1)εστω f, g :R-->R
3g(x)+f(x-1)=g(g(x)) για καθε χ ε R
Av n f ειναι ''1-1'':
α)τοτε νδ.ο η g ειναι ''1-1''
β)να λυθει η εξισωση g((e^x)+x+1)=g(2-(x^3))
Έχουμε Df=Dg=R και για κάθε x ανήκει R ισχύει 3g(x)+f(x-1)=g(g(x)) <=> f(x-1)=g(g(x))-3g(x)
α) Η συνάρτηση f είναι 1-1 στο R. Επομένως για κάθε x1,x2 στο R ισχύει η συνεπαγωγή
f(x1)=f(x2) => x1=x2 για
Για κάθε x1,x2 στο R με g(x1)=g(x2) έχουμε:
g(x1)=g(x2) => g(g(x1))=g(g(x2))
Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 τελευταίες σχέσεις προκύπτει:
g(g(x1))+g(x1)=g(g(x2))+g(x2) => f(x1-1)=f(x2-1) => x1-1=x2-1 (αφού η f είναι 1-1) => x1=x2
Επομένως για κάθε x1,x2 στο R με g(x1)=g(x2) ισχύει x1=x2. Επομένως η g είναι 1-1
Όταν x1=x2 τότε προφανώς g(x1)=g(x2) οπότε για κάθε x1,x2 στο R ισχύει η ισοδυναμία
g(x1)=g(x2) <=> x1=x2
β) g((e^x)+x+1)=g(2-(x^3)) <=> (e^x)+x+1=2-(x^3) (αφού η g είναι 1-1) <=> (e^x)+(x^3)+x=1
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(e^x)+(x^3)+x η οποία έχει πεδίο ορισμού το Dh=R
Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(x)=(e^x)+3(x^2)+1>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως είναι 1-1.
Έχουμε h(0)=(e^0)+(0^3)+0=1. Επομένως η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
h(x)=h(0) <=> x=0 αφού η h είναι 1-1
2)δινεται η συναρτηση f(x)=-(x^3)-x+12
i)N.δ.ο η f αντιστρεφεται
ιι)να βρεθουν τα σημεια τομης τησ CF^-1 με την ευθεια ψ=χ
ιιι) να λυθει η ανισωση f^(-1) [(f|x|-1)+8]<1
i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της A=R με πρώτη παράγωγο f΄(x)+-3(x^2)-1=-(3(x^2)+1)<0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Συνεπώς η f είναι 1-1 και άρα αντιστρέφεται.
Έχουμε lim(x->-άπειρο)f(x)=+άπειρο και lim(x->+άπειρο)f(x)=-άπειρο και επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο R τότε το πεδίο τιμών της είναι f(A)=(-άπειρο,+άπειρο)=R.
Επομένως ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) για κάθε x ανήκει A και y ανήκει f(A)
Με αντικατάσταση y=f(x) στο δεύτερο σκέλος της ισοδυναμίας προκύπτει (f-1)(f(x))=x για κάθε x ανήκει A
Με αντικατάσταση x=(f-1)(y) στο δεύτερο σκέλος της ισοδυναμίας προκύπτει f((f-1)(y))=y για κάθε y ανήκει f(A)
ii) Ζητούνται να βρεθούν τα σημεία (x,(f-1)(x)) των οποίων οι τετμημένες είναι λύσεις της εξίσωσης (f-1)(x)=x όπου x ανήκει f(A)=R.
Έχουμε:
(f-1)(x)=x => f((f-1)(x))=f(x) => x=f(x) <=> f(x)=x όπου x ανήκει R
Επίσης για f(x)=x όπου x ανήκει R προκύπτει ότι:
f(x)=x => (f-1)(f(x))=(f-1)(x) => x=(f-1)(x) => (f-1)(x)=x όπου x ανήκει R
Επομένως οι εξισώσεις (f-1)(x)=x και f(x)=x είναι ισοδύναμες καθώς A=f(A)=R. Έχουμε
(f-1)(x)=x <=> f(x)=x <=> -(x^3)-x+12=x <=> (x^3)+2x=12
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(x^3)+2x με πεδίο ορισμού το Dh=R. Η συνάρτηση h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(x)=3(x^2)+2>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως είναι 1-1.
Έχουμε h(2)=(2^3)+2*2=8+4=12. Επομένως η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
h(x)=h(2) <=> x=2 (αφού η h είναι 1-1)
iii) Θεωρείται η ανίσωση (f-1)[f(|x|-1)+8]<1 (ακόμη και να μην είναι αυτή ακριβώς λύνεται με τον ίδιο τρόπο γιατί δεν καταλαβαίνω ακριβώς ποια είναι η ανίσωση έτσι όπως την έχεις γράψει)
Η συνάρτηση f είναι 1-1 και γνησίως φθίνουσα στο A=R. Επομένως και η f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(A)=R (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενα post η πρόταση αυτή).
Έχουμε
f(1)=-(1^3)-1+12=-1+11=10 <=> (f-1)(10)=1.
f(2)=-(2^3)-2+12=-8+10=2
Άρα
(f-1)[f(|x|-1)+8]<1 <=> (f-1)[f(|x|-1)+8]<(f-1)(10) <=> f(|x|-1)+8>10 (αφού η f-1 είναι γνησίως φθίνουσα) <=> f(|x|-1)>2 <=> f(|x|-1)>f(2) <=> |x|-1<2 (αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα) <=> |x|

<=> -3<x
