Φθίνουσες ταλαντώσεις - γίνεται ποτέ το πλάτος μιας να είναι ίσο με το μηδέν;

[soleilst]

Γινεται ποτε το πλατος μιας φθινουσας ταλαντωσης να ειναι ισο με το μηδεν? Γνωριζω πως το πλατος μιας φθινουσας ταλαντωσης μειωνεται εκθετικα με το χρονο και πως το πηλικο δυο διαδοχικων μεγιστων απομακρυσεων ειναι σταθερο, αλλα αν καποια στιγμη το πλατος μηδενιζεται τοτε δεν θα επρεπε να μηδενιζεται και το κλασμα και εν τελη να καταληξουμε πως ολα αυτα τα πηλικα ειναι ισα με το μηδεν? αυτο ειναι που κανει αυτη τη σχεση σταθερη? ή μηπως το πλατος μιας φθινουσας ταλαντωσης δεν μηδενιζεται πραγματικα ποτε και αντιθετα τινει προς το μηδεν? δεν ξερω, εχω μπερδευτει.

 

[Than003]

Τείνει στο 0, δεν μηδενίζεται όμως ποτέ. Αυτό ισχύει για φθίνουσες, στις οποίες η δύναμη απόσβεσης είναι της μορφής F=-bu (δηλαδή αυτές που μελετά το σχολικό).

 

[soleilst]

Τείνει στο 0, δεν μηδενίζεται όμως ποτέ. Αυτό ισχύει για φθίνουσες, στις οποίες η δύναμη απόσβεσης είναι της μορφής F=-bu (δηλαδή αυτές που μελετά το σχολικό).

ευχαριστω πολυ

 

[Cade]

Πρακτικά μετά από κάποιες ταλαντώσεις μηδενίζεται, θεωρητικά έχει οριζόντια ασύμπτωτη

 

[soleilst]

Πρακτικά μετά από κάποιες ταλαντώσεις μηδενίζεται, θεωρητικά έχει οριζόντια ασύμπτωτη

τοτε γιατι το πηλικο δυο διαδοχικων μεγιστων απομακρυσεων παραμενει σταθερο? Αν Αο/Α1=Α1/Α2=....0 δεν θα επρεπε ολοι αυτοι οι λογοι των πλατων να θεωρουνται εξ'αρχης ισοι με το μηδεν? Για ευκολια κατανοησης του φαινουμενου δεν συναδει το πρακτικο με το θεωρητικο?

 

[Samael]

Μαθηματικά το πλάτος ποτέ δεν γίνεται μηδέν. Μόνο τείνει στο μηδέν, για να στέκουν οι τύποι και να βγαίνουν τα μαθηματικά σωστά. Το τείνει στο μηδέν σημαίνει οτι εαν περιμένεις να περάσουν αρκετές περιόδοι, το πλάτος της ταλάντωσης θα γίνει οσοδήποτε μικρό το θες, αλλά όχι μηδέν. Οπότε ο τύπος που λες ισχύει έχοντας αυτό υπόψιν. Εαν θεωρήσεις οτι κάποια στιγμή το πλάτος γίνεται μαθηματικά ίσο με το μηδέν, τότε δεν ισχύει η εκθετική ελάττωση του και επομένως ούτε η σχέση που αναφέρεις. Οπότε δεν πέφτεις και στο παράδοξο/αντίφαση που λες.

Το οτι το πλάτος γίνεται πρακτικά μηδέν δεν σημαίνει οτι γίνεται μαθηματικά μηδέν λοιπόν. Απλώς γίνεται αρκετά μικρό για να μην ενδιαφέρει τον φυσικό ή γενικά να μην είναι σημαντικό σε σχέση με το αρχικό πλάτος.

Ο σταθερός λόγος των διαδοχικών πλάτων που αναφέρεις τώρα, πηγάζει από το γεγονός ότι το σύστημα χάνει μια ποσότητα ενέργειας σε κάθε περίοδο που εξαρτάται απο το αρχικό πλάτος και το πόσο ισχυρή είναι η απόσβεση λόγω τριβών(ή άλλων μηχανισμών απώλειών).

Σκέψου οτι την t = 0s ξεκινάς με πλάτος Αο. Μετά απο μια περίοδο(t1 = T) το πλάτος έχει γίνει :
A(t1) = Αο*e^(-γT)

Οπότε έχει μικρύνει κατά έναν παράγοντα :
e^(-γT)

Την t2 = 2T, το πλάτος θα έχει γίνει :
A(t2) = Ao*e^(-γt2) = Αο*e^(-2γΤ) = Αο*e^(-γT)e^(-γT)

Πρόσεξε οτι αυτό είναι ισοδύναμο με το να θεωρούσες οτι την to = 0s ξεκίναγες με αρχικό πλάτος :
Ao' = Αο*e^(-γT)

και έχει περάσει χρόνος μιας περιόδου, δηλαδή την t1 = T :
A(T) = Αο*e^(-γT)*e^(-γT)

Αν το δεις ενεργειακά και πας να υπολογίσεις την μεταβολή ενέργεια στην διάρκεια της πρώτης περιδόου:
ΔΕο = Ε(T) - E(0) = 0.5*D*A²(T) - 0.5*D*A²(0) = 0.5*D*Αο²*[e^(-2γT) - 1] = Εο*[e^(-2γT) - 1]

ΣΤην επόμενη(δεύτερη) περίοδο θα έχεις μεταβολή ενέργειας :

ΔΕ1 = Ε(2T) - E(T) =
0.5*D*A²(2T) - 0.5*D*A²(T) =
0.5*D*Αο²*[e^(-4γT) - e^(-2γT)] =
0.5*D*Ao²*e^(-2γT)*[e^(-2γT) - 1] =
0.5*D*A²(T)*[e^(-2γT) - 1] =
Ε(T)*[e^(-2γT) - 1]

Στην τρίτη περίοδο θα είχες αναλογικά :
ΔΕ2 =0.5*D*A²(2T)*[e^(-2γT) - 1] = E(2T)*[e^(-2γT) - 1]

κ.ο.κ

Οπότε, να που η απώλεια ενέργειας σε κάθε περίοδο εξαρτάται απο το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης στην αρχή της περιόδου. Επίσης εξαρτάται και απο την περίοδο της ταλάντωσης Τ(που θεωρείς οτι είναι κατά προσέγγιση ανεξάρτητη απο το πλάτος της ταλάντωσης), που μαζί με το γ(που εκφράζει τις απώλειες) ελέγχουν το κλάσμα μόνο, της αρχικής ενέργειας κάθε περιόδου που χάνεται. Και επειδή το αρχικό πλάτος της κάθε νέας περιόδου εξαρτάται απο το πλάτος και τις απώλειες της προηγούμενης, φτάνεις στον αναδρομικό τύπο που έγραψες.

Διαισθητικά τι σημαίνει αυτό όμως ; Σημαίνει οτι ξεκινάς απο ένα αρχικό και "μεγάλο" πλάτος, και χάνεις ένα ορισμένο κλάσμα της ενέργειας που θα αντιστοιχούσε σε απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος αυτό στην αρχή της πρώτης περιόδου. Στην επόμενη περίοδο χάνεις πάλι το ίδιο κλάσμα της ενέργειας που θα αντιστοιχούσε σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος όμως το νέο μειωμένο πλάτος εξαιτίας των απωλειών της πρώτης περιόδου.

Αφού λοιπόν σε κάθε περίοδο χάνεις ένα κλάσμα της αρχικής ενέργειας του τύπου 1/k, το πλάτος δεν μπορεί ποτέ να γίνει μηδέν. Είναι σαν να πάρεις την μονάδα και να διαιρείς συνέχεια με k, και για αυτό τον λόγο μαθηματικά το πλάτος δεν γίνεται ποτέ μηδέν. Γιατί πάντα παραμένει ένα ποσοστό της αρχικής ενέργειας σε αυτό, το οποίο όμως ολοένα και μειώνεται. Όμως, μετα απο αρκετές περιόδους, η ενέργεια που έχει μείνει στο σύστημα είναι τόσο μικρή που ουσιαστικά έχει μεταφερθεί σχεδόν όλη στο περιβάλλον.

Δες το αριθμητικά κιόλας. Εαν το σύστημα ξεκινάει με 1J ενέργεια και στο σύστημα μετά απο κάποιες περιόδους έχει μείνει 1mJ, και σε ρωτήσουν πόση ενέργεια έχει μεταφερθεί στο περιβάλλον, ε η απάντηση είναι σχεδόν όλη η αρχική ενέργεια του συστήματος. Αυτό σημαίνει το πρακτικά μηδέν. Είναι απλά μια προσέγγιση, στην πραγματικότητα ξέρουμε οτι υπάρχει λίγη ακόμα ενέργεια στο σύστημα, αλλά είναι πάρα πολύ μικρή σε σχέση με την αρχική για να έχει κάποια σπουδαιότητα. Εαν όμως κάποιος σε ρώταγε τι ενέργεια έχει απομείνει στο σύστημα, αυτό το 1mJ θα μπορούσε να ήταν σημαντικό. Το πρακτικά μηδέν είναι μια συμφωνία δηλαδή, δεν έχει μαθηματική αυστηρότητα. Κάποιος θα μπορούσε να σου πει οτι για εμένα πρακτικά μηδέν σημαίνει το 1μJ ή το 1nJ. Καθορίζεται απο το τι θεωρούμε εμείς σημαντικό, ανάλογα με το τι ψάχνουμε ή τι ζητάμε να υπολογίσουμε, ώστε να κάνουμε απλοποιητικές παραδοχές.

 

[Kate1914]

τοτε γιατι το πηλικο δυο διαδοχικων μεγιστων απομακρυσεων παραμενει σταθερο? Αν Αο/Α1=Α1/Α2=....0 δεν θα επρεπε ολοι αυτοι οι λογοι των πλατων να θεωρουνται εξ'αρχης ισοι με το μηδεν? Για ευκολια κατανοησης του φαινουμενου δεν συναδει το πρακτικο με το θεωρητικο?

Αρχικά, το κλάσμα σου δε γίνεται να μηδενιστεί. Έστω ότι έχεις το τελευταίο σου κλάσμα Αn-1/An, με An=0 (έστω δηλαδή ότι τελικά το πλάτος μηδενίστηκε εντελώς). Αυτό δε σου βγαίνει όμως μηδέν, αλλά απροσδιοριστία. Είναι αυτό που σε είπε ο Σάμαελ. Όσο και να ελαττωθεί το πλάτος, μηδέν δε θα γίνει ποτέ, γιατί αλλιώς δε στέκουν τα μαθηματικά.

Όσον αφορά το τελευταίο που είπες, η αλήθεια είναι ότι πάρα πολλά πρακτικά πράγματα δεν τα εφαρμόζετε στην φυσική του σχολείου, και ότι εστιάζετε μόνο στο θεωρητικό κομμάτι. Και αυτό είναι καλό, γιατί διαφορετικά ίσως πιο πολύ να μπερδευόσασταν παρά να τα κατανοούσατε.

Πάντως μην το πολυσκέφτεσαι, δε χρειάζεται να το αναλύεις τόσο. Οι φθίνουσες είναι από τα πιο απλά κεφάλαια αν θυμάμαι καλά, και δεν πρόκειται να σας βάλουν κάτι δύσκολο ή ψαγμένο στις εξετάσεις. Καλά έκανες και έθεσες τον προβληματισμό σου, αλλά στην παρούσα φάση δε θα είναι κάτι που θα σου χρειαστεί και πολύ νομίζω.

 

[soleilst]

Μαθηματικά το πλάτος ποτέ δεν γίνεται μηδέν. Μόνο τείνει στο μηδέν, για να στέκουν οι τύποι και να βγαίνουν τα μαθηματικά σωστά. Το τείνει στο μηδέν σημαίνει οτι εαν περιμένεις να περάσουν αρκετές περιόδοι, το πλάτος της ταλάντωσης θα γίνει οσοδήποτε μικρό το θες, αλλά όχι μηδέν. Οπότε ο τύπος που λες ισχύει έχοντας αυτό υπόψιν. Εαν θεωρήσεις οτι κάποια στιγμή το πλάτος γίνεται μαθηματικά ίσο με το μηδέν, τότε δεν ισχύει η εκθετική ελάττωση του και επομένως ούτε η σχέση που αναφέρεις. Οπότε δεν πέφτεις και στο παράδοξο/αντίφαση που λες.

Το οτι το πλάτος γίνεται πρακτικά μηδέν δεν σημαίνει οτι γίνεται μαθηματικά μηδέν λοιπόν. Απλώς γίνεται αρκετά μικρό για να μην ενδιαφέρει τον φυσικό ή γενικά να μην είναι σημαντικό σε σχέση με το αρχικό πλάτος.

Ο σταθερός λόγος των διαδοχικών πλάτων που αναφέρεις τώρα, πηγάζει από το γεγονός ότι το σύστημα χάνει μια ποσότητα ενέργειας σε κάθε περίοδο που εξαρτάται απο το αρχικό πλάτος και το πόσο ισχυρή είναι η απόσβεση λόγω τριβών(ή άλλων μηχανισμών απώλειών).

Σκέψου οτι την t = 0s ξεκινάς με πλάτος Αο. Μετά απο μια περίοδο(t1 = T) το πλάτος έχει γίνει :
A(t1) = Αο*e^(-γT)

Οπότε έχει μικρύνει κατά έναν παράγοντα :
e^(-γT)

Την t2 = 2T, το πλάτος θα έχει γίνει :
A(t2) = Ao*e^(-γt2) = Αο*e^(-2γΤ) = Αο*e^(-γT)e^(-γT)

Πρόσεξε οτι αυτό είναι ισοδύναμο με το να θεωρούσες οτι την to = 0s ξεκίναγες με αρχικό πλάτος :
Ao' = Αο*e^(-γT)

και έχει περάσει χρόνος μιας περιόδου, δηλαδή την t1 = T :
A(T) = Αο*e^(-γT)*e^(-γT)

Αν το δεις ενεργειακά και πας να υπολογίσεις την μεταβολή ενέργεια στην διάρκεια της πρώτης περιδόου:
ΔΕο = Ε(T) - E(0) = 0.5*D*A²(T) - 0.5*D*A²(0) = 0.5*D*Αο²*[e^(-2γT) - 1] = Εο*[e^(-2γT) - 1]

ΣΤην επόμενη(δεύτερη) περίοδο θα έχεις μεταβολή ενέργειας :

ΔΕ1 = Ε(2T) - E(T) =
0.5*D*A²(2T) - 0.5*D*A²(T) =
0.5*D*Αο²*[e^(-4γT) - e^(-2γT)] =
0.5*D*Ao²*e^(-2γT)*[e^(-2γT) - 1] =
0.5*D*A²(T)*[e^(-2γT) - 1] =
Ε(T)*[e^(-2γT) - 1]

Στην τρίτη περίοδο θα είχες αναλογικά :
ΔΕ2 =0.5*D*A²(2T)*[e^(-2γT) - 1] = E(2T)*[e^(-2γT) - 1]

κ.ο.κ

Οπότε, να που η απώλεια ενέργειας σε κάθε περίοδο εξαρτάται απο το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης στην αρχή της περιόδου. Επίσης εξαρτάται και απο την περίοδο της ταλάντωσης Τ(που θεωρείς οτι είναι κατά προσέγγιση ανεξάρτητη απο το πλάτος της ταλάντωσης), που μαζί με το γ(που εκφράζει τις απώλειες) ελέγχουν το κλάσμα μόνο, της αρχικής ενέργειας κάθε περιόδου που χάνεται. Και επειδή το αρχικό πλάτος της κάθε νέας περιόδου εξαρτάται απο το πλάτος και τις απώλειες της προηγούμενης, φτάνεις στον αναδρομικό τύπο που έγραψες.

Διαισθητικά τι σημαίνει αυτό όμως ; Σημαίνει οτι ξεκινάς απο ένα αρχικό και "μεγάλο" πλάτος, και χάνεις ένα ορισμένο κλάσμα της ενέργειας που θα αντιστοιχούσε σε απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος αυτό στην αρχή της πρώτης περιόδου. Στην επόμενη περίοδο χάνεις πάλι το ίδιο κλάσμα της ενέργειας που θα αντιστοιχούσε σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος όμως το νέο μειωμένο πλάτος εξαιτίας των απωλειών της πρώτης περιόδου.

Αφού λοιπόν σε κάθε περίοδο χάνεις ένα κλάσμα της αρχικής ενέργειας του τύπου 1/k, το πλάτος δεν μπορεί ποτέ να γίνει μηδέν. Είναι σαν να πάρεις την μονάδα και να διαιρείς συνέχεια με k, και για αυτό τον λόγο μαθηματικά το πλάτος δεν γίνεται ποτέ μηδέν. Γιατί πάντα παραμένει ένα ποσοστό της αρχικής ενέργειας σε αυτό, το οποίο όμως ολοένα και μειώνεται. Όμως, μετα απο αρκετές περιόδους, η ενέργεια που έχει μείνει στο σύστημα είναι τόσο μικρή που ουσιαστικά έχει μεταφερθεί σχεδόν όλη στο περιβάλλον.

Δες το αριθμητικά κιόλας. Εαν το σύστημα ξεκινάει με 1J ενέργεια και στο σύστημα μετά απο κάποιες περιόδους έχει μείνει 1mJ, και σε ρωτήσουν πόση ενέργεια έχει μεταφερθεί στο περιβάλλον, ε η απάντηση είναι σχεδόν όλη η αρχική ενέργεια του συστήματος. Αυτό σημαίνει το πρακτικά μηδέν. Είναι απλά μια προσέγγιση, στην πραγματικότητα ξέρουμε οτι υπάρχει λίγη ακόμα ενέργεια στο σύστημα, αλλά είναι πάρα πολύ μικρή σε σχέση με την αρχική για να έχει κάποια σπουδαιότητα. Εαν όμως κάποιος σε ρώταγε τι ενέργεια έχει απομείνει στο σύστημα, αυτό το 1mJ θα μπορούσε να ήταν σημαντικό. Το πρακτικά μηδέν είναι μια συμφωνία δηλαδή, δεν έχει μαθηματική αυστηρότητα. Κάποιος θα μπορούσε να σου πει οτι για εμένα πρακτικά μηδέν σημαίνει το 1μJ ή το 1nJ. Καθορίζεται απο το τι θεωρούμε εμείς σημαντικό, ανάλογα με το τι ψάχνουμε ή τι ζητάμε να υπολογίσουμε, ώστε να κάνουμε απλοποιητικές παραδοχές.

ευχαριστω πολυ, το εξηγησες πολυ ωραια

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 9 Ιουνίου 2024

Αρχικά, το κλάσμα σου δε γίνεται να μηδενιστεί. Έστω ότι έχεις το τελευταίο σου κλάσμα Αn-1/An, με An=0 (έστω δηλαδή ότι τελικά το πλάτος μηδενίστηκε εντελώς). Αυτό δε σου βγαίνει όμως μηδέν, αλλά απροσδιοριστία. Είναι αυτό που σε είπε ο Σάμαελ. Όσο και να ελαττωθεί το πλάτος, μηδέν δε θα γίνει ποτέ, γιατί αλλιώς δε στέκουν τα μαθηματικά.

Όσον αφορά το τελευταίο που είπες, η αλήθεια είναι ότι πάρα πολλά πρακτικά πράγματα δεν τα εφαρμόζετε στην φυσική του σχολείου, και ότι εστιάζετε μόνο στο θεωρητικό κομμάτι. Και αυτό είναι καλό, γιατί διαφορετικά ίσως πιο πολύ να μπερδευόσασταν παρά να τα κατανοούσατε.

Πάντως μην το πολυσκέφτεσαι, δε χρειάζεται να το αναλύεις τόσο. Οι φθίνουσες είναι από τα πιο απλά κεφάλαια αν θυμάμαι καλά, και δεν πρόκειται να σας βάλουν κάτι δύσκολο ή ψαγμένο στις εξετάσεις. Καλά έκανες και έθεσες τον προβληματισμό σου, αλλά στην παρούσα φάση δε θα είναι κάτι που θα σου χρειαστεί και πολύ νομίζω.

ευχαριστω πολυ. ειλικρινα, δεν ειναι η πρωτη φορα που κολλαω σε τετοιες μικρες λεπτομερειες στη φυσικη που απλα παραλειπονται για ευκολια στη χρηση και στην κατανοηση τους. ειδικα τωρα με την τελικη επαναληψη για τις πανελληνιες.