Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

m3Lt3D · 02-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 11

Εστω οι μιγαδικοι z1,z2 $\in C$ *
για τους οποιους ισχυει:

Re(1/z1)=Re(1/z2)=1/4

Να βρεθει η μεγιστη τιμη του |z1-z2|.

(Λεω εκ των προτερων οτι δεν λοιπουν στοιχεια απο την εκφωνηση

)

οποιος μπορει να τη λυσει(μαθητης/φοιτητης/καθηγητης) ειναι ευπροσδεκτος.

mostel · 03-09-08

Είναι 4 ή χάνω κάπου ;

Hurr · 03-09-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Είναι 4 ή χάνω κάπου ;

Και γω 4 βρισκω. Ας αφησουμε τα παιδια της γ να δοκιμασουν πριν πουμε λυσεις

m3Lt3D · 03-09-08

σωστοι και οι 2.

αν θελετε ποσταρετε τις λυσεις με ασπρα γραμματα ή κατι τετοιο ωστε να τις δουν οσοι θελουν...

mostel · 03-09-08

Ας τη βάλει τότε ο φίλος Χάρης, γιατί εγώ βαριέμαι

.

Βασικά, ας περιμένουμε λίγο ακόμη. Νομίζω πως δε θα δυσκολευτούν να τη λύσουν παιδιά της τρίτης λυκείου.

Στέλιος

Hurr · 03-09-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Ας τη βάλει τότε ο φίλος Χάρης, γιατί εγώ βαριέμαι .

Βασικά, ας περιμένουμε λίγο ακόμη. Νομίζω πως δε θα δυσκολευτούν να τη λύσουν παιδιά της τρίτης λυκείου.

Στέλιος

Μια χαρα ειναι η ασκηση για τα παιδια της γ οποτε ας μη τους τη χαλασουμε

m3Lt3D · 03-09-08

μπορεις φιλε hurr να μου την στειλεις με pm? γιατι εχω φτασει ως ενα σημειο και δεν μπορω να την συνεχισω...(προφανως ειμαι απο τα παιδια της γ που δυσκολευονται να την λυσουν... πφφ... μου αρεσει που παω να δωσω και πανελληνιες... αιντε αιντε... :/)

αν δεν σου κανει κοπο...

kvgreco · 03-09-08

Αρχική Δημοσίευση από tzoker:
Πρέπει να εξηγήσεις γιατί επιτρέπεται να διαιρέσεις.:iagree:

Καλά δεν είμαι καί μαθηματικός.Εμείς οι μαθητές αυτά τα λέμε , έλα μωρέ λεπτομέρειες τώρα

:nono:

Ναί τώρα πού μού το λες έπρεπε να εξηγήσω.Μα βέβαια ο z δεν μπορεί να κάνει 1 γιατί τότε θα ήταν 1w=1+w δηλαδή 0=1!

Xaris.civil · 03-09-08

Έστω z∈C , α,β∈R , α ≠ β και (1+iz)^ν=(a+bi)/(b+ai) (1)

α) Να αποδείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός αριθμός.
β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία κύκλου του οποίου να
βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς z που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο.
δ) Να αποδείξετε ότι 4 < |z − 3 + 4i| < 7
ε) Αν οι z1,z2 ∈C ικανοποιούν την (1) να αποδείξετε ότι |z1-z2| ≤ 2A

Ελπιζω να σας αρεσει

tzoker · 03-09-08

Παραθέτω μία άσκηση η οποία ήταν σήμερα ένα πολύ καλό θεματάκι στο Πανεπιστήμιο Πειραιά.

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\int_{7}^{+\propto } \frac{dx}{{x}^{2} - 8x +15}$ .

m3Lt3D · 03-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Xaris.civil:
Έστω z∈C , α,β∈R , α ≠ β και (1+iz)^ν=(a+bi)/(b+ai) (1)

α) Να αποδείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός αριθμός.
β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία κύκλου του οποίου να
βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς z που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο.
δ) Να αποδείξετε ότι 4 < |z − 3 + 4i| < 7
ε) Αν οι z1,z2 ∈C ικανοποιούν την (1) να αποδείξετε ότι |z1-z2| ≤ 2A

Ελπιζω να σας αρεσει

Τι ειναι το 2Α στο ε)?:s

vady · 04-09-08

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
ΑΣΚΗΣΗ 11

Εστω οι μιγαδικοι z1,z2 $in C$ *
για τους οποιους ισχυει:

Re(1/z1)=Re(1/z2)=1/4

Να βρεθει η μεγιστη τιμη του |z1-z2|.

(Λεω εκ των προτερων οτι δεν λοιπουν στοιχεια απο την εκφωνηση)

οποιος μπορει να τη λυσει(μαθητης/φοιτητης/καθηγητης) ειναι ευπροσδεκτος.

Λοιπόν νομίζω ότι την έλυσα!!Λοιπόν θέτω z1=α+βi άρα θα είναι 1/z1=1/α+βi=α/αα+ββ - (β/αα+ββ)i(είναι υψωμένα στο τετράγωνο αλλά τα έβαλα έτσι για να φαίνεται!)
άρα έχουμε ότι α/αα+ββ =1/4 άρα ο γεωμετρικός τόπος του z1 είναι ο κύκλος με κέντρο (2,0) και ρ=2. Το ίδιο βγαίνει και για τον z2 οπότε είναι στον ίδιο κύκλο άρα η μέγιστη απόσταση μεταξύ τους είναι όταν είναι αντιδιαμετρικά, άρα max|z1-z2|=2ρ=4 Σωστό;

vady · 04-09-08

Όσον αφορά την άλλη με τις φανταστικές ρίζες ακόμα την παλέβω............

Hurr · 04-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Vady:
Λοιπόν νομίζω ότι την έλυσα!!Λοιπόν θέτω z1=α+βi άρα θα είναι 1/z1=1/α+βi=α/αα+ββ - (β/αα+ββ)i(είναι υψωμένα στο τετράγωνο αλλά τα έβαλα έτσι για να φαίνεται!)
άρα έχουμε ότι α/αα+ββ =1/4 άρα ο γεωμετρικός τόπος του z1 είναι ο κύκλος με κέντρο (2,0) και ρ=2. Το ίδιο βγαίνει και για τον z2 οπότε είναι στον ίδιο κύκλο άρα η μέγιστη απόσταση μεταξύ τους είναι όταν είναι αντιδιαμετρικά, άρα max|z1-z2|=2ρ=4 Σωστό;

Σωστη ειναι η λυση σου. Προσπαθησε να τα γραφεις με latex δεν ειναι δυσκολο

tzoker · 04-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 11

Έστω $f : R \rightarrow R$ συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση :

${f}^{2}\left(x \right) - 2f\left(x \right)\sin x = {\sin }^{4}x + {\sin }^{2}x + 1$ ,

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ και $f\left(\frac{\ \pi }{2} \right) = 3$ .

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε.

β. Να δείξετε ότι : $f(0) = 1$ .

γ. Να αποδείξετε πως και η συνάρτηση $h\left(x \right) = f\left(x \right) - \sin x$ , $x \epsilon R$ , διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και να βρείτε.

δ. Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f\left(x \right)}{x}$ .

tzoker · 04-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 12

Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή $f : \left[ 0 , 1 \right] \rightarrow R$ , με $f\left(x \right) \neq 0$ για κάθε $x \epsilon \left[ 0 , 1 \right]$ και $f(0) = f(1)$ .

α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει και μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

β. Να δειχθεί ότι οι τιμές της συνάρτησης $f$ είναι ομόσημες.

γ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση $f\left(x + \frac{1}{2009} \right) = f\left(x \right)$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $R$ .

:jumpy:

tzoker · 05-09-08

ΑΣΚΗΣΗ 13

Δίνεται η συνάρτηση $f\left(x \right) = \frac{k{x}^{3} + 2{(k - 2)}^{3}x}{ ( k - 2 ){x}^{2} + 1}$ με $x \epsilon R$ και $k$ πραγματική σταθερά .

1. Για τις διάφορες τιμές τιμές του πραγματικού αριθμού $k$ , να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow -\propto } f\left(x \right)$ .

2. Για k = 2 :

α. να δικαιολογήσετε γιατι η συνάρτηση $f$ δεν έχει ασύμπτωτες ευθείες.

β. να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται.

γ. να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και ${f}^{-1}$ .

mostel · 06-09-08

Παράκληση:

ΜΗΝ ποστάρετε συνεχώς νέες ασκήσεις χωρίς να έχουν λυθεί οι προηγούμενες. Αυτό το λέω, για τη διευκόλυνσή μας και μόνο. Σε διαφορετική περίπτωση, χάνεται η μπάλλα.

Στέλιος

kvgreco · 06-09-08

Αρχική Δημοσίευση από tzoker:
ΑΣΚΗΣΗ 12

Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή $f : left[ 0 , 1 right] rightarrow R$ , με $fleft(x right) neq 0$ για κάθε $x epsilon left[ 0 , 1 right]$ και $f(0) = f(1)$ .

α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει και μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

β. Να δειχθεί ότι οι τιμές της συνάρτησης $f$ είναι ομόσημες.

γ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση $fleft(x + frac{1}{2009} right) = fleft(x right)$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $R$ .

α. Σαν συνεχής πού είναι σε κλειστό διάστημα παρουσιάζει καί μέγιστη καί ελάχιστη τιμή.(Θ.Μ.Ε.Τ)

β. Αφού η f(x) δεν μηδενίζεται καί είναι συνεχής άρα δεν μπορεί παρά να διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [0,1].

γ. Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=f(x+1/2009)-f(x) πού ορίζεται στο [0,2008/2009] αφού ο πρώτος όρος ορίζεται στο [-1/2009,2008/2009] ενώ η f(x) δίνεται ότι ορίζεται στο [0,1]. Τελικά προκύπτει γιά την h(x) ότι ορίζεται στο [0,2008/2009].
Η h(x) ειναι συνεχής ως διαφορά συνεχών.
Η f(x) στο διάστημα [0,2008/2009] παρουσιάζει καί μέγιστη καί ελάχιστη τιμή λόγω της συνέχειάς της.
Εστω x1 η θέση(μιά τουλάχιστον) τής ελάχιστης τιμής της f(x) καί x2 η θέση(επίσης τουλάχιστον μιά) της μέγιστης τιμής.
Στο [x1,x2] θα ισχυει. (Ή στο [x2,x1)).
h(x1)=f(x1+1/2009)-f(x1)>=0 καί
h(x2)=f(x2+1/2009)-f(x2)<=0 οπότε h(x1)h(x2)<=0 πού σημαίνει ότι η δοσμένη εξίσωση θα έχει μιά τουλάχιστον ρίζα στο πεδίο ορισμού της καί κατά συνέπεια στο R.

Δεν μού χρειάστηκε το δεδομένο f(0)=f(1).Αναρωτιέμαι γιατί το έδωσες :hmm:

Σημείωση: Θέλω να σας πω ότι έχω βγάλει μέχρι καί τη συνέχεια συνάρτησης γιατί μού έδειχνε όλο το καλοκαίρι ο ξάδερφός μου πού είναι φοιτητής μαθηματικού.Καί ανάμεσα στις βουτιές πού κάναμε μιλάγαμε καί γιά μαθηματικά.Γιατί αν πήγαινα φροντιστήρο δεν θα έβγαζα παρά τού μιγαδικούς μόνο όπως εκαναν στα περισσότερα φροντ.

Hurr · 06-09-08

Η f(x) στο διάστημα [0,2008/2009] παρουσιάζει καί μέγιστη καί ελάχιστη τιμή λόγω της συνέχειάς της.
Εστω x1 η θέση(μιά τουλάχιστον) τής ελάχιστης τιμής της f(x) καί x2 η θέση(επίσης τουλάχιστον μιά) της μέγιστης τιμής.
Στο [x1,x2] θα ισχυει. (Ή στο [x2,x1)).
h(x1)=f(x1+1/2009)-f(x1)>=0 καί

Aν καταλαβα αυτο που θες να πεις ειναι οτι για για x=x1 η f περνει την ελαχιστη τιμη της στο διαστημα [0,2008/2009]

το x1 + 1/2009 ανηκει αναγκαστικα στο παραπανω διαστημα?

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος