Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mikri_tulubitsa · 07-01-12

Ευχαριστώ πολυ!!!!!!!!!!!!!!!

WoodyWoodperker · 08-01-12

Παιδες ,χρειαζομαι βοηθεια με μια ασκηση στα τελευταια 2 ερωτηματα.!Λοιπον δειτε καλυτερα:Εστω F συνεχης στο κλειστο διαστημα[α,β] και δυο φορες παραγωγισιμη στο (α,β),με F(a)=F(B)=0.Αν υπαρχει γ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε,F(γ)>ο,να αποδειχθει οτι:1)Υπαρχουν ξ1,ξ2 που ανηκουν στο (α,β),τετοια ωστε F'(ξ1)F'(ξ2)<ο.2)Νδο υπαρχει ξ που να ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε, F"(ξ)<0.3)Αν η F ειναι κυρτη στο [α,β],τοτε)νδο υπαρχει μοναδικο Χο που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε,F'(Xo)=0.)νδο F(x)<0 για καθε χ που ανηκει στο (α,β)
Οσο συντομοτερα τοσο το καλυτερο,γιατι με εχει ζαλισει η συγκεκριμενη!

g1wrg0s · 08-01-12

στο 3α) F κυρτη αρα F''(x)>0 για καθε χ ε [α,β], οποτεη F'(x)θα ειναι γν. μονοτονη σε αυτο το διαστημα.Κανε Θ.Bolgano στη F'(x) στο[ξ1,ξ2] και βγαζεις (με τη βοηθεια του πρωτου ερωτηματος ) οτι υπαρχει τουλ. ενα χο.Επειδη ομως η F'(x) ειναι γν.μονοτονη σε εκεινο το διαστημα θα ειναι μοναδικη.

Ή μπορεις να κανεις θ.Rolle στην F στο[α,β] και να δειξεις οτι υπαρχει τουλ. ενα χο και με τη μονοτονια της F'(x) οτι ειναι μοναδικη .

WoodyWoodperker · 08-01-12

Ναι ναι,τωρα την ειδα την λυση σου .Με Θ.Rolle πηγα εγω,μου ηρθε καλυτερα.!Για το 3β) τι λες?

g1wrg0s · 08-01-12

3β)

Τα μοναδικα δεδομενα που εχουμε για αυτο το ερωτημα ειναι F(a)=F(β)=0 , F''(x)>0 για καθε χ ε [α,β] (ολα τα αλλα ειναι για τα αλλα ερωτηματα)

1)Θ.Rolle στο [α,β] για την F και αποδεικνυεις οτι υπαρχει τουλ. ενα κ ε (α,β) τ.ω F'(κ)=0 και επειδη F' αυξουσα στο [α,β] ,τοτε το κ ειναι μοναδικη ριζα της F'(x)=0 στο [α,β] .

Για α <= χ <= κ <=> F'(α) <= F'(χ) <=F'( κ) <=> F'(x)<=0 για καθε χ ε [α,κ] ,οποτε F ειναι γν. φθινουσα στο [α,κ]
Επισης για α <= χ <= κ <=> F(a) >= F(x) >= F(k) <=> 0 >=F(x) αρα F(x) <= 0 για καθε [α,κ]. (1)

Για κ <= χ <= β <=> F'(κ) <= F'(χ) <=F'( β) <=> F'(x)>=0 για καθε χ ε [κ,β] ,οποτε F ειναι γν. αυξουσα στο [κ,β]
Επισης για κ<= χ <= β <=> F(κ) <= F(x) <= F(β) <=> F(x) <= 0 αρα F(x) <= 0 για καθε [κ,β]. (2)

Απο (1) και (2) προκυπτει οτι F(x) <= 0 για καθε χ ε [α,β] . Ομως οι μοναδικες ριζες της F(x)=0 στο [α,β] ειναι τα χ=α και χ=β , οποτε F(x) <0 για καθε χ ε (α,β) .

WoodyWoodperker · 08-01-12

Ευγε φιλε μου !Ευχαριστω για την πολυτιμη βοηθεια σου!

g1wrg0s · 8 Ιανουαρίου 2012

νδο $\int{x}^{n}* {e}^{x}dx=\int {lnt}^{n} dt$ χρησιμοποιωντας την αντικατασταση $t={e}^{x}$
Να υπολογισετε το $\int {lnt}^{n}dt$ παρατηρωντας οτι $({lnt})^{n}={(lnt)}^{n-1}*lnt$

Αν θελει καποιος ας κανει μια προσπαθεια .

WoodyWoodperker · 08-01-12

Ολοκληρωματα δεν ξερω καλα ακομη φιλε,για να το προσπαθησω ομως ειδα μια φοβερη ασκηση και θελω παλι βοηθεια(Εμα με αυτες που βρισκω)Λοιπον τσεκαρετε:Δινεται F(x)=2lnx-χ²+1,)να βρεις το οριο στο 0(+) και το οριο στο συν απειρο.)Δειξε οτι F(x)<=o για καθε χ>0.)Βρες τους θετικους α,β ωστε να ισχυει:4α²-4αβ+2β²-2lnβ-1=0
B)Αν η συναρτηση g ορισμενη στο (-π/2,π/2) και ισχυει g'(x)συνχ+g(x)ημχ=g(x)συνχ για καθε χ που ανηκει στο (-π/2,π/2) και g(o)=2012,Bρες την g.

Τα εχω αφησει αρκετα και εχω καποια προβληματα.

g1wrg0s · 08-01-12

1) Στο 0(+) κανει -οο .Το lnx οταν το χ τεινει στο 0(+) κανει -οο.
Οταν τεινει στο +οο ,κανε το εξης.Βγαλε κοινο παραγοντα το χ στο τετραγωνο .Επειτα υπολογισε το "προβληματικο" κλασμα με τη βοηθεια του θεωρηματος L' Hopital.

Στο αλλο ερωτημα μονοτονια και δες τι συμβαινει για χ>0 (το μεγιστο ειναι το μηδεν) .Πρεπει να φυγω !

styt_geia το διωρθωσα.Αν θες μου δινεις οποιαδηποτε βοηθεια.

WoodyWoodperker · 08-01-12

Βασικα παλι τα δυο επομενα ερωτηματα με δυσκολευουν γιωργο..Εχω κολλησει στα συγκεκριμενα

lowbaper92 · 8 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από WoodyWoodperker:
B)Αν η συναρτηση g ορισμενη στο (-π/2,π/2) και ισχυει g'(x)συνχ+g(x)ημχ=g(x)συνχ για καθε χ που ανηκει στο (-π/2,π/2) και g(o)=2012,Bρες την g.

Δες αυτή στα γρήγορα γιατί βιάζομαι :

$\forall\, x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right):\sigma \upsilon \nu x\neq 0$
Διαιρούμε τη δοθείσα σχέση με (συνx)^2

$\frac{g'\left(x \right)\sigma\upsilon \nu x-g\left(x \right) \left(\sigma \upsilon \nu x \right)'}{{\sigma \upsilon \nu }^{2}x}=\frac{g\left(x \right)}{\sigma \upsilon \nu x}\Leftrightarrow \left(\frac{g\left(x \right)}{\sigma \upsilon \nu x} \right)'=\frac{g\left(x \right)}{\sigma \upsilon \nu x}\Leftrightarrow \frac{g\left(x \right)}{\sigma \upsilon \nu x}=c\cdot {e}^{x}\Leftrightarrow g\left(x \right)=c\cdot \sigma \upsilon \nu x\cdot {e}^{x}$
Βρίσκεις και το c και είσαι έτοιμος.

Αρχική Δημοσίευση από WoodyWoodperker:
Δινεται F(x)=2lnx-χ²+1,)Βρες τους θετικους α,β ωστε να ισχυει:4α²-4αβ+2β²-2lnβ-1=0

Άντε προλαβαίνω κι αυτό το ερώτημα

Έχεις δείξει στο προηγούμενο ερώτημα ότι $F\left(x \right)\leq 0\; \forall\, x>0$
$F(1)=0$ (από το σύνολο τιμών, λογικά θα είναι και μοναδική)

Η δοθείσα σχέση γράφεται

$4{a}^{2}-4ab+{b}^{2}=2lnb-{b}^{2}+1\Leftrightarrow {\left(2a-b \right)}^{2}=F\left(b \right)$
Όμως

${\left(2a-b \right)}^{2}\geq 0\; \kappa \alpha \iota \; F\left(x \right)\leq 0$

Άρα για να ισχύει η ισότητα θα πρέπει και τα δύο μέλη να είναι μηδέν, άρα

$F\left(b \right)=0\Leftrightarrow b=1$
$2a-b=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$

edit: Ίσως να χάνει κάπου η λύση μου, την έλυσα πολύ βιαστικά. Μπορείς να δεις το σκεπτικό όμως.

turistas · 08-01-12

παιδια λιγη βοηθεια....
εστω συναρτηση f ορισμενη συνεχης και γνησιως φθινουσα στο [1,5] και f(3)=0.να δειξετε οτι η εξισωση f(2x+3)=x εχει μοναδικη ριζα
εστω συναρτησεις f,g:[0,1]->[0,1] συνεχεις στο [0,1]με fog=gof και φ γνησως φθινουσα στο [0,1.να δειξετε οτιυπαρχει μοναδικο ξε[0,1]ωστε f(ξ)=ξ και g(ξ)=ξ

rebel · 9 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από turistas:
παιδια λιγη βοηθεια....
εστω συναρτηση f ορισμενη συνεχης και γνησιως φθινουσα στο [1,5] και f(3)=0.να δειξετε οτι η εξισωση f(2x+3)=x εχει μοναδικη ριζα
εστω συναρτησεις f,g:[0,1]->[0,1] συνεχεις στο [0,1]με fog=gof και φ γνησως φθινουσα στο [0,1.να δειξετε οτιυπαρχει μοναδικο ξε[0,1]ωστε f(ξ)=ξ και g(ξ)=ξ

Για το πρώτο απλά όπου χ=0 στην δοθείσα και βγαίνει f(3)=0 που είναι αληθής. Έυκολα δείχνεται ότι η f(2x+3)-x είναι γνησίως φθίνουσα οπότε η εξίσωση f(2x+3)-x=0 έχει μοναδική λύση για χ=0.
Για το δεύτερο με επιφύλαξη...
Έστω $h(x)=f(x)-x$ . Τότε αφού $0\leq f(x) \leq 1$ είναι $h(0)h(1) \leq 0$ οπότε είτε $f(0)=0$ είτε $f(1)=1$ είτε $h(0)h(1) < 0$ οπότε από Θ. Bolzano υπάρχει $\xi \in (0,1):\,h(\xi)=0$ . Άρα τελικά υπάρχει $\xi \in [0,1]:\,h(\xi)=0 \Rightarrow f(\xi)=\xi\,\,(*)$ το οποίο, αφού η h είναι γνησίως φθίνουσα άρα 1-1, θα είναι και μοναδικό.
Από την δοθείσα σχέση για χ=ξ έχουμε $f(g(\xi))=g(f(\xi)) \Rightarrow f(g(\xi))=g(\xi)$ . Επειδή το ξ στην σχέση (*) είναι μοναδικό, έχουμε αναγκαστικά $g(\xi)=\xi$

WoodyWoodperker · 09-01-12

Παιδες κοιταξτε λιγο την ασκηση και βοηθηστε οσο γινεται--->
Εστω συναρτηση F

0,+απειρο)->R,με F(1)=0,F'(1)=1 ωστε να ισχυει:F(xy)<=xF(y)+yF(x).Δειξτε οτι:1)f(x)=χlnx,x>0,,,2)Mελετησε την F ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα και να βρεις επαφτομενη της Cf στο Α(1,0),3)H F ειναι κυρτη,,4)xlnx>x-1,για καθε χ>1
Τελος δειξε οτι :Αν χ2>χ1>0 τοτε:x1^x1 * x2^x2>(x1/2 +x2/2)^x1+x2

Eυχαριστω εκ των προτερων!

rebel · 10 Ιανουαρίου 2012

Μία προσπάθεια στο 1ο ερώτημα υποθέτοντας ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ>0 . Θέτοντας στην ανισότητα $x=x_0>0,\,y=h>0$ έχουμε
$f(x_0h) \leq hf(x_0)+x_0f(h) \Rightarrow \frac{f(x_0h)}{x_0h} \leq \frac{f(x_0)}{x_0}+\frac{f(h)}{h}\,\,(1)$ . Θέτουμε
$g(x)=\frac{f(x)}{x}$ οπότε
$(1)\Rightarrow g(x_0h)\leq g(x_0)+g(h)$ . Επομένως

Για $x>x_0$ είναι

$\lim_{x\to x_0^+}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\stackrel{x=x_0h,\,h>1}{=}\lim_{h\to 1^+}\frac{g(x_0h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \leq \lim_{h\to1^+}\frac{g(x_0)+g(h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \Rightarrow \\ g'(x_0) \leq \frac{g'(1)}{x_0}=\frac{1}{x_0}$

Για $x<x_0$ είναι

$\lim_{x\to x_0^-}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\stackrel{x=x_0h,\,h<1}{=}\lim_{h\to 1^-}\frac{g(x_0h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \geq \lim_{h\to1^-}\frac{g(x_0)+g(h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \Rightarrow \\ g'(x_0) \geq \frac{g'(1)}{x_0}=\frac{1}{x_0}$

Άρα $g'(x)=\frac{1}{x}\,\,\forall x>0 \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x}=\ln x +c \stackrel{c=0}{\Leftrightarrow}\boxed{f(x)=x \ln x,\,x>0}$

mpko · 10-01-12

Στο τελευταίο ερώτημα μήπως η τελευταία ύψωση δύναμης έχει παρένθεση? Δηλαδή ..<(χ1/2+χ2/2)^(χ1+χ2)

rebel · 10-01-12

Αρχική Δημοσίευση από mpko:
Στο τελευταίο ερώτημα μήπως η τελευταία ύψωση δύναμης έχει παρένθεση? Δηλαδή ..<(χ1/2+χ2/2)^(χ1+χ2)

Είμαι σχεδόν σίγουρος πως έχει.

mpko · 10-01-12

Αρχική Δημοσίευση από WoodyWoodperker:
Παιδες κοιταξτε λιγο την ασκηση και βοηθηστε οσο γινεται--->
Εστω συναρτηση F0,+απειρο)->R,με F(1)=0,F'(1)=1 ωστε να ισχυει:F(xy)<=xF(y)+yF(x).Δειξτε οτι:1)f(x)=χlnx,x>0,,,2)Mελετησε την F ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα και να βρεις επαφτομενη της Cf στο Α(1,0),3)H F ειναι κυρτη,,4)xlnx>x-1,για καθε χ>1
Τελος δειξε οτι :Αν χ2>χ1>0 τοτε:x1^x1 * x2^x2>(x1/2 +x2/2)^x1+x2

Eυχαριστω εκ των προτερων!

Για το 2ο ερώτημα.
f παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων
f '(x)=lnx +1
f'(x)>0 <=> lnx+1>0 <=> lnx>-1 <=> lnx>-lne <=> lnx>ln(1/e) <=> x>1/e
f'(x)<0 <=> .... .... <=> x<1/e
f''(x)=0 <=> ... ... <=> x=1/e
Άρα f γν. αύξουσα στο [1/e,+ άπειρο ) και γν. φθίνουσα στο (0,1/e]
επομένως η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0=1/e το f(1/e)=-1/e

A(1,f(1))
(ε) : y - f(1)=f'(1)(x -1) <=> y=x - 1

3o ερώτημα.
f' παραγωγίσιμη
f''(x)=1/x
x>0 <=> 1/x>0 <=> f''(x)>0 επομένως f κυρτή

4ο ερώτημα.
xlnx>x-1 <=> xlnx - x +1>0 <=> f(x) - x - 1>0
Έστω h(x)=f(x) - x + 1, x>0
h παραγωγίσιμη
h'(x)=f'(x)-1=lnx+1-1=lnx
h'(x)>0 <=> x>1 άρα h γν αύξουσα στο [1,+ άπειρο)
h'(x)<0 <=> x<1 άρα h γν. φθίνουσα στο (0,1]
και h παρουσιάζει ελάχιστο στο x1=1 το h(1)=f(1) - 1 + 1=0
για x>1 <=> h(x)>h(1) (h αύξουσα) <=> h(x)>0 <=> f(x) - x + 1>0 <=> xlnx > x - 1

Για το τελευταίο ερώτημα αν ισχύει αυτό που σε ρώτησα ίσως κάτι να γίνεται.

rebel · 10-01-12

Για το 5ο η σχέση που πρέπει να αποδειχθεί γίνεται
$x_1^{x_1}x_2^{x_2}>\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^{x_1+x_2} \Leftrightarrow x_1\ln x_1 + x_2 \ln x_2 > (x_1+x_2)\ln \frac{x_1+x_2}{2} \Leftrightarrow \frac{ x_1\ln x_1 + x_2 \ln x_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}\ln \frac{x_1+x_2}{2}\Leftrightarrow \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2} \right)$
H τελευταία ανισότητα έπεται από την κυρτότητα της f που έχει ήδη αποδειχθεί. Είναι γνωστή άσκηση αλλά αν θες την βλέπουμε αναλυτικά.

WoodyWoodperker · 10 Ιανουαρίου 2012

Εχω μπερδευτει ασχημα στο 1ο ερωτημα,μηπως υπαρχει αλλος τροπος?Επιπλεον μηπως Εφαρμοζεται ο Fermat?Και ναι αν θες μπορεις να μου το εξηγησεις το 5ο λιγο καλυτερα?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος