Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[arko]

Spoiler: ΥΠΟΔΕΙΞΗ

Ολοκλήρωμα 01 (f(x)-αx)^2

 

[Cade]

τελευταία

Δίνεται συνάρτηση f: [0,1] -> R παραγωγίσιμη, τέτοια, ώστε ∀xε[0,1] να ισχύει :

.

Να βρεθούν οι τιμές f(0), f(1) και ο τύπος της f

 

[arko]

τελευταία

Δίνεται συνάρτηση f: [0,1] -> R παραγωγίσιμη, τέτοια, ώστε ∀xε[0,1] να ισχύει :

View attachment 114517.

Να βρεθούν οι τιμές f(0), f(1) και ο τύπος της f

Πολύ πρωτότυπη άσκηση, από πού την πήρες?

Spoiler: Τιμές

ΘΜΤ [0,1]

Spoiler: Τύπος

ΘΜΤ [0,χ], [χ,1]

 

[Guest 749981]

Για μια δις παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [0,1] -> ℝ ισχύει f(xy) = f(x) + f(y). Νδο η f"(x) = 0 έχει ρίζα στο [0,1].


Για μια συνεχή συνάρτηση f: ℝ -> ℝ ισχύει f(x+y) = f(x) + f(y) αν και μόνο αν f(nx) = nf(x), όπου n∈ℝ* και x∈ℝ. Σωστό ή λάθος;

 

[Panzerkampfwagen]

Για μια δις παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [0,1] -> ℝ ισχύει f(xy) = f(x) + f(y). Νδο η f"(x) = 0 έχει ρίζα στο [0,1].


Για μια συνεχή συνάρτηση f: ℝ -> ℝ ισχύει f(x+y) = f(x) + f(y) αν και μόνο αν f(nx) = nf(x), όπου n∈ℝ* και x∈ℝ. Σωστό ή λάθος;

Μαλακία άσκηση για λυκειακά πλαίσια γιατί είναι εκτός τόπου και χρόνου.

Για ποιόν λόγο να μπλέξεις Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy στο 18χρονο με την απόδειξη ότι είναι Q-γραμμική;

Λύση ενδεικτικά:

και η αντίστροφη

Τώρα για το πρώτο, πάλι από συναρτησιακή ανάλυση θέτεις g(x) = f(e^x) και τότε

Απλά ειλικρινά για ποιόν λόγο ένας μαθητής γ λυκ να ξέρει τέτοιες πολύ συγκεκριμένες και σύνθετες παπαρολογίες; Σκέψου εγώ έχω κάνει και συναρτησιακή ανάλυση και πάλι έπρεπε να ψάξω να τα βρω.

 

[Guest 749981]

Μαλακία άσκηση για λυκειακά πλαίσια γιατί είναι εκτός τόπου και χρόνου.

Για ποιόν λόγο να μπλέξεις Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy στο 18χρονο με την απόδειξη ότι είναι Q-γραμμική;

Λύση ενδεικτικά:

και η αντίστροφη

Τώρα για το πρώτο, πάλι από συναρτησιακή ανάλυση θέτεις g(x) = f(e^x) και τότε

Απλά ειλικρινά για ποιόν λόγο ένας μαθητής γ λυκ να ξέρει τέτοιες πολύ συγκεκριμένες και σύνθετες παπαρολογίες; Σκέψου εγώ έχω κάνει και συναρτησιακή ανάλυση και πάλι έπρεπε να ψάξω να τα βρω.

Την πρώτη την έβγαλα με γ' λυκείου, για την δεύτερη δεν ξέρω

 

[IceCream05]

 

[Cade]

Α. Προκύπτει άμεσα από θ.Fermat.
Β. ΘΜΤ.
Γ. Θέτουμε x = f(u) στο πρώτο μέλος της ισότητας κ με πράξεις καταλήγουμε στην αρχική ανισότητα του ξ
Δ. Ολοκληρώνοντας κατά παραγοντες παίρνουμε ότι f'(1)=f(1)-f(0) οπότε με διαδοχική εφαρμογη του ΘΜΤ υπάρχει ξε(0,1) : f'(ξ) = f(1)-f(0) και
ρε(ξ,1) : f"(ρ) = f'(1)-f'(ξ)/(1-ξ) απ' όπου λαμβάνουμε
f"(ρ)=0

 

[eukleidhs1821]

ωραιο ερωτηματακι για το πρωτο για δ1.δεν εχουν βαλει ποτε να υπολογισεις ορισμενο ολοκληρωμα μεσω fermat και ειναι ενδιαφερον οτι το lnx το βγαζεις εξω ως σταθερα.

 

[eukleidhs1821]

Μαλακία άσκηση για λυκειακά πλαίσια γιατί είναι εκτός τόπου και χρόνου.

Για ποιόν λόγο να μπλέξεις Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy στο 18χρονο με την απόδειξη ότι είναι Q-γραμμική;

Λύση ενδεικτικά:

και η αντίστροφη

Τώρα για το πρώτο, πάλι από συναρτησιακή ανάλυση θέτεις g(x) = f(e^x) και τότε

Απλά ειλικρινά για ποιόν λόγο ένας μαθητής γ λυκ να ξέρει τέτοιες πολύ συγκεκριμένες και σύνθετες παπαρολογίες; Σκέψου εγώ έχω κάνει και συναρτησιακή ανάλυση και πάλι έπρεπε να ψάξω να τα βρω.

οτι να ναι γενικως!Βαριεμαι και να κατσω να ασχοληθω να λυσω τετοιες ασκησεις.

 

[Panzerkampfwagen]

οτι να ναι γενικως!Βαριεμαι και να κατσω να ασχοληθω να λυσω τετοιες ασκησεις.

Τα μαθηματικά λυκείου είναι μακραν το πιο τοξικό μάθημα γιατί οποιοσδήποτε παίρνει ασκήσεις πανεπιστημιακού επιπέδου, τις γαμάει τη μάνα για να τις βγάλει με εργαλεία Γ' Λυκείου και τις λέει "Επαναληπτικές".

Τέτοιες έβρισκα και εγώ και έκλαιγα όταν έδινα γιατί αντικειμενικά δεν λύνονται.

 

[eukleidhs1821]

Τα μαθηματικά λυκείου είναι μακραν το πιο τοξικό μάθημα γιατί οποιοσδήποτε παίρνει ασκήσεις πανεπιστημιακού επιπέδου, τις γαμάει τη μάνα για να τις βγάλει με εργαλεία Γ' Λυκείου και τις λέει "Επαναληπτικές".

Τέτοιες έβρισκα και εγώ και έκλαιγα όταν έδινα γιατί αντικειμενικά δεν λύνονται.

μα δεν υπαρχει περιπτωση να βαλουν ποτε τετοια ερωτηματα.το θεμα ειναι λυνουν υποψηφιοι θεματα οπως αυτο με το fermat κτλπ.αυτα ειναι επικινδυνα για εξετασεις

 

[Panzerkampfwagen]

μα δεν υπαρχει περιπτωση να βαλουν ποτε τετοια ερωτηματα.το θεμα ειναι λυνουν υποψηφιοι θεματα οπως αυτο με το fermat κτλπ.αυτα ειναι επικινδυνα για εξετασεις

Συμφωνώ απόλυτα.

 

[Cade]

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f: [0,1] -> R με f(0)=0.

Αν η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι :

 

[Cade]

Λύση :

επειδή η f είναι κυρτή, από ΘΜΤ στα διαστήματα

θα υπάρχουν m, n τέτοια ώστε :

(ισότητα μόνο για x=0 και x=1)

Οπότε αν θέσουμε προκύπτει το ζητούμενο

 

[eukleidhs1821]

Λύση :

επειδή η f είναι κυρτή, από ΘΜΤ στα διαστήματα

View attachment 114708

θα υπάρχουν m, n τέτοια ώστε :
View attachment 114710
(ισότητα μόνο για x=0 και x=1)

Οπότε αν θέσουμε προκύπτει το ζητούμενο

παρα πολυ εξυπνη ασκηση.συγχαρητηρια.βεβαια θεωρω οτι χ^2<χ στο (0,1) θελει μια γρηγορη αποδειξη

 

[hl_amhxanos]

Διαγώνισμα Μαθηματικών προσανατολισμού Γ’ Λυκείου!

Ένα ακόμη διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ’ Λυκείου εφ’όλης της ύλης από τον εξαίρετο συνάδελφο Θοδωρή Παγώνη: Διαγώνισμα-Γ-Λυκ-Κατ-28-04-2023Download Καλό Μήνα σε όλους!…

liveyourmaths.com

Καλή διασκέδαση

 

[Cade]

Δ2. Η g είναι συνεχής στο R ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων οπότε αρκεί νδο

Είναι

οπότε αν θεωρήσουμε συνάρτηση

από τη σχέση που δίνεται, άρα h(x) = c1, ∀xεR.

Για x=0 : c1=0 => h(x) = 0 άρα g(x) = c2 => c2 = 1 απ' όπου έπεται ο τύπος της f

 

[eukleidhs1821]

το τεταρτο θεμα θα το περιμενα πολυ πιο δυσκολο.οκ το πρωτο ερωτημα πρεπει να ξερεις την ανισοτητα με το απολυτο ημιτονο χ αλλα οι καλοι μαθητες το γνωριζουν.το δευτερο ερωτημα ειναι ολο πραξεις.το δ3 με το μεγιστο α πολυ πολυ προφανες ενω το τελευταιο ερωτημα παλι προφανες αν εκμεταλλευτεις το ελαχιστο ενω και την κυρτοτητα που σου χει βαλει να τη βρεις επρεπε να υπαρχει καποιο ερωτημα να την αξιοποιησεις.ψιλοπροχειρο θεμα