Ερώτηση για τα μαθηματικά Β' Γυμνασίου

[xrisamikol]

Μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος γιατί είναι λάθος η παρακάτω φράση;

Αν ένας αριθμός δεν είναι τετράγωνο ρητού τότε η τετραγωνική του ρίζα είναι άρρητος.

Δεν έχω καθαρό μυαλό για να σκεφτώ και χρειάζομαι κάποιον να μου το επεξηγήσει.

 

[eukleidhs1821]

γτ ειναι λαθος?σωστο ειναι.αφου η ριζα αυτου του αριθμου ισουται με τον αρρητο αρριθμο....μαλλον κατι αλλο θες να πεις και μπερδευτηκες.προφανως μιλαμε για θετικο αριθμο.

 

[Guest 765889]

Η πρόταση που παρέθεσες είναι σωστή.

Γιατί, πολύ απλά, το κλάσμα (p/q)^2 = (p^2)/(q^2) είναι ρητό από ιδιότητες δυνάμεων.

Το τετράγωνο ρητών είναι ρητό άρα κανένας ρητός δεν είναι ρίζα άρρητων.

Πιο απλή απόδειξη δεν υπάρχει, αν και αφήνω πολλά στην άκρη που θα ήθελα να σχολιάσω.

 

[eukleidhs1821]

Γιατί, πολύ απλά, το κλάσμα (p/q)^2 = (p^2)/(q^2) είναι ρητό από ιδιότητες δυνάμεων.

Το τετράγωνο ρητών είναι ρητό άρα κανένας ρητός δεν είναι ρίζα άρρητων.

Πιο απλή απόδειξη δεν υπάρχει, αν και αφήνω πολλά στην άκρη που θα ήθελα να σχολιάσω.

δεν τα λες σωστα φιλε.σου λεει ενας αριθμος που δεν προερχεται απο τετραγωνου ρητου επομενως προερχεται απο τετραγωνο αρρητου!η ριζα του αριθμου αυτου ισουται λοιπον με τον αρρητο.

 

[Guest 765889]

δεν τα λες σωστα φιλε.σου λεει ενας αριθμος που δεν προερχεται απο τετραγωνου ρητου επομενως προερχεται απο τετραγωνο αρρητου!η ριζα του αριθμου αυτου ισουται λοιπον με τον αρρητο.

ααα σωστά σορρυ το είδα βιαστικά γιατί γνώριζα την αντίστοιχη απόδειξη βιάστηκα να την γράψω

EDIT: Ανακαλώ και σού λέω ότι απέδειξα το σωστό πράγμα.

Ουσιαστικά απέδειξα ότι "το τετράγωνο άρρητου είναι άρρητος αριθμός" που είναι η ευθεία διατύπωση της αρχικής πρότασης (όπου ουσιαστικά άλλαξα το "δεν είναι τετράγωνο ρητού" στο μαθηματικά ισοδύναμο "είναι τετράγωνο αρρήτου").

Πάμε και πιο λεπτομερώς:

• Έστω n θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε να μην υπάρχει m τέτοιο ώστε n = m^2. Υποθέτουμε ότι ρίζα(n) είναι ρητός.
• Τότε θα υπάρχουν p και q με μοναδικό κοινό παράγοντα το 1, έτσι ώστε
  ρίζα(n) = p/q
• Οπότε προκύπτει από ύψωση στο τετράγωνο
  n = p^2/q^2.
• Όμως, το n είναι θετικός ακέραιος και υποθέσαμε ότι p,q δεν έχουν κοινό παράγοντα πέραν της μονάδας. Αναγκαστικά λοιπόν q = 1.
• Αυτό δίνει n = p^2, άτοπο.

Μάλιστα, μπορούμε να αποδείξουμε και το πιο ισχυρό: αν a,b θετικοί ακέραιοι, η ποσότητα a^(1/b) είναι είτε άρρητη είτε ακέραιος.

Υποθέτοντας προς άτοπο βρίσκουμε ότι a^(1/b) = x/y όπου y δεν διαιρεί x τότε a = {a^(1/b)}^b = x^b/y^b δεν είναι ακέραιος (γιατί y^b δεν διαιρεί x^b) που είναι άτοπο.

 

[xrisamikol]

Σας ευχαριστώ πολύ που αφιερωσατε χρόνο ώστε να απαντήσετε στο ερώτημα μου!

 

[xrisamikol]

Κάνω μια ακόμη ερώτηση.
Έκανα αυτή την άσκηση αλλά δεν κατάλαβα τι ζητάει το γ. Δεν μπορώ να καταλάβω ποιο μπορεί να είναι το ύψος της υποτείνουσας.

 

[monaxiko brizolaki]

.

 

[Cade]

(ABΓ) = cm^2*