koum
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 8x²y²z²
Θα ηθελα να παραθεσω και εγω την λυση μου σε αυτην την ασκηση. Προσωπικα δεν θεωρω σωστο να χρησιμοποιουμε εξιδανικευμενες ανισοτητες τυπου ΑΜ-ΓΜ ,BCS κτλπ. Αυτη η ασκηση βγαινει πολυ απλα ως εξης :
Προφανως : χ²+y²≥2xy , y²+z²≥2yz , z²+x² ≥2zx
πολλ κατα μελη και παιρνουμε: (χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 2xy2yz2zx = 8x²y²z² ό.έ.δ.
Μα στην ουσία, την AM-GM εφαρμόζεις, απλά λες ότι προφανώς ισχύει
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μια ανισότητα ακόμη:
Αν
(σχετικά εύκολη με έναν τρόπο, σχετικά πιο πολύπλοκη με έναν δεύτερο - μπορείτε να βρείτε περισσότερες από μία λύσεις? Για το Λύκειο, περισσότερο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
slash1994
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
a3+b3+c3 ≥ a²b²/a+b + b²c²/b+c + c²a²/c+a Toτε ναι θα την χρησιμοποιησω. Παρεπιπτοντως οποιος θελει ας την λυσει ειναι αρκετα απλη.
a,b,c θετικοι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 8x²y²z²
Θα ηθελα να παραθεσω και εγω την λυση μου σε αυτην την ασκηση. Προσωπικα δεν θεωρω σωστο να χρησιμοποιουμε εξιδανικευμενες ανισοτητες τυπου ΑΜ-ΓΜ ,BCS κτλπ. Αυτη η ασκηση βγαινει πολυ απλα ως εξης :
Προφανως : χ²+y²≥2xy , y²+z²≥2yz , z²+x²≥2zx
πολλ κατα μελη και παιρνουμε: (χ²+y²)(y²+z²)(z²+x²) ≥ 2xy2yz2zx = 8x²y²z² ό.έ.δ.
Για να πολλαπλασιάζεις κατά μέλη θα πρέπει να ξέρεις ότι το 2ο μέλος είναι θετικό αφού και το 1ο μέλος κάθε ανίσωσης είναι θετικό. Δεν ξέρεις όμως αν οι αριθμοί x,y,z είναι ομόσημοι ώστε τα γινόμενά τους να είναι θετικά. Π.χ. πάρε τις ανισότητες 5>-3, 2>-20 και 3>1. Αν πολλαπλασιάσεις τις πρώτες 2 κατά μέλη προκύπτει 10>60 ενώ αν πολλαπλασιάσεις και τις 3 κατά μέλη προκύπτει 30>60. Δεν είναι άτοπο και στις 2 περιπτώσεις;
Επειδή (x+y)²>=0 και (x-y)²>=0 για κάθε πραγματικούς αριθμούς x,y προκύπτει ότι ισχύουν οι σχέσεις x²+y²>=-2χy και x²+y²>=2xy για κάθε x,y ανήκει R. Από τις 2 τελευταίες σχέσεις εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει x²+y²>=2|x||y| για κάθε x,y ανήκει R (αποδεικνύεται με περιπτώσεις x,y>=0, x,y<0, x>=0 και y<0, x<0 και y>=0).
Άρα ισχύουν οι σχέσεις x²+y²>=2|x||y|, y²+z²>=2|y||z| και z²+x²>=2|z||x|. Αν πολλαπλασιάσω τις 3 ανισώσεις κατά μέλη των οποίων και τα 2 μέλη είναι μεγαλύτερα ή ίσα με το μηδέν, τότε προκύπτει:
(x²+y²)(y²+z²)(z²+x²)>=8|x|²|y|²|z|² => (x²+y²)(y²+z²)(z²+x²)>=8x²y²z²
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
slash1994
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Περναω τι λετε ?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
koum
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Ευελπιστω με 3 θεματα να περασω. Το κακο ειναι οτι στην πρωτη ξεχασα να βαλω τους περιορισμους και λενε οτι αυτο κοβει ενα βαθμο(Σημειωση :οι περιορισμοι δεν απερριπταν καμια λυση απλα σωστο ηταν να τους γραψουμε) . Στην τριτη ασκηση με την ανισοτητα την ελυσα με την ανισοτητα Andrescu αφου πρωτα την απεδειξα.
Περναω τι λετε ?
Κατά 95 % πέρασες.
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
slash1994
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Yparxos
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μα πρακτικά η ανισότητα που χρησιμοποίησες είναι γνωστή και ως ΑΜ-ΓΜ (κι εδώ που τα λέμε, δεν είναι και 'βαριά' για τη Μαθηματική Εταιρεία), απλώς μερικοί την θεωρούν γνωστή για να μην χάνουν χρόνο στις αποδείξεις τους.
Μια ανισότητα ακόμη:
Ανπλευρές τριγώνου και
η ημιπερίμετρος, δείξτε ότι
(σχετικά εύκολη με έναν τρόπο, σχετικά πιο πολύπλοκη με έναν δεύτερο - μπορείτε να βρείτε περισσότερες από μία λύσεις? Για το Λύκειο, περισσότερο)
Γεια χαρά,
μπορείς να κάνεις χιαστεί και να σπάσεις ο 8 σε 3 δυαρια. Βαζεις καθε ένα σε μια παρενθεση και μετα ειναι πιο ευκολο
![Clapup :clapup: :clapup:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/clapup.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
akis95
Δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
αρα β+γ-α=2(τ-α) και γ+α-β=2(τ-β) και α+β-γ=2(τ-γ)
οποτε β+γ-α/2=τ-α=χ ομοια και στα αλλα προκυπτει οτι
α=y+ω , β=ω+χ, γ=χ+y
και s=α+β+γ/2 (1)
στην παραπανω ανισωση αντικαθιστουμε οπου s την (1) κανουμε και απαλοιφη επειδη α,β,γ>0
τελος παντων μετα απο απαλοιφες προκυπτει οτι
(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ)<=αβγ
συμφωνα με αυτα που εγραψα πιο πανω προκυπτει οτι
8χyω<=(y+ω)(χ+ω)(χ+y)
μετα συμφωνα με χ+y>=2
![](/proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.e-steki.gr%2Fimages%2Fimported%2F2011%2F07%2Feqlatex5Csqrt7Bxy7D-1.gif&hash=fb69efa54b99d850c6b793629c4bbd55)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Γενικά όταν μας δίνονται πλευρές τριγώνου α,β,γ και παίζει τίποτα με ανισότητες, βολεύει να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό a = x+y, b = y+z, c = z+x, με x,y,z > 0.
Έτσι έχουμε ότι η ημιπερίμετρoς του τριγώνου τ = x+y+z, καθώς και a+b-c = 2y > 0 κ.ο.κ.
Ένας 2ος τρόπος τώρα.
Από Ήρωνα είναι γνωστό ότι
όπου Ε, s, a,b,c εμβαδόν, ημιπερίμετρος και πλευρές τριγώνου αντίστοιχα.
Επίσης
όπου R ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Τέλος
όπου r η ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Με γνωστά τα παραπάνω έχουμε
που ισχύει αφού
Πρόκληση: Αποδείξτε τις σχέσεις (1), (2), (3), (4) σύμφωνα με τον τρόπο που όρισα κάθε άγνωστο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν χ,y,ω > -1 να αποδειχθεί ότι
[(1+x^2)/(1+y+ω^2)]+[(1+y^2)/(1+ω+x^2)]+[(1+ω^2)/(1+χ+y^2)] >= 2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
akis95
Δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
SuXu-MuXu
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
να ρωτήσω: τι είναι η θεωρία τριωνύμου και πως αποδεικνύεται η ανισότητα B.C.S με τη βοήθειά της ;
Αυτό που χρειάζεσαι για την συγκεκριμένη αποόδειξη είναι να ξέρεις πως αν ένα τριώνυμο είναι πάντα θετικό ή πάντα αρνητικό τότε η διακρίνουσα του είναι αρνητική. Αντίθετα αν έχει μόνο μία (διπλή) ριζα η διακρίνουσα είναι ίση με το 0 και τέλος αν έχει δύο διαφορετικές ρίζες τότε η διακρίνουσα του θα είναι θετική.
Για την απόδειξη:
Άρα για την διακρίνουσα του τριωνύμου θα ισχύει Δ
Δηλαδή:
Μάλιστα η ισότητα ισχύει άν και μόνον αν το αρχικό τριώνυμο είναι ίσο με 0. Έτσι πάλι με χρήση της παραπάνω θεωρίας βρίσκουμε και πότε ισχύει η ισότητα στην Cauchy-Schwarz.
Αν και η απόδειξη είναι πρόχειρη ελπίζω να την καταλάβεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 278211
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο από τις πλευρές του πολυγώνου με ένα τμήμα το οποίο, όμως, να μην τέμνει κανένα από άλλα τέτοια τμήματα που οι παίκτες είχαν φέρει προηγουμένως. Θα χάσει ο παίκτης που πρώτος δε θα μπορέσει να φέρει ένα τέτοιο τμήμα.
Μπορεί ένας παίκτης να ακολουθήσει μια στρατηγική ώστε να νικήσει σίγουρα;
1ο θέμα, Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996
(με τρώει να πω την απάντηση...
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
SuXu-MuXu
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο από τις πλευρές του πολυγώνου με ένα τμήμα το οποίο, όμως, να μην τέμνει κανένα από άλλα τέτοια τμήματα που οι παίκτες είχαν φέρει προηγουμένως. Θα χάσει ο παίκτης που πρώτος δε θα μπορέσει να φέρει ένα τέτοιο τμήμα.
Μπορεί ένας παίκτης να ακολουθήσει μια στρατηγική ώστε να νικήσει σίγουρα;
1ο θέμα, Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996
(με τρώει να πω την απάντηση...)
Μήπως η εκφώνηση λέει πως κάθε παίκτης συνδέει δύο απο τις γωνίες του πολυγώνου;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 018946
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
τι να σε πω ρε φιλε δεν ξερω. Και γω αυτο σκευτικα στην αρχη αλλα ειδα πλευρες και παραξενευτηκα. Εσυ μπας και εχεις καμια ασκηση αλγεβρας σε στυλ θαλη?Μήπως η εκφώνηση λέει πως κάθε παίκτης συνδέει δύο απο τις γωνίες του πολυγώνου;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
arsentkd
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
απανταω εγώ αν και σε άλλον προοριζετε η ερωτηση...Εσυ μπας και εχεις καμια ασκηση αλγεβρας σε στυλ θαλη?
ριξε μια ματια εδω ... https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 (και γενικα σε αυτο τον ιστιοτοπο)βεβαια στην αρχη το επίπεδο ειναι χαμηλο αλλα αργοτερα "ανεβαινει" και μαλλον θα σου αρεσουν τα θεματα
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
επισης υπαρχουν αρχεία εδω στο ιντερνετ με θεματα απο οποιο σταδιο και ταξη θες(καλα αυτο θα το ξέρεις)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.