Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Guest 190013 · 25-07-14

Αρχική Δημοσίευση από Fullface:
Την ποσταρα δες το ποστ πανω

Έξυπνο αυτό να την αυξήσεις, εγώ το πήγα πιο περίπλοκα, είδα τον παρονομαστή ως τριώνυμο και έφτιαξα ανισοτική σχέση με την κορυφή της γραφικής του παράστασης (-Δ/4α). Ε μετά την φέρνεις σε κατάλληλη μορφή και συνεχίζεις όπως και στη δικιά σου

DumeNuke · 25 Ιουλίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Fullface:
βγαζοντας τον παρονομαστη ουσιαστικα αυξανεις

Μέγα λάθος. Δεν γνωρίζεις τι σχέση έχει με την μονάδα ο παρονομαστής. Αν είναι α<1 τότε 1/α>1 και, για β>0, έχουμε:
β/α>β. Διαιρώντας με το α, ο αριθμός β αυξήθηκε, αντί να μειωθεί.

ΚΠ για το τελευταιο όριο.

@Κλεάνθη, για την ανίσωση στο ΚΠ που σε δυσκόλεψε:
Θες να διώξεις τον παρονομαστή και να εγκλωβίσεις τον αριθμητή. Άρα, πρέπει να δείξεις ότι το κλάσμα 1/(τριώνυμο)<=1. Ή ότι το (τριώνυμο)>=1.
Ξεκινώντας από το ζητούμενο και λύνοντας την ανίσωση, βρίσκεις ότι ισχύει σε όλο το R. Άρα, αφού ισχύει (τριώνυμο)>=1, ισχύουν οι προϋποθέσεις που θέλεις και δημιουργείς το ΚΠ που σε βολεύει.

Filippos14 · 25-07-14

Αρχική Δημοσίευση από DumeNuke:
Μέγα λάθος. Δεν γνωρίζεις τι σχέση έχει με την μονάδα ο παρονομαστής. Αν είναι α<1 τότε 1/α>1 και, για β>0, έχουμε:
β/α>β. Διαιρώντας με το α, ο αριθμός β αυξήθηκε, αντί να μειωθεί.

ΚΠ για το τελευταιο όριο.

Τωρα σοβαρα το ποσταρες αυτο?Υπαρχει λογος που δεν ποσταρα αναλυτικη λυση και δεν εξηγω τα τετριμμενα της γ γυμνασιου αλλα προτιμω να γραψω την ουσια τησ ασκησης .(δεν ξερω να γραφω σε latex :redface:

).Ακου κει μεγα λαθος χαχα
Αλλα εφοσον θες να μιλαμε για λαθοι ετσι απλα για να μιλαμε,η λυση που εδωσες ειναι παλι λαθος γιατι το χ-χ0 ειναι θετικο (αρα και παραμενει ιδια η φορα οταν πολ/ζεις με χ-χ0) μονο οταν το χ πηγαινει στο χ0 απο τα δεξια.

DumeNuke · 25-07-14

Αρχική Δημοσίευση από Fullface:
Τωρα σοβαρα το ποσταρες αυτο?Υπαρχει λογος που δεν ποσταρα αναλυτικη λυση και δεν εξηγω τα τετριμμενα της γ γυμνασιου αλλα προτιμω να γραψω την ουσια τησ ασκησης .(δεν ξερω να γραφω σε latex ).Ακου κει μεγα λαθος χαχα
Αλλα εφοσον θες να μιλαμε για λαθοι ετσι απλα για να μιλαμε,η λυση που εδωσες ειναι παλι λαθος γιατι το χ-χ0 ειναι θετικο (αρα και παραμενει ιδια η φορα οταν πολ/ζεις με χ-χ0) μονο οταν το χ πηγαινει στο χ0 απο τα δεξια.

Ναι, το απόλυτο έπρεπε να μπει πρώτα και η απαλοιφή του παρονομαστή να γίνει μετά.
Αλλά μην το παίζεις τόσο θιγμένος. Το θέμα το διαβάζουν μαθητές που σε 10 μήνες δίνουν εξετάσεις. Είτε σ'αρέσει είτε όχι, αυτά που λέμε και γράφουμε έχουν βαρύτητα και τα "τετριμμένα" που παραλείπεις θα κοστίσουν μονάδες.

rebel · 25-07-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία διαισθητικά απλή: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει μιγαδικός αριθμός $z=x+yi,\,\,x \in \mathbb{R},\,\,y \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ , τέτοιος ώστε $|z-2|+|z+2|=4$ .

Από εδώ

Eυχαριστώ για τις απαντήσεις. Μία ακόμα αλγεβρική λύση: Έστω $z=x+yi$ ένας τέτοιος μιγαδικός. Τότε

$2|x| \leq 2|z|=|z+2+z-2| \leq |z-2|+|z+2|=4 \Rightarrow |x| \leq 2,\,\,(1)$

Θα δείξω ότι $|x-2|+|x+2|=4,\,\,(2)$ . Πράγματι

$|x+2|+|x-2|=4 \Leftrightarrow \left(|x+2|+|x-2|\right)^2=4^2 \Leftrightarrow \left|x^2-4 \right|= -\left(x^2-4\right) \Leftrightarrow x^2-4 \leq 0 \Leftrightarrow |x|\leq 2.$

Η τελευταία σχέση είναι η (1) που ισχύει. Τώρα

$|z-2|=\sqrt{(x-2)^2+y^2} \stackrel{y \neq 0}{>}\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|,\,\,(3)$
$|z+2|=\sqrt{(x+2)^2+y^2} \stackrel{y \neq 0}{>}\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|,\,\,(4).$

Προσθέτω κατά μέλη και έχω

$|z-2|+|z+2|>|x-2|+|x+2| \stackrel{(2)}{\Rightarrow} 4>4$

άτοπο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος μιγαδικός.

Guest 190013 · 26-07-14

Θα ποστάρω αύριο την δικιά μου λύση να μου πείτε τη γνώμη σας γιατί μπλέχτηκε λίγο το θέμα :hmm:

Guest 856924 · 08-08-14

Αρχική Δημοσίευση από nikoslarissa:
Δίνεται συνάρτηση $f$ γνησίως αύξουσα στο $R$ με $f(-1)>0$ και ο μιγαδικός αριθμός $z=\frac{f(-1)f(0)}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{f(1)}i$ ,για τον οποίο ισχύει ότι $\left|z \right|=\frac{z}{2}(1-\sqrt{3}i)$ .Να αποδείξετε ότι:

α) $f(-1)f(0)f(1)=8$

β) $2Re(z)=\left|z \right|$

γ) $f(-1)<2<f(1)$

δ)η f αντιστρέφεται και ισχύει $-1<{f}^{-1}(\sqrt{\left|z \right|})<0$

μια λυση για αυτη

tipotas · 16-08-14

α)
$\left|z \right|=\frac{z}{2}(1-\sqrt{3}i) \Rightarrow \frac{z}{2}(1-\sqrt{3}i) \in R \Rightarrow z(1 - \sqrt3 i) \in R \Rightarrow z(1 - \sqrt3 i)=\bar{z}(1 + \sqrt3 i) \Rightarrow z-\bar{z} = (z+\bar{z} )\sqrt3 i \Rightarrow 2Im(z)i=2Re(z)\sqrt3 i \Rightarrow \frac{4\sqrt3}{f(1)}= \frac{f(-1)f(0)}{2}\sqrt3 \Rightarrow f(-1)f(0)f(1)=8$

β)
$2Re(z)=|z| \Leftrightarrow f(-1)f(0)=\sqrt{{(\frac{f(-1)f(0)}{2})}^{2} + {(\frac{4\sqrt3}{f(1)})}^{2}} \Leftrightarrow {(f(-1)f(0))}^{2}=\frac{{(f(-1)f(0))}^{2}}{4} + \frac{48}{{f}^{2}(1)}$ (1)
Όμως $f(-1)f(0)=\frac{8}{f(1)}\Leftrightarrow {(f(-1)f(0))}^{2}=\frac{64}{{f}^{2}(1)}$ (Αφού $1>-1 \Rightarrow f(1)>f(-1)>0 \Rightarrow f(1) \neq 0$ (f γνησίως αύξουσα))
Άρα $(1)\Leftrightarrow \frac{64}{{f}^{2}(1)}=\frac{64}{4{f}^{2}(1)} + \frac{48}{{f}^{2}(1)} \Leftrightarrow 64=64$ που ισχύει

γ)Έστω ότι $f(1)\leq 2$ τότε επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε $f(-1)<f(0)<f(1)\leq2 \Rightarrow f(-1)<2$ και $f(0)<2$ και $f(1)\leq2$ .Ακόμα $f(1)>f(0)>f(-1)>0$ .Άρα $f(-1)f(0)f(1)<8$ Άτοπο.
Οπότε $f(1)>2$
Ομοίως δείχνουμε ότι $f(-1)<2$

δ) Η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 άρα αντιστρέφεται.Είναι $f(-1)<f(0) \Rightarrow {f}^{2}(-1)<f(-1)f(0)$ και $f(-1)f(0)<f}^{2}(0)$ .
Άρα
${f}^{2}(-1)<f(-1)f(0)<f}^{2}(0) \Rightarrow {f}^{2}(-1)<2Re(z)<f}^{2}(0) \Rightarrow {f}^{2}(-1)<|z|<f}^{2}(0) \Rightarrow f(-1)<\sqrt{|z|}<f(0)$ (2)
Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[-1,0]$ άρα η ${f}^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $f([-1,0])=[f(-1),f(0)]$ (Η απόδειξη εδώ)
Οπότε $(2)\Rightarrow {f}^{-1}(f(-1))<{f}^{-1}(\sqrt{|z|})<{f}^{-1}(f(0)) \Rightarrow -1<{f}^{-1}(\sqrt{\left|z \right|})<0$

Guest 856924 · 16-08-14

μπερδευτηκα στο πρωτο ερωτημα που ειδα μεχρι στιγμης πως το εκανες..π.χ που πηγε το 2 στο παρονομαστη?

tipotas · 17-08-14

Άμα κατάλαβα καλά τι εννοείς:
Έστω
$a=\frac{z}{2}(1-\sqrt{3}i)=|z|$
Τότε $|z| \in R$
Άρα $a \in R$ .
Οπότε θα ισχύει και $2a \in R$
Δηλαδή $z(1 - \sqrt3 i) \in R$ .
Το ίδιο ακριβώς προκύπτει άμα δεν βγάλεις το 2 από τον παρονομαστή:
$\frac{z}{2}(1-\sqrt{3}i) \in R \Rightarrow \frac{z}{2}(1-\sqrt{3}i)=\frac{\bar{z}}{2}(1+\sqrt{3}i)$

Guest 856924 · 17-08-14

α ενταξει αυτο ελεγα

rebel · 06-10-14

Αν $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$ διάφοροι του μηδέν με $\frac{z_1}{z_2} \not \in \mathbb{R}$ και $\frac{3z_1+4z_2}{z_3} \in \mathbb{R}$ και $\frac{4z_2+5z_3}{z_1} \in \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι

α) $3z_1+4z_2+5z_3=0$

β) Αν $|z_1|=|z_2|=|z_3|=\rho>0$ τότε $\frac{z_1}{z_2} \in \mathrm{I}$

photon · 06-10-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αν $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$ διάφοροι του μηδέν με $\frac{z_1}{z_2} \not \in \mathbb{R}$ και $\frac{3z_1+4z_2}{z_3} \in \mathbb{R}$ και $\frac{4z_2+5z_3}{z_1} \in \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι

α) $3z_1+4z_2+5z_3=0$

β) Αν $|z_1|=|z_2|=|z_3|=\rho>0$ τότε $\frac{z_1}{z_2} \in \mathrm{I}$

Για ευκολία με το latex:

${z}_{1}=a,{z}_{2}=b,{z}_{3}=c\\$

$\bullet \frac{a}{b} \not \in \mathbb{R}$

$\bullet \frac{3a+4b}{c} \in \mathbb{R}$

$\bullet \frac{4b+5c}{a} \in \mathbb{R}$
α)
$\\E\sigma \tau \omega \enspace \frac{3a+4b}{c}=k \enspace \kappa \alpha \iota \enspace \frac{4b+5c}{a}=m$

$3a+4b=kc \enspace \kappa \alpha \iota \enspace 4b+5c=am$

$c=\frac{3a+4b}{k} \enspace \kappa \alpha \iota \enspace c=\frac{am-4b}{5}$

$\frac{3a+4b}{k}=\frac{am-4b}{5}\Leftrightarrow 15a+20b=akm-4kb\Leftrightarrow 20b+4kb=akm-15a\Leftrightarrow b(20+4k)=a(km-15)\Leftrightarrow 20+4k=\frac{a}{b}(km-15)$

$A\nu\enspace km-15\neq 0:\frac{20+4k}{km-15}=\frac{a}{b}$
άτοπο επειδή:
$\frac{a}{b} \not \in \mathbb{R} \enspace \kappa \alpha \iota \enspace k,m \in \mathbb{R}$

$A\varrho \alpha \enspace km-15=0\Leftrightarrow km=15\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 3a+4b+5c=0$

το β) αλλη φορα

photon · 07-10-14

β)
$|a|=|b|=|c|=r \Leftrightarrow|a|}^2=|b|}^2=|c|}^2={r}^{2}\Leftrightarrow \bar{a}a=\bar{b}b=\bar{c}c={r}^{2}$
$3a+4b+5c=0\Leftrightarrow 5c=-3a-4b(1)\Rightarrow 5\bar{c}=-3\bar{a}-4\bar{b} (2)$

Πολλαπλασιαζω κατα μελη τις (1),(2):
$\\25c\bar{c}=9\bar{a}a+12a\bar{b}+12b\bar{a}+16b\bar{b}\Leftrightarrow\\25{r}^{2}=9{r}^{2}+12a\bar{b}+12b\bar{a}+16{r}^{2}\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a\bar{b}+b\bar{a}=0\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\displaystyle-\displaystyle\bar{\left( \frac{{a}}{{b}}\right)}$

$A\varrho \alpha \enspace\frac{a}{b}\in\mathbb{I}$

photon · 07-10-14

Να βρειτε τους θετικους ακεραιους a,b,c για τους οποιους ισχυει
$c={(a+bi)}^{3}-107i$

Υποδειξη:

Το 107 ειναι πρωτος αριθμος

rebel · 07-10-14

Άλλη μία: Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ με $a \neq 0.$ Έστω $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$ σημεία της $C_f$ . Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $CD$ . Επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δεν ανήκει στην ευθεία με εξίσωση $3ax+b=0.$

1) Να αποδειχθεί ότι $x_1 x_2 =x_3x_4$

2) Να αποδειχθεί ότι είτε $A \equiv C$ είτε $A \equiv D$

eyb0ss · 7 Οκτωβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Άλλη μία: Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ με $a \neq 0.$ Έστω $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$ σημεία της $C_f$ . Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $CD$ . Επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δεν ανήκει στην ευθεία με εξίσωση $3ax+b=0.$

1) Να αποδειχθεί ότι $x_1 x_2 =x_3x_4$

2) Να αποδειχθεί ότι είτε $A \equiv C$ είτε $A \equiv D$

Το να δείξουμε ότι το Α συμπίπτει με το C ή το D ήταν λιγάκι (λέμε τώρα) δύσκολο.Τα γράφω ελαφρώς συνοπτικά για εξοικονόμηση χρόνου.

1)Από το κοινό μέσο των AΒ και CD έχουμε $x_1+x_2=x_3+x_4$ και $f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)+f(x_4)$ .
Μερικές πράξεις:
$x_1+x_2=x_3+x_4 \leftrightarrow (x_1+x_2)^3=(x_3+x_4)^3 \leftrightarrow x_1^3+x_2^3-x_3^3-x_4^3=3(x_3x_4-x_1x_2)(x_1+x_2)$
$x_1+x_2=x_3+x_4 \rightarrow (x_1+x_2)^2=(x_3+x_4)^2 \leftrightarrow x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=2(x_3x_4-x_1x_2)$
άρα $f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)+f(x_4) \leftrightarrow a(x_1^3+x_2^3)+b(x_1^2+x_2^2)+c(x_1+x_2)+d=a(x_3^3+x_4^3)+b(x_3^2+x_4^2)+c(x_3+x_4)+d \leftrightarrow a(x_1^3+x_2^3-x_3^3-x_4^3)+b(x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2)+c(x_1+x_2-x_3-x_4)=0 \leftrightarrow 3a(x_3x_4-x_1x_2)(x_1+x_2)+2b(x_3x_4-x_1x_2)=0 \leftrightarrow [3a(x_1+x_2)+2b](x_3x_4-x_1x_2)=0 \leftrightarrow [3a\frac{x_1+x_2}{2}+b](x_3x_4-x_1x_2)=0 \leftrightarrow x_3x_4=x_1x_2$
αφού το μέσο του ΑΒ δεν ανήκει στην ευθεία $3ax+b=0$ (όπως και τα Α,Β)

2)Από τύπους Vieta και λίγη περίεργη σκέψη φτιάχνουμε το τριώνυμο $a^2-(x_1+x_2)a+x_1x_2$ η οποία έχει προφανείς ρίζες τις $a=x_1$ και $a=x_2$
Όμως το παραπάνω τριώνυμο είναι ισοδύναμο με το $a^2-(x_3+x_4)a+x_3x_4$ το οποίο έχει ως ρίζες τις $a=x_3$ και $a=x_4$ . Επειδή ένα τριώνυμο δεν μπορεί να έχει 4 διαφορετικές ρίζες πρέπει $x_1=x_3$ και $x_1=x_4$ το οποίο συνεπάγεται ότι $f(x_1)=f(x_3)$ ή $f(x_1)=f(x_4)$ άρα το σημείο Α συμπίπτει είτε με το C είτε με το D.

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Άλλη μία: Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ με $a \neq 0.$ Έστω $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$ σημεία της $C_f$ . Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $CD$ . Επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δεν ανήκει στην ευθεία με εξίσωση $3ax+b=0.$

1) Να αποδειχθεί ότι $x_1 x_2 =x_3x_4$

2) Να αποδειχθεί ότι είτε $A \equiv C$ είτε $A \equiv D$

Το να δείξουμε ότι το Α συμπίπτει με το C ή το D ήταν λιγάκι (λέμε τώρα) δύσκολο.Τα γράφω ελαφρώς συνοπτικά για εξοικονόμηση χρόνου.

1)Από το κοινό μέσο των AΒ και CD έχουμε $x_1+x_2=x_3+x_4$ και $f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)+f(x_4)$ .
Μερικές πράξεις:
$x_1+x_2=x_3+x_4 \leftrightarrow (x_1+x_2)^3=(x_3+x_4)^3 \leftrightarrow x_1^3+x_2^3-x_3^3-x_4^3=3(x_3x_4-x_1x_2)(x_1+x_2)$
$x_1+x_2=x_3+x_4 \rightarrow (x_1+x_2)^2=(x_3+x_4)^2 \leftrightarrow x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=2(x_3x_4-x_1x_2)$
άρα $f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)+f(x_4) \leftrightarrow a(x_1^3+x_2^3)+b(x_1^2+x_2^2)+c(x_1+x_2)+d=a(x_3^3+x_4^3)+b(x_3^2+x_4^2)+c(x_3+x_4)+d \leftrightarrow a(x_1^3+x_2^3-x_3^3-x_4^3)+b(x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2)+c(x_1+x_2-x_3-x_4)=0 \leftrightarrow 3a(x_3x_4-x_1x_2)(x_1+x_2)+2b(x_3x_4-x_1x_2)=0 \leftrightarrow [3a(x_1+x_2)+2b](x_3x_4-x_1x_2)=0 \leftrightarrow [3a\frac{x_1+x_2}{2}+b](x_3x_4-x_1x_2)=0 \leftrightarrow x_3x_4=x_1x_2$
αφού το μέσο του ΑΒ δεν ανήκει στην ευθεία $3ax+b=0$ (όπως και τα Α,Β)

2)Από τύπους Vieta και λίγη περίεργη σκέψη φτιάχνουμε το τριώνυμο $a^2-(x_1+x_2)a+x_1x_2$ η οποία έχει προφανείς ρίζες τις $a=x_1$ και $a=x_2$
Όμως το παραπάνω τριώνυμο είναι ισοδύναμο με το $a^2-(x_3+x_4)a+x_3x_4$ το οποίο έχει ως ρίζες τις $a=x_3$ και $a=x_4$ . Επειδή ένα τριώνυμο δεν μπορεί να έχει 4 διαφορετικές ρίζες πρέπει $x_1=x_3$ και $x_1=x_4$ το οποίο συνεπάγεται ότι $f(x_1)=f(x_3)$ ή $f(x_1)=f(x_4)$ άρα το σημείο Α συμπίπτει είτε με το C είτε με το D.

Αρχική Δημοσίευση από w0pid:
Να βρειτε τους θετικους ακεραιους a,b,c για τους οποιους ισχυει
$c={(a+bi)}^{3}-107i$

Υποδειξη:

Το 107 ειναι πρωτος αριθμος

Ανήγαγα το πρόβλημα στο να βρώ τους φυσικούς a,b,c μέσω της σχέσης $(a-b)^3=107+c$ . Καμιά άλλη υπόδειξη ίσως; Διότι δεν έχω διδαχθεί θεωρία αριθμών.

rebel · 07-10-14

Η σχέση που έβγαλες πως βγήκε; Το μόνο που χρειάζεται να ξέρεις για την συγκεκριμένη άσκηση είναι ότι οι μόνοι διαιρέτες ενός πρώτου είναι η μονάδα και ο εαυτός του.

eyb0ss · 07-10-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Η σχέση που έβγαλες πως βγήκε; Το μόνο που χρειάζεται να ξέρεις για την συγκεκριμένη άσκηση είναι ότι οι μόνοι διαιρέτες ενός πρώτου είναι η μονάδα και ο εαυτός του.

Μέσω ισότητας μιγαδικών αριθμών προέκυψαν δυο σχέσεις που στη συνέχεια πρόσθεσα κατά μέλη και μου βγήκε η προαναφερθείσα σχέση. Κάτι δεν μου κολλάει, θα την ξαναδώ και θα ποστάρω τη λύση (εφόσον τη λύσω

).

PeterTheGreat · 08-10-14

Αρχική Δημοσίευση από w0pid:
Να βρειτε τους θετικους ακεραιους a,b,c για τους οποιους ισχυει
$c={(a+bi)}^{3}-107i$

Υποδειξη:

Το 107 ειναι πρωτος αριθμος

$c={(a+bi)}^{3}-107i = {a}^{3}+3{a}^{2}bi-3a{b}^{2}-{b}^{3}i - 107i$

Πρέπει το φανταστικό μέρος του μιγαδικού στο δεύτερο μέλος να είναι ίσο με 0.

$3{a}^{2}bi-{b}^{3}i - 107i = 0$
$b(3{a}^{2}-{b}^{2}) = 107$

Επειδή a, b, c θετικοί ακέραιοι και ο 107 είναι πρώτος αριθμός, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

α) b = 1, τότε:
$3{a}^{2}-1 = 107$
${a}^{2}-1 = 36$
$a = 6$

Οπότε:

$c= {6}^{3}+3{6}^{2}i-3*6-i - 107i = 198$

Συνεπώς, a = 6, b = 1, c = 198.

β) Αν b = 107:

$3{a}^{2}-{107}^2 = 1$
${a}^{2} =3816.66666666...$

Άτοπο, αφού το a είναι θετικός ακέραιος. Οπότε:

a = 6, b = 1, c = 198 είναι οι μοναδικοί θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν την δοσμένη σχέση.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Guest 190013

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Guest 856924

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος