ΑΣΚΗΣΗ 12
Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή

, με
 neq 0 )
για κάθε

και
 = f(1))
.
α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

παρουσιάζει και μέγιστη και ελάχιστη τιμή.
β. Να δειχθεί ότι οι τιμές της συνάρτησης

είναι ομόσημες.
γ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση
 = fleft(x right) )
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο

.





α. Σαν συνεχής πού είναι σε κλειστό διάστημα παρουσιάζει καί μέγιστη καί ελάχιστη τιμή.(Θ.Μ.Ε.Τ)
β. Αφού η f(x) δεν μηδενίζεται καί είναι συνεχής άρα δεν μπορεί παρά να διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [0,1].
γ. Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=f(x+1/2009)-f(x) πού ορίζεται στο [0,2008/2009] αφού ο πρώτος όρος ορίζεται στο [-1/2009,2008/2009] ενώ η f(x) δίνεται ότι ορίζεται στο [0,1]. Τελικά προκύπτει γιά την h(x) ότι ορίζεται στο [0,2008/2009].
Η h(x) ειναι συνεχής ως διαφορά συνεχών.
Η f(x) στο διάστημα [0,2008/2009] παρουσιάζει καί μέγιστη καί ελάχιστη τιμή λόγω της συνέχειάς της.
Εστω x1 η θέση(μιά τουλάχιστον) τής ελάχιστης τιμής της f(x) καί x2 η θέση(επίσης τουλάχιστον μιά) της μέγιστης τιμής.
Στο [x1,x2] θα ισχυει. (Ή στο [x2,x1)).
h(x1)=f(x1+1/2009)-f(x1)>=0 καί
h(x2)=f(x2+1/2009)-f(x2)<=0 οπότε h(x1)h(x2)<=0 πού σημαίνει ότι η δοσμένη εξίσωση θα έχει μιά τουλάχιστον ρίζα στο πεδίο ορισμού της καί κατά συνέπεια στο R.
Δεν μού χρειάστηκε το δεδομένο f(0)=f(1).Αναρωτιέμαι γιατί το έδωσες
Σημείωση: Θέλω να σας πω ότι έχω βγάλει μέχρι καί τη συνέχεια συνάρτησης γιατί μού έδειχνε όλο το καλοκαίρι ο ξάδερφός μου πού είναι φοιτητής μαθηματικού.Καί ανάμεσα στις βουτιές πού κάναμε μιλάγαμε καί γιά μαθηματικά.Γιατί αν πήγαινα φροντιστήρο δεν θα έβγαζα παρά τού μιγαδικούς μόνο όπως εκαναν στα περισσότερα φροντ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.