Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Μαριλινάκι · 03-02-14

Γεια σας μπορείτε να με βοηθήσετε με την αντιπαραγώγιση του δεύτερου ερωτήματος από την άσκηση 21 του Μπάρλα β τεύχος σελ 370? Προκύπτει
f''(x)=(f'(x))2 - e(-x+f(x)) ( φ δίστονο = φτόνος του χ και όλο στο τετράγωνο - ε εις την -χκαι φ του χ ) Ευχαριστώ

!

rebel · 03-02-14

Γίνεται
$e^{-f(x)}f''(x)-e^{-f(x)}\left[f'(x)\right]^2=-e^{-x} \Rightarrow \left[f'(x)e^{-f(x)}\right]'=\left(e^{-x} \right)'$
και τα λοιπά.

Μαριλινάκι · 03-02-14

Κώστα ευχαριστώ πολύ με έιχε ταλαιπωρήσει πραγματικά ! Μπράβο σου!

tweetyslvstr · 03-02-14

Καλησπέρα και καλό μήνα. Θέλω να σε ρωτήσω πως λύνεται η παρακάτω άσκηση
η φ παραγωγίσιμη στο R , και φ'(χ)διαφορετικό του μηδενός για κάθε χε στο R να δειξετε ότι η φ γνησιως μονότονη στο R .

Civilara · 03-02-14

Αρχική Δημοσίευση από tweetyslvstr:
Καλησπέρα και καλό μήνα. Θέλω να σε ρωτήσω πως λύνεται η παρακάτω άσκηση
η φ παραγωγίσιμη στο R , και φ'(χ)διαφορετικό του μηδενός για κάθε χε στο R να δειξετε ότι η φ γνησιως μονότονη στο R .

https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=144736
Μήνυμα #9

rebel · 03-02-14

Αρχική Δημοσίευση από tweetyslvstr:
Καλησπέρα και καλό μήνα. Θέλω να σε ρωτήσω πως λύνεται η παρακάτω άσκηση
η φ παραγωγίσιμη στο R , και φ'(χ)διαφορετικό του μηδενός για κάθε χε στο R να δειξετε ότι η φ γνησιως μονότονη στο R .

Δύο εναλλακτικές προσεγγίσεις εδώ

tweetyslvstr · 04-02-14

καλησπέρα. Έστω η συνάρτηση φ δίκλαδη με 2χ^2-2 για χ<=1 και 2lnx για χ>1. Βρείτε την φ'

rebel · 04-02-14

Για χ<1 και χ>1 η συνάρτηση παραγωγίζεται και είναι εύκολο να βρεις την παράγωγο σύμφωνα με τους κανόνες παραγώγισης. Για να ελέγξεις αν είναι παραγωγίσιμη στο χ=1 (σημείο αλλαγής του τύπου της f) πρέπει να πάρεις τα όρια
$\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \,\,\, \lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
και να δεις αν συμπίπτουν.

konna96 · 09-02-14

καλημεραα...μια βοηθειαα..θελω να βρω εμβαδον για την f(X)=x-1/e^x-x ..αλλαα δε μπορω να βρω τη παραγουσαα..καμια βοηθεια? βγαινει..ή πρεπει να κανω κατι αλλο για να βρω το εμβαδον?

rebel · 9 Φεβρουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από konna96:
καλημεραα...μια βοηθειαα..θελω να βρω εμβαδον για την f(X)=x-1/e^x-x ..αλλαα δε μπορω να βρω τη παραγουσαα..καμια βοηθεια? βγαινει..ή πρεπει να κανω κατι αλλο για να βρω το εμβαδον?

(x-1)/( e^x-x )=( x-e^x+e^x-1 ) / ( e^x-x ) = -1 + ( e^x -1 ) / ( e^x -x ) = -1 + ( e^x-x )' / ( e^x-x )

konna96 · 09-02-14

οχχ ηταν ευκολο τελικααα..το σκεφτηκα αλλα δε το δοκιμασα στο χαρτι για να δω αν βγαινει..

..ευχαριστω πολυ!!

math98 · 10-02-14

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
εστω παραγωγισιμη,1-1 συναρτηση f:R-->R για την οποια υποθετουμε οτι f(2x-f(x))=x για καθε x στο R και επιπλεον υπαρχει a με f(a)=a.να δειξετε οτι f(x)=x για καθε x στο R.

Θα μπορούσε παρακαλώ κάποιος να δώσει τη λύση αυτής της άσκησης ??

Μάγδα Μάγδα · 11-02-14

Να λυθεί η εξίσωση xlnx=2x-e.
Έχω βρει την x=e ως προφανή λύση και προσπαθώ να δικαιολογίσω την μοναδικότητά της με χρηση μονοτονιας της συνάρτησης που ορίζω ως f(x)=xlnx - 2x+e , x>0. Ωστόσο, δυσκολέυομαι να προσδιορίσω την μονοτονία της...μια βοήθεια??

lowbaper92 · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από Μάγδα Μάγδα:
Να λυθεί η εξίσωση xlnx=2x-e.
Έχω βρει την x=e ως προφανή λύση και προσπαθώ να δικαιολογίσω την μοναδικότητά της με χρηση μονοτονιας της συνάρτησης που ορίζω ως f(x)=xlnx - 2x+e , x>0. Ωστόσο, δυσκολέυομαι να προσδιορίσω την μονοτονία της...μια βοήθεια??

Χρησιμοποίησε την $f''$ , βρες τη μονοτονία της $f'$ , και από εκεί βρες το ελάχιστο της $f$

rebel · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από Μάγδα Μάγδα:
Να λυθεί η εξίσωση xlnx=2x-e.
Έχω βρει την x=e ως προφανή λύση και προσπαθώ να δικαιολογίσω την μοναδικότητά της με χρηση μονοτονιας της συνάρτησης που ορίζω ως f(x)=xlnx - 2x+e , x>0. Ωστόσο, δυσκολέυομαι να προσδιορίσω την μονοτονία της...μια βοήθεια??

Αλλιώς η $f$ είναι κυρτή, η $y=2x-e$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $(e,e)$ οπότε θα είναι όλη κάτω από την $C_f$ με εξαίρεση το σημείο επαφής που έχουμε ισότητα.

vimaproto · 11-02-14

Ωστόσο, δυσκολέυομαι να προσδιορίσω την μονοτονία της...μια βοήθεια??

Μα δεν είναι μονότονη
Οπως λέει και ο χάρης η f'=0 όταν χ=e και η f''=1/x>0 δηλ. η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Ετσι στο χ=e η f έχει την ελάχιστη τιμή που είναι f(e)=0. η χ=e είναι η μοναδική λύση της f.

rebel · 11-02-14

Αυτή η συζήτηση ίσως βοηθήσει. Εκεί βέβαια υπάρχει και η επιπλέον υπόθεση $f'(x) \neq 0$ .

math98 · 11-02-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Αυτή η συζήτηση ίσως βοηθήσει. Εκεί βέβαια υπάρχει και η επιπλέον υπόθεση $f'(x) \neq 0$ .

Ευχαριστώ πολύ!
Φαίνεται ότι η λύση της άσκησης ξεφεύγει λίγο...

Lost in the Fog · 11-02-14

καλησπερα σας...μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις...

lowbaper92 · 11-02-14

Δ1

α)
$\left({x}^{2}+1 \right)f'\left(x \right)={\left(x-1 \right)}^{2}f\left(x \right)+1\Leftrightarrow\left({x}^{2}+1 \right)f'\left(x \right)=\left({x}^{2} -2x+1\right)f\left(x \right)+1\Leftrightarrow \left({x}^{2}+1 \right)f'\left(x \right)+2xf\left(x \right)=\left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)+1\Leftrightarrow \left({x}^{2}+1 \right)f'\left(x \right)+\left({x}^{2}+1 \right)'f\left(x \right)=\left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)+1\Leftrightarrow \left[\left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)\right]'=\left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)+1$

Για να μπορέσουμε να εκμεταλλευτούμε ότι $f'\left(x \right)=f\left(x \right)\Leftrightarrow f\left(x \right)=c{e}^{x}$ , προσθέτουμε μια μονάδα στο αριστερό μέλος, που δεν επηρεάζει τη σχέση γιατί παραγωγίζεται και γίνεται μηδέν. Άρα

$\left[\left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)+1\right]'=\left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)+1\Leftrightarrow \left({x}^{2}+1 \right)f\left(x \right)+1=c{e}^{x}\stackrel{c=1}{ \Longleftrightarrow} f\left(x \right)=\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}+1},\; x\in \mathbb{R}$

β)
$f'\left(x \right)=\frac{{e}^{x}\left({x}^{2}+1 \right)-2x\left({e}^{x}-1 \right)}{{\left({x}^{2}+1 \right)}^{2}}$
Ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, οπότε μας ενδιαφέρει πότε μηδενίζεται ο αριθμητής. Ορίζουμε:

$g\left(x \right)={e}^{x}\left({x}^{2}+1 \right)-2x\left({e}^{x}-1 \right),\; x\in \left[-1,0 \right]$
δηλαδή
$f'\left(x \right)=\frac{g\left(x \right)}{{\left({x}^{2}+1 \right)}^{2}}$

$\bullet \; g\left(-1 \right)=...=\frac{2}{e}\left(2-e \right)<0$
$\bullet \; g\left(0 \right)=...=1>0$

Από Bolzano, υπάρχει $\xi \in \left(-1,0 \right): g\left(\xi \right)=0\Leftrightarrow f'\left(\xi \right)=0$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος