ χρήσιμο, ευχαριστώ.

diaryofdreams · 31-03-12

Να λυθει η εξισωση : 2^x-3^x=4^x-5^x

Χαρουλιτα · 31-03-12

Εφαρμοζεις ΘΜΤ στην f(x)=x εις την t στα διαστηματα [2,4] και [3,5]

GiwrgosK. · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Εφαρμοζεις ΘΜΤ στην f(x)=x εις την t στα διαστηματα [2,4] και [3,5]

Το ΘΜΤ πρέπει να το εφαρμόσεις στα [2,3] και [4,5] γιατί δεν πρέπει να υπερκαλύπτονται τα διαστήματα στα οποία κάνεις το ΘΜΤ ώστε να βρείς δύο διαφορετικές τιμες,κατά τα άλλα η λογική είναι σωστή

Χαρουλιτα · 31-03-12

Νομιζω πως και ο τροπος που λεω και ο τροπος που λες ειναι σωστοι...

GiwrgosK. · 31-03-12

Κάνοντας ΘΜΤ στο [2,4] και [3,5] θα φτάσει στο σημείο ,για x1 που ανήκει (2,4) και x2 που ανήκει στο (3,5), ότι $x{{x}_{1}}^{x-1}-x{{x}_{2}}^{x-1}=0$ άρα ή χ=0 ή ${{x}_{1}}^{x-1}$ = ${{x}_{2}}^{x-1}$ ,αν όμως τα διαστήματα υπερκαλύπτονται τότε το δεύτερο μπορεί να είναι αόριστο (αν x1=x2) για αύτο ενώ αν είναι [2,3] και [4,5] τότε η δεύτερη σχέση θα δώσει ως λύση μόνο το x=1 που θέλουμε

Χαρουλιτα · 31-03-12

Α, οκ, τωρα καταλαβα τι εννοεις!

diaryofdreams · 31 Μαρτίου 2012

στο [2,3] και στο [4,5] εννοείς

GiwrgosK. · 31 Μαρτίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
στο [2,3] και στο [4,5] εννοείς

Ναι,σόρρυ το διόρθωσα

diaryofdreams · 31-03-12

Εστω f(x)= x^t f'(x)=t*x^(t-1) ΘΜΤ στο [2,3] f'(ξ1)=3^t-2^t => t*ξ1^(t-1)=3^t-2^t (1)
.... ... [4,5] => t*ξ2^(t-1)=5^t-4^t (2)

αρα η εξισωση μας ,, απο τις 1,2 ειναι ισοδυναμη με την t*ξ1^(t-1)=t*ξ2^(t-1) (με αλλη μεταβλητη χ<->t)

η οποια για t διαφορο του μηδενος (προφανης ριζα) δινει ξ1(τ-1)=ξ2(τ-1) , για ξ1 διαφορο του ξ2 εχουμε και μια επιπλεον ριζα τ=1

GiwrgosK. · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Εστω f(x)= x^t f'(x)=t*x^(t-1) ΘΜΤ στο [2,3] f'(ξ1)=3^t-2^t => t*ξ1^(t-1)=3^t-2^t (1)
.... ... [4,5] => t*ξ2^(t-1)=5^t-4^t (2)

αρα η εξισωση μας ,, απο τις 1,2 ειναι ισοδυναμη με την t*ξ1^(t-1)=t*ξ2^(t-1) (με αλλη μεταβλητη χ<->t)

η οποια για t διαφορο του μηδενος (προφανης ριζα) δινει ξ1(τ-1)=ξ2(τ-1) , για ξ1 διαφορο του ξ2 εχουμε και μια επιπλεον ριζα τ=1

Σωστός

mary-blackrose · 31-03-12

στο φροντηστηριο που παω κανουμε μια πορετοιμασια απο τωρα για τους μιγαδικους στη γ λυκειου,θα ηθελα αν μπορουσε καποιος να με βοηθησει στην παρακατω ασκηση γιατι δεν μας εχει εξηγησει καποια πραγματα... και δεν μπορω να καταλαβω τι πρεπει να κανω στην ασκηση....
:hmm:

λοιπον η ασκηση εχει ως εξης:
αν για το μιγαδικο αριθμο z ισχυει / z - 4 - 3i / = 2 τοτε:
α)να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος της εικονας του z.
β)να βρειτε την ελαχιστη και τη μεγιστη τιμη του / z /.
γ)ποιος μιγαδικος αριθμος z εχει το ελαχιστο και ποιος το μεγιστο μετρο;
δ)Αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου να αποδειχθει οτι / z1 -z2 / _< (μικροτερο και ισο με ) 4
ε)αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου τετοιοι,ωστε / z1- z2 /= 4 να αποδειξετε οτι /z1 + z2 / = 10

rebel · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από diaryofdreams:
Να λυθει η εξισωση : 2^x-3^x=4^x-5^x

Άλλος τρόπος θεωρώντας την $f(t)=(t+1)^x-t^x, \,t \in [2,4]$ με Rolle στο $[2,4]$ και συνεχίζουμε όπως πριν.

gregory nub · 31-03-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
στο φροντηστηριο που παω κανουμε μια πορετοιμασια απο τωρα για τους μιγαδικους στη γ λυκειου,θα ηθελα αν μπορουσε καποιος να με βοηθησει στην παρακατω ασκηση γιατι δεν μας εχει εξηγησει καποια πραγματα... και δεν μπορω να καταλαβω τι πρεπει να κανω στην ασκηση....
λοιπον η ασκηση εχει ως εξης:
αν για το μιγαδικο αριθμο z ισχυει / z - 4 - 3i / = 2 τοτε:
α)να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος της εικονας του z.
β)να βρειτε την ελαχιστη και τη μεγιστη τιμη του / z /.
γ)ποιος μιγαδικος αριθμος z εχει το ελαχιστο και ποιος το μεγιστο μετρο;
δ)Αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου να αποδειχθει οτι / z1 -z2 / _< (μικροτερο και ισο με ) 4
ε)αν z1,z2 ειναι δυο μιγαδικοι του προηγουμενου γεωμετρικου τοπου τετοιοι,ωστε / z1- z2 /= 4 να αποδειξετε οτι /z1 + z2 / = 10

Απλά σκέψου πως είναι κύκλος με Κ(4,3) και ρ=2, τα υπόλοιπα τα βρίσκεις εύκολα με μαθ. κατ. της Β λυκείου

(και γεωμετρία)

stelios1994-4 · 01-04-12

Σήμερα το γράψαμε:
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται συνάρτηση $f:\left[0,1 \right]\rightarrow R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύουν:
$f\left(0 \right)+f\left(1 \right)=0$ , ${f}^{'}\left(\frac{1}{2} \right)=3$ και $2\leq {f}^{''}\left(x \right)\leq 4$ για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$
Να αποδείξετε ότι:
Δ1. $1\leq {f}^{'}\left(x \right)\leq 5$ για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$
Δ2. υπάρχει μοναδικό ${x}_{0}\in \left(0,1 \right)$ τέτοιο ώστε $f\left({x}_{0} \right)=0$
Δ3. υπάρχει $\xi \in \left(0,1 \right)$ τέτοιο ώστε, ${f}^{'}\left(\xi \right)=4\xi f\left(1 \right)$
Δ4. $3x-\frac{3}{2}+f\left(\frac{1}{2} \right)\leq f\left(x \right)\leq 3x-\frac{1}{2}$ για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$
Δ5. $f\left(\frac{1}{2} \right)\leq \int_{0}^{1}f\left(x \right)dx\leq 1$

Ε, λίγη βοήθεια για το δ1 και το δ4... δεν τα βγαλα

Ορίστε και το θέμα Γ, για εξάσκηση:
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε $\int_{3}^{x}\left(\int_{1}^{u}f\left(t \right)dt \right)du\geq 2x-6$ για κάθε $x\in R$ . Να δείξετε ότι:
$\alpha.$ $\int_{1}^{3}f\left(t \right)dt=2$
$\beta.$ Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο στημείο $A\left(0,f\left(0 \right) \right)$ είναι η ευθεία $4x+y-3=0$ να υπολογίσετε το $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\int_{0}^{x}{t}^{2}f\left(t \right)dt-{x}^{3}}{{x}^{4}}$
$\gamma.$ Αν για κάθε $x\geq 1$ ισχύει ${f}^{'}\left(x \right)>0$ και $h\left(x \right)=\int_{1}^{x}f\left(t \right)dt$ , να αποδείξετε ότι για κάθε $x>1$ ισχύει: ${h}^{'}\left(x \right)>\frac{h\left(x \right)}{x-1}$
Γ2. Έστω οι συναρτήσεις $f\left(x \right)={e}^{x}$ και $g\left(x \right)=-{x}^{2}$ . Να αποδείξετε ότι:
$\alpha.$ Υπάρχει ακριβώς μια ευθεία ε κοινή εφαπτομένη των ${C}_{f}$ και ${C}_{g}$ .
$\beta.$ η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ δύο σημείων των ${C}_{f}$ και ${C}_{g}$ έχει ελάχιστο.

rebel · 01-04-12

Για το Δ1, για $x=1/2$ η ανισότητα ισχύει από υπόθεση. Έστω $x \in \left(1/2,1 \right]$ . Τότε λόγω του Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει $\xi \in \left(1/2,x\right): \, f''(\xi)=\frac{f'(x)-f'(1/2)}{x-1/2}$ και από την δοσμένη ανισότητα έχουμε
$2 \leq f''(\xi) \leq 4 \Rightarrow 2 \leq \frac{f'(x)-f'(1/2)}{x-1/2} \leq 4 \Rightarrow 2(x-1/2)+3 \leq f'(x) \leq 4(x-1/2)+3$

Από την δεξιά ανισότητα παίρνουμε $f'(x) \leq 4(x-1/2)+3 \leq 4(1-1/2)+3=5$ και απο την δεξιά $1 = 2(0-1/2)+3=5 \leq 2(x-1/2)+3 \leq f'(x)$
Ίδια δουλειά για $x \in [0,1/2)$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος