Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

coheNakatos · 27-03-10

Για το Rolle μου χρησιμοποιω και την τιμη του ορισμενου απο α->β που βρηκα απο πανω (Και ναι εννοω f(t)dt)

lowbaper92 · 27-03-10

Ναι σωστός. Το κοίταξα βιαστικά.
Να σημειώσω ότι οι ασκήσεις που ανεβάζω εχουν αξιολογηθεί ανάλογα με τη δυσκολία τους και έχουν ταξινομηθεί σε 2ο,3ο,4ο Θέμα (Πανελληνίων). Οι 2 πρώτες ήταν 4ο Θέμα. Ανεβάζω μια για 3ο θέμα.

Άσκηση 3

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:[0,1]->R για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της με $f\left(0 \right)={e}^{2} ,f\left(1 \right)={e}^{4}$ και για κάθε χε[0,1] ισχύει $f\left(x \right)>0$
$g\left(x \right)=lnf\left(x \right),x\in [0,1]$

α) Να αποδείξετε ότη η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σημείο $M\left({x}_{0} ,3\right)$ με ${x}_{0}\in \left(0,1 \right)$
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
$\xi \in \left(0,1 \right):{f}^{2}\left(\xi \right)=f\left(\frac{1}{3} \right)\cdot f\left(\frac{2}{3} \right)$
γ) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] να δείξετε ότι υπάρχει
${x}_{1}\in \left(0,1 \right):f'\left({x}_{1} \right)=2f\left({x}_{1} \right)$

coheNakatos · 27-03-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ναι σωστός. Το κοίταξα βιαστικά.
Να σημειώσω ότι οι ασκήσεις που ανεβάζω εχουν αξιολογηθεί ανάλογα με τη δυσκολία τους και έχουν ταξινομηθεί σε 2ο,3ο,4ο Θέμα (Πανελληνίων). Οι 2 πρώτες ήταν 4ο Θέμα. Ανεβάζω μια για 3ο θέμα.

Άσκηση 3

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:[0,1]->R για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της με $f\left(0 \right)={e}^{2} ,f\left(1 \right)={e}^{4}$ και για κάθε χε[0,1] ισχύει $f\left(x \right)>0$

$g\left(x \right)=lnf\left(x \right),x\in [0,1]$

α) Να αποδείξετε ότη η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε ένα τουλάχιστον σημείο $M\left({x}_{0} ,3\right)$ με ${x}_{0}\in \left(0,1 \right)$
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
$\xi \in \left(0,1 \right):{f}^{2}\left(\xi \right)=f\left(\frac{1}{3} \right)\cdot f\left(\frac{2}{3} \right)$
γ) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] να δείξετε ότι υπάρχει
${x}_{1}\in \left(0,1 \right):f'\left({x}_{1} \right)=2f\left({x}_{1} \right)$

a)bolzano d(x)=g(x)-3
b)Ln στην σχεση και θεωρημα μεγιστης ελαχιστης τιμης
g) ΘΜΤ στο [0,1] για την g

riemann80 · 5 Απριλίου 2010

να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$

Metal-Militiaman · 06-04-10

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$

$I=\int_{0}^{\pi }ln(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }ln(sinx)dx$

$y=x-\frac{\pi }{2} \Rightarrow dy=dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }ln(sin(\frac{\pi }{2}+y)dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cos(-y))dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(\frac{sin2x}{2})dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin2x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln2dx$

$t=2x \Rightarrow dx=\frac{dt}{2}$

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}ln(sint)dt-\frac{\pi}{2}ln2=\frac{1}{2}I-\frac{\pi}{2}ln2$

$I=-\pi ln2$

John_Megadeth · 07-04-10

Εστω $f,g:[a,b]\rightarrow R$ με $fog=gof$ , $f$ γνησιως φθινουσα και $f(a)=b, f(b)=a$ . Δειξτε οτι υπαρχει $l\in (a,b)$ τετοιο ωστε $f(l)=g(l)=l$ .

riemann80 · 08-04-10

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
$I=\int_{0}^{\pi }ln(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }ln(sinx)dx$

$y=x-\frac{\pi }{2} \Rightarrow dy=dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }ln(sin(\frac{\pi }{2}+y)dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cos(-y))dy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(\frac{sin2x}{2})dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sin2x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln2dx$

$t=2x \Rightarrow dx=\frac{dt}{2}$

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}ln(sint)dt-\frac{\pi}{2}ln2=\frac{1}{2}I-\frac{\pi}{2}ln2$

$I=-\pi ln2$

σωστα

lowbaper92 · 08-04-10

Αρχική Δημοσίευση από John_Megadeth:
Εστω $f,g:[a,b]\rightarrow R$ με $fog=gof$ , $f$ γνησιως φθινουσα και $f(a)=b, f(b)=a$ . Δειξτε οτι υπαρχει $l\in (a,b)$ τετοιο ωστε $f(l)=g(l)=l$ .

Θεωρώ h(x)=f(x)-x , xε[α,β]
h(a)=f(a)-a=b-a>0
h(b)=f(b)-b=a-b<0
Άρα h(a)h(b)<0
Από Bolzano υπάρχει $\xi \in \left(a,b \right):h\left(\xi \right)=0\Leftrightarrow f\left(\xi \right)=\xi$

Έστω $g\left(\xi \right)\neq \xi$
Tότε $g\left(\xi \right)>\xi$ ή $g\left(\xi \right)<\xi$

Για $g\left(\xi \right)>\xi \Leftrightarrow f\left(g\left(\xi \right) \right)<f\left(\xi \right)\Leftrightarrow g\left(f\left(\xi \right) \right)<\xi \Leftrightarrow g\left(\xi \right)<\xi$ (άτοπο)
Ομοίως στην άλλη περίπτωση

Άρα $g\left(\xi \right)=\xi$

Τελικά
$f\left(\xi \right)=g\left(\xi \right)=\xi$

John_Megadeth · 10-04-10

Απλα μια παρατηρηση για την ασκηση του Eukleidis ειναι οτι αν το πρωτο οριο οντως τεινει στο 1, τοτε το δευτερο οριο δεν υπαρχει. Κοιταξτε το!

jimmy007 · 20-04-10

Kαταρχάς για να λυθεί η άσκηση νομίζω πως χρειάζεται συνέχεια της f γιατί αλλιώς δεν μπορείς να πάρεις Bolzano.
Eπίσης, αντί να πας με άτομο για να δείξεις ότι g(l)=l μπορείς να κάνεις το εξής:
Η h(x)=f(x)-x είναι γν. φθίνουσα(το αποδεικνύεις σύμφωνα με τον ορισμό, δηλαδή για a=<χ1<χ2<=b ισχύει h(x1)>h(x2)). Oπότε η h είναι 1-1.
Βάζεις στην αρχική σχέση όπου χ το l.
Αρα ισχύει fog(l)=g(l), άρα h(g(l))=O=h(l). Άρα g(l)=l, επειδή h 1-1.

Adam el único · 30 Απριλίου 2010

Παιδιά μια ασκησούλα που με παίδεψε αρκετά και τελικά άκρη δεν έβγαλα..να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα:

$\int_{0}^{x}(x-u)f(u)du=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u}f(t)dt\right)du$

coheNakatos · 21-04-10

Σκεψου το ως 2 συναρτησεις (ισες παραγωγοι αρα διαφερουν κατα c το οποιο πρεπει να δειξεις οτι ειναι μηδεν )

Adam el único · 21-04-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Σκεψου το ως 2 συναρτησεις (ισες παραγωγοι αρα διαφερουν κατα c το οποιο πρεπει να δειξεις οτι ειναι μηδεν )

Μ'άρεσε..ευχαριστώ φίλε :yahoo:

lowbaper92 · 21-04-10

Αρχική Δημοσίευση από Adam el único;2251820:
Παιδιά μια ασκησούλα που με παίδεψε αρκετά και τελικά άκρη δεν έβγαλα..να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα:
\int_{0}^{x}(x-u)f(u)du=\int_{0}^{x}(\int_{0}^{u}f(t)dt)du

Αν δεν κάνω λάθος είναι από τις γενικές του σχολικού.. Βγαίνει και με παραγοντική

jimmy007 · 21-04-10

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
να υπολογισετε το ολοκληρωμα

$\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$

Για να ορίζεται το ολοκλήρωμα δεν πρέπει η συνάρτηση ln(sinx) να ορίζεται και στο 0???

lowbaper92 · 22-04-10

Άσκηση 4

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left(0,+oo \right)\rightarrow R$ τέτοια ώστε για κάθε χ>0 να ισχύει:
$f\left(x \right)=\int_{1}^{x}\frac{t+1}{t\left({e}^{f\left(t \right)} +1\right)}dt$

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε χ>0 ισχύει
${e}^{f\left(x \right)}+f\left(x \right)=x+lnx$

β) Να αποδείξετε ότι $f\left(x \right)=lnx$ για κάθε χ>0

γ) Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης
$g\left(x \right)=f\left(x \right)f\left(\frac{e}{x} \right),x>0$

δ) Αν $0<\alpha <\beta <\gamma$ να αποδείξετε ότι ισχύει
$\frac{f\left(\beta \right)-f\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }>\frac{f\left(\gamma \right)-f\left(\beta \right)}{\gamma -\beta }$

coheNakatos · 22-04-10

Μονο συνεχης ? Ετσι δεν μπορω ουτε να παραγωγισω ουτε καν να γραψω την f ως ολοκληρωμα της f' :/:

kostaspotter · 22-04-10

Ασκηση 4 (ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ α ΕΡΩΤΗΜΑ)

Η f είναι παργωγίσιμη αφού η (t+1)/(t(e^f(t)+1)) είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών άρα αφού το εσωτερικό του ολοκληρώματος είναι συνεχής συνάτηση τότε και η f πραγωγίσιμη!
Ας παραγωγίσουμε τώρα την f: f '(x)= (x+1)/(x(e^f(x)+1))
Σπάω το κλάσμα: f '(x)= x/(x(e^f(x)+1)) + 1/(x(e^f(x)+1))
Απαλύφω το x από το 1ο κλάσμα και η κατάσταση εχει ως εξής: f '(x)= 1/(e^f(x)+1) + 1/(x(e^f(x)+1))
Πολλαπλασιάζω με το e^f(x)+1: f '(x)*(e^f(x)+1)= 1 + 1/x
Κάνω την επιμερηστικη: f '(x)*e^f(x) + f '(x) = 1 +1/x
Ολοκληρώνω αόριστα και στα 2 μέλη: S[f '(x)*e^f(x) + f '(x)]dx = S[1 + 1/x]dx
Σπάω τα ολοκληρώματα σύμφωνα με τις ιδιότητες: S[f '(x)*e^f(x)]dx + S[f '(x)]dx = S[1]dx + S[1/x]dx
Παρατηρώ πως η συνάρτηση μέσα στο 1ο ολοκήρωμα είναι η παράγωγος της e^f(x) , στο 2ο ολοκλήρωμα είναι η παράγωγος της f(x) , στο 2ο μέλος η παράγουσα του 1 είναι το x και η παράγουσα του 1/χ είναι το lnx
Άρα καταλήγω στην σχέση που θέλω να αποδείξω: e^f(x) + f(x) = x + lnx

Απάντησα μόνο το α γτ για να τα γράψω εδώ μου παίρνει πολλή ώρα και δεν ήθελα να με προλάβει άλλος...

Εργάζομαι τώρα και για τα υπόλοιπα!

coheNakatos · 22-04-10

... Και ειπα εγω να μην ξυπναω τοσο νωρις ...

,ευκολη ειναι γενικοτερα

Μια παρατηρηση για το παιδι απο πανω: Πρεπει να δειξεις οτι το c ολοκληρωσης ειναι το μηδεν !

kostaspotter · 22-04-10

Ερώτημα Β

Αφού μας δίνει τον τύπο της f και θέλουμε να δείξουμε πως είναι αυτος: f(x)=lnx , τον χρησιμοποιώ στην σχέση που απέδειξα στο ερώτημα α, δλδ όπου f(x) βάζω lnx: e^lnx + lnx =x + lnx
Από περσινή ιδιότητα της άλγεβρας ξέρουμε πως e^lnx=x και συνεχίζω: x + lnx = x + lnx Που είναι αληθής άρα και η f(x) = lnx είναι αληθής

Ξέρω πως λύνεται αλλιώς και πως αυτός ο τρόπος δεν είναι τόσο σωστός...άμα μπορέσετε να μου δείξετε και τον άλλο τρόπο ευχαριστώ...:S

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος