1)δειξτε οτι lnx<=x-1
2)Aν f(x)ημχ+χ>=0,δειξτε οτι f(0)=-1
3)Aν α>β>0,δειξτε οτι e^(α-β) > 1+α/1+β
4)Αν f(x)>=x+1 και η f διερχεται απο το (0,1),να βρεθει το f'(0).
υ.γ γνωριζω τη μεθοδολογια οπου τα φερνω ολα στο πρωτο μελος και μετα θετω(π,χ. οπως η ασκηση 1)...αλλα κολλαω στη συνεχεια και δεν ξερω τι να κανω..

καμια βοηθεια/ιδεα κανεις???
1) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x-lnx με πεδίο ορισμού το A=(0,+oo).
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=1-(1/x)=(x-1)/x, x>0. Παρατηρούμε ότι f΄(1)=0 και η εξίσωση f΄(x)=0 δεν έχει άλλη λύση.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,1). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (1,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο).
Συνεπώς η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=1 με τιμή f(1)=1. Άρα για κάθε x ανήκει (0,+οο) έχουμε:
f(x)>=f(1) <=> x-lnx>=1 <=> lnx<=x-1
2) Επειδή δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f θεωρείται ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α,β τέτοιοι ώστε -π<=α<0<β<=π ώστε η f να είναι ορισμένη στο (α,β) και ότι η f είναι συνεχής στο x0=0. Συνεπώς για κάθε x ανήκει (α,β) ισχύει f(x)ημx+x>=0 <=> f(x)ημx>=-x
Γνωρίζουμε ότι lim(x->0)(ημx/x)=1. Συνεπώς lim(x->0)(x/ημx)=1/lim(x->0)(ημx/x)=1/1=1. Συνεπώς
lim(x->0)(x/ημx)=1 <=> lim(x->0-)(x/ημx)=lim(x->0+)(x/ημx)=1
Επειδή η f είναι συνεχής στο x0 και ορισμένη στα διαστήματα (α,0], [0,β) τότε ισχύει η ισοδυναμία:
lim(x->0)f(x)=f(0) <=> lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=f(0)
Αν x ανήκει (α,0) τότε ισχύει ημx<0 αφού ισχύει ημx<0 για κάθε x ανήκει (-π,0). Άρα τότε προκύπτει:
f(x)ημx>=-x => f(x)<=-(x/ημx) => lim(x->0-)f(x)<=-lim(x->0-)(x/ημx) => f(0)<=-1
Αν x ανήκει (0,β) τότε ισχύει ημx>0 αφού ισχύει ημx>0 για κάθε x ανήκει (0,π). Άρα τότε προκύπτει:
f(x)ημx>=-x => f(x)>=-(x/ημx) => lim(x->0+)f(x)>=-lim(x->0+)(x/ημx) => f(0)>=-1
Από τις σχέσεις f(0)<=-1 και f(0)>=-1 προκύπτει ότι f(0)=-1
3) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(e^x)/(x+1) με πεδίο ορισμού το Α=(-οο,-1)U(-1,+οο)
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=((e^x)΄(x+1)-(e^x)(x+1)΄)/((x+1)^2)=((e^x)(x+1)-(e^x))/((x+1)^2)=(x(e^x))/((x+1)^2)
Παρατηρούμε ότι f΄(0)=0 και η εξίσωση f΄(x)=0 δεν έχει άλλη λύση.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και για κάθε x στο (0,+οο) ισχύει f΄(x)>0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).
Επομένως για α>β>0 θα ισχύει f(α)>f(β) καθώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Έτσι λοιπόν έχουμε:
α>β>0 => f(α)>f(β) => (e^α)/(α+1)>(e^β)/(β+1) => (e^α)/(e^β)>(α+1)/(β+1) => e^(α-β)>(1+α)/(1+β)
4) f(x)>=x+1
Η Cf διέρχεται από το (0,1) => f(0)=1
Επειδή δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f, θεωρούμε ότι υπάρχουν α,β ανήκουν R με α<0<β ώστε η f να είναι ορισμένη στο (α,β) και για κάθε x στο (α,β) να ισχύει f(x)>=x+1. Παρατηρούμε ότι για x=0 η ανισότητα γίνεται f(0)>=1 που ικανοποιείται αφού f(0)=1.
Δεν δίνεται στην εκφώνηση αλλά πρέπει να γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. Επειδή λοιπόν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε προκύπτει:
f΄(0)=lim(x->0)(((f(x)-f(0))/(x-0))=lim(x->0)((f(x)-1)/x)
Επειδή η f ορίζεται στα διαστήματα (α,0), (0,β) τότε ισχύει η ισοδυναμία:
lim(x->0)((f(x)-1)/x)=f΄(0) <=> lim(x->0-)((f(x)-1)/x)=lim(x->0+)((f(x)-1)/x)=f΄(0)
Έχουμε
f(x)>=x+1 => f(x)-1>=x για κάθε x στο (α,β)
Για x στο (α,0) είναι x<0, οπότε
(f(x)-1)/x<=1 => lim(x->0-)[(f(x)-1)/x)<=lim(x->0-)1 => f΄(0)<=1
Για x στο (β,0) είναι x>0, οπότε
(f(x)-1)/x>=1 => lim(x->0+)[(f(x)-1)/x)>=lim(x->0+)1 => f΄(0)>=1
Από τις σχέσεις f΄(0)<=1 και f΄(0)>=1 προκύπτει ότι f΄(0)=1