Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 10-01-12

Δεν βλέπω κάτι εναλλακτικό στο 1ο ερώτημα για να βρεις τον συναρτησιακό τύπο από την ανισότητα. Mπορώ βέβαια να σου εξηγήσω κάποιο σημείο που δεν καταλαβαίνεις. Για το 5ο συνεχίζοντας από την τελευταία ανισότητα έχουμε ισοδύναμα:
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \Leftrightarrow \frac{f(x_2)-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\frac{x_1+x_2}{2}}>\frac{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-f(x_1)}{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1}\,\,(*)$
Aπό Θ.Μ.Τ. υπάρχουν
$\xi_1 \in \left(x_1,\frac{x_1+x_2}{2}\right),\,\xi_2\in \left(\frac{x_1+x_2}{2},x_2\right)$ με
$f'(\xi_1)=\frac{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-f(x_1)}{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1}$ και $f'(\xi_2)=\frac{f(x_2)-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\frac{x_1+x_2}{2}}$
οπότε από (*) έχουμε ισοδύναμα
$f'(\xi_2)>f'(\xi_1)$ η οποία είναι αληθής αφού η f είναι κυρτή, ισοδύναμα η f' γνησίως αύξουσα.

WoodyWoodperker · 10-01-12

Mα εμεις δεν πρεπει να φτασουμε στο εξης?:Αν χ2>χ1>0 τοτε:x1^x1 * x2^x2>(x1/2 +x2/2)^x1+x2
Βοηθησε με.Επισης μπορεις να μου εξηγησεις την νοοτροπια του 1ου ερωτηματος?Τα ορια και τα λοιπα.Τα επαιξα ολιγον.

rebel · 10-01-12

Αρχική Δημοσίευση από WoodyWoodperker:
Mα εμεις δεν πρεπει να φτασουμε στο εξης?:Αν χ2>χ1>0 τοτε:x1^x1 * x2^x2>(x1/2 +x2/2)^x1+x2

Από την τελευταία σχέση που ισχύει, μέσω των ισοδυναμιών φθάνει σε αυτήν που λές, στην αρχική. Πολλές φορές όταν θέλουμε να αποδείξουμε έναν ισχυρισμό, προχωράμε με ισοδυναμίες μέχρι να φθάσουμε σε κάτι που ισχύει. Τότε λόγω των ισοδυναμιών θα ισχύει ο αρχικός ισχυρισμός.
Παράδειγμα
Να δειχθεί ότι $a+\frac{1}{a} \geq 2,\,\,\forall a>0$
H σχέση που πρέπει να αποδειχθεί γίνεται ισοδύναμα για κάθε α>0:
$a+\frac{1}{a} \geq 2 \Leftrightarrow a^2+1 \geq 2a \Leftrightarrow a^2-2a+1 \geq 0 \Leftrightarrow (a-1)^2 \geq 0$
Η τελευταία σχέση είναι αληθής άρα μέσω των ισοδυναμιών και η αρχική σχέση θα είναι αληθής.

Αρχική Δημοσίευση από WoodyWoodperker:
Βοηθησε με.Επισης μπορεις να μου εξηγησεις την νοοτροπια του 1ου ερωτηματος?Τα ορια και τα λοιπα.Τα επαιξα ολιγον.

Γενικά η νοοτροπία είναι ότι αφού μου δίνουν μία ανισότητα και ψάχνω να βρω τον τύπο της συνάρτησης f(η οποία ελπίζω ότι έιναι παραγωγίσιμη κάτι που δεν αναφέρεται στην εκφώνησή σου) πρέπει να δουλέψω με πλευρικά όρια ώστε να καταλήξω σε σχέση της μορφής $g'(x)\leq 1/x \,\forall x>0 \kappa\alpha\iota\,g'(x) \geq 1/x \, \forall x>0$ που αυτό συνεπάγεται $g'(x)=1/x \,\forall x>0$ . Σταθεροποιώ λοιπόν ένα $x_0>0$ . Η f είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ άρα και η g είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ . Αυτό σημαίνει σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου ότι
$\lim_{x\to x_0^-}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^+}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=g'(x_0)\,\,(1)$
Για $x>x_0$ είναι
$\lim_{x\to x_0^+}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\stackrel{x=x_0h,\,h>1}{=}\lim_{h\to 1^+}\frac{g(x_0h)-g(x_0)}{x_0(h-1)}\,(2)$
Αυτό προκύπτει από το θεώρημα σχετικά με το όριο σύνθετης συνάρτησης(σελ. 173 σχολικό). Tώρα επειδή $h-1>0,\,g(1)=0$ , από την ανισότητα $g(x_0h)\leq g(x_0)+g(h)$ έχω
$g(x_0h)-g(x_0)\leq g(h) \Rightarrow \frac{g(x_0h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \leq \frac{g(h)}{x_0(h-1)} \Rightarrow \frac{g(x_0h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \leq \frac{g(h)-g(1)}{x_0(h-1))}$ .
Από το θεώρημα 2 σελ. 166 σχολικού μπορώ σε αυτή την ανισότητα να περάσω όρια οπότε
$\lim_{h\to 1^+}\frac{g(x_0h)-g(x_0)}{x_0(h-1)} \leq \lim_{h\to1^+}\frac{g(h)-g(1)}{x_0(h-1)}\,(3)$
Όμως
$\lim_{h\to1^+}\frac{g(h)-g(1)}{x_0(h-1)}=\frac{1}{x_0}\lim_{h\to1^+}\frac{g(h)-g(1)}{(h-1)}=\frac{1}{x_0}g'(1)=\frac{1}{x_0}$
Άρα από τις σχέσεις (1),(2),(3) και την τελευταία έχω $g'(x_0) \leq \frac{1}{x_0}$ . Εντελώς όμοια αποδεικνύεται και ότι $g'(x_0) \geq \frac{1}{x_0}$ . To μόνο που αλλάζει είναι παίρνω αριστερά πλευρικά όρια(για $x<x_0$ ) κι ότι επειδή h<1 όταν διαιρώ την ανισότητα με h-1 αλλάζει η φορά και γίνεται $\geq$ . Άρα για το τυχαίο $x_0>0$ απέδειξα ότι $g'(x_0)=\frac{1}{x_0}$ . Αυτό σημαίνει ότι $g'(x)=\frac{1}{x},\,\forall x>0$ . Από εδώ για κάθε χ>0 έχουμε
$g'(x)=\frac{1}{x} \Rightarrow g'(x)=(\ln x)' \Rightarrow g(x)= \ln x + c$
H τελευταία συνεπαγωγή προέκυψε από το πόρισμα σελ 251 σχολικού.
Επειδή $g(1)=0$ αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση χ=1 έχω $c=0$ . Άρα τελικά $g(x)=\ln x \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\ln x \Rightarrow f(x)=x \ln x$ . Ένα τελευταίο βήμα είναι να επαληθεύσουμε ότι η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την αρχική ανισότητα για κάθε χ,y>0. Πράγματι
$xy \ln (xy)= xy (\ln x + \ln y ) = xy \ln x + xy \ln y$ . Τελειώσαμε!

mpko · 10-01-12

Νομίζω πώς οι εξηγήσεις του Κώστα είναι πολύ έως τελείως ολοκληρωμένες! Όσο για το τελευταίο ερώτημα η άσκηση λύθηκε με την προϋπόθεση ότι έχει γίνει λάθος στην αντιγραφή και γράφτηκε αυτό '' x1^x1 * x2^x2>(x1/2 +x2/2)^x1+x2 " , αντί γι' αυτό " x1^x1 * x2^x2>(x1/2 +x2/2)^(x1+x2)". Όντως όταν αποδεικνύεις κάτι είτε αυτό γίνεται με Θ.Μ.Τ. είτε με οτιδήποτε άλλο, άν καταλήξεις σε κάτι που ισχύει με διπλή ισοδυναμία, τότε ισχύει και η αρχική σου υπόθεση.

WoodyWoodperker · 11 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δεν βλέπω κάτι εναλλακτικό στο 1ο ερώτημα για να βρεις τον συναρτησιακό τύπο από την ανισότητα. Mπορώ βέβαια να σου εξηγήσω κάποιο σημείο που δεν καταλαβαίνεις. Για το 5ο συνεχίζοντας από την τελευταία ανισότητα έχουμε ισοδύναμα:
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \Leftrightarrow \frac{f(x_2)-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}{x_2-\frac{x_1+x_2}{2}}>\frac{f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-f(x_1)}{\frac{x_1+x_2}{2}-x_1}\,\,(*)$

Αυτο δεν εχω καταλαβει,πως πηγαινεις ?

mpko · 10-01-12

Δεν είχα σκάνερ και αν καθόμουν να το γράψω εδώ θα τελείωνα μεθαύριο.
Απλά σκέψου ότι |x1 - (x1+x2)/2|=|(x1+x2)/2 - x2| γιατί το (x1+x2)/2 είναι το ημιάθροισμα x1,x2 το οποίο βρίσκεται πάντα στο ''μέσο'' του διαστήματος [x1,x2].

dimijim · 11-01-12

Λοιπόν θα δώσω 2 ασκήσεις
Η πρώτη δεν είναι της εποχής, έχω τη λύση της αλλά θεωρώ πως είναι απ τις καλύτερες ασκήσεις που έχω πετύχει φέτος και σας τη δίνω για να τη δείτε. Δεν πρέπει να την υποτιμήσετε όσο εύκολη κι αν φαίνεται.
Τη δεύτερη μας την έβαλε η καθηγήτρια στο σχολείο. Προσπάθησα να τη λύσω αλλά δεν κατάφερα να στήσω τον Rolle αν και το πάλεψα αρκετά. Οπότε εάν κάποιος έχει καμιά ιδεά ας βοηθήσει.

1. Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει |z-4|=2 και z-6i=2w+4.
Να βρείτε:
α) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w
β) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z-w|

2. Έστω f παραγωγίσιμη στο R συναρτηση με f(1)=4 και f(2)=3.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ που ανήκει στο (1,2) τέτοιο ώστε f(ξ)+ξ*f'(ξ)=f'(ξ)+3ξ^2-2ξ.

Bl4Ck_PyTh0N! · 11-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
Λοιπόν θα δώσω 2 ασκήσεις
Η πρώτη δεν είναι της εποχής, έχω τη λύση της αλλά θεωρώ πως είναι απ τις καλύτερες ασκήσεις που έχω πετύχει φέτος και σας τη δίνω για να τη δείτε. Δεν πρέπει να την υποτιμήσετε όσο εύκολη κι αν φαίνεται.
Τη δεύτερη μας την έβαλε η καθηγήτρια στο σχολείο. Προσπάθησα να τη λύσω αλλά δεν κατάφερα να στήσω τον Rolle αν και το πάλεψα αρκετά. Οπότε εάν κάποιος έχει καμιά ιδεά ας βοηθήσει.

1. Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει |z-4|=2 και z-6i=2w+4.
Να βρείτε:
α) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w
β) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z-w|

2. Έστω f παραγωγίσιμη στο R συναρτηση με f(1)=4 και f(2)=3.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ που ανήκει στο (1,2) τέτοιο ώστε f(ξ)+ξ*f'(ξ)=f'(ξ)+3ξ^2-2ξ.

Φίλε,στη δεύτερη άσκηση μήπως εννοείς πως f(1)=3 και f(2)=4 ? Γιατί με τα δεδομένα που δίνεις δε μπορώ να τη βγάλω με Rolle,ενώ ανάποδα όπως το δίνω παραπάνω βγαίνει αρκετά γρήγορα.

dimijim · 11-01-12

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Φίλε,στη δεύτερη άσκηση μήπως εννοείς πως f(1)=3 και f(2)=4 ? Γιατί με τα δεδομένα που δίνεις δε μπορώ να τη βγάλω με Rolle,ενώ ανάποδα όπως το δίνω παραπάνω βγαίνει αρκετά γρήγορα.

Έτσι μας την έδωσε σήμερα στο σχολείο και μάλιστα είπε πως είναι "καλή" και να τη δούμε.
Κι εγώ το παίδεψα με Rolle αλλά δεν έβγαλα άκρη.
Τώρα είτε έχει κάποιο κόλπο είτε όντως μας την έχει δώσει με λάθος νούμερα.

paladin_k20 · 11-01-12

Εστω ενα πολυωνυμο τριτου βαθμου f(x) με ριζες ρ1,ρ2,ρ3 διαφορετικες ανα δυο.Να δειξετε οτι ρ1/f '(ρ1) + ρ2/f '(ρ2) + ρ3/f '(ρ3)=0....μας την εδωσαν στη σχολη αλλα χρειαζεται γνωσεις Γ λυκειου.Δεν τα θυμαμαι και πολυ καλα...any ideas?

Bl4Ck_PyTh0N! · 11-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
Έτσι μας την έδωσε σήμερα στο σχολείο και μάλιστα είπε πως είναι "καλή" και να τη δούμε.
Κι εγώ το παίδεψα με Rolle αλλά δεν έβγαλα άκρη.
Τώρα είτε έχει κάποιο κόλπο είτε όντως μας την έχει δώσει με λάθος νούμερα.

Τι να σου πω. Εγώ πάντως προσπάθησα ως εξής : Θεώρησα Φ(x)=(x-1)(f(x)-x²) / x ε [1,2] και εφαρμόζω Θ.Rolle στο [1,2]. Για να μην τα πολυλογώ βγαίνει G'(ξ)=-1 <=> f(ξ)+ξf'(ξ)-3ξ²+ξ²=-1 κι όχι 0 που πρέπει. :hmm:

dimijim · 11-01-12

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Τι να σου πω. Εγώ πάντως προσπάθησα ως εξής : Θεώρησα Φ(x)=(x-1)(f(x)-x²) / x ε [1,2] και εφαρμόζω Θ.Rolle στο [1,2]. Για να μην τα πολυλογώ βγαίνει G'(ξ)=-1 <=> f(ξ)+ξf'(ξ)-3ξ²+ξ²=-1 κι όχι 0 που πρέπει.

Εγώ θεώρησα συνάρτηση g(x)=x*f(x)-f(x)-x^3+x^2 αλλα δεν μπόρεσα να στήσω Rolle
Βγαζει g(1)=0 και g(2)=-1...

Bl4Ck_PyTh0N! · 11-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
Εγώ θεώρησα συνάρτηση g(x)=x*f(x)-f(x)-x^3+x^2 αλλα δεν μπόρεσα να στήσω Rolle
Βγαζει g(1)=0 και g(2)=-1...

Την ίδια συνάρτηση έχουμε.Απλά εγώ προχώρησα σε μια περαιτέρω ομαδοποίηση.

rebel · 12 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από paladin_k20:
Εστω ενα πολυωνυμο τριτου βαθμου f(x) με ριζες ρ1,ρ2,ρ3 διαφορετικες ανα δυο.Να δειξετε οτι ρ1/f '(ρ1) + ρ2/f '(ρ2) + ρ3/f '(ρ3)=0....μας την εδωσαν στη σχολη αλλα χρειαζεται γνωσεις Γ λυκειου.Δεν τα θυμαμαι και πολυ καλα...any ideas?

Η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι
$f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3),\,a \neq 0$ με $f'(x)=a\left[(x-r_2)(x-r_3)+(x-r_1)(x-r_3)+(x-r_1)(x-r_2)]$ οπότε
$\frac{r_1}{f'(r_1)}+\frac{r_2}{f'(r_2)}+\frac{r_3}{f'(r_3)}=\frac{1}{a}\left(\frac{r_1}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}+\frac{r_2}{(r_2-r_1)(r_2-r_3)}+\frac{r_3}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}\right)=\frac{1}{a}\left(\frac{r_1}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}-\frac{r_2}{(r_1-r_2)(r_2-r_3)}+\frac{r_3}{(r_1-r_3)(r_2-r_3)}\right)$
Αν κάνεις τα κλάσματα ομώνυμα και προσθέσεις, ο αριθμητής είναι 0 οπότε τελειώσαμε.

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
2. Έστω f παραγωγίσιμη στο R συναρτηση με f(1)=4 και f(2)=3.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ που ανήκει στο (1,2) τέτοιο ώστε f(ξ)+ξ*f'(ξ)=f'(ξ)+3ξ^2-2ξ.

Απλά χρειάζεται ένα ενδιάμεσο βήμα. Έστω $g(x)=f(x)-x^2$ και $h(x)=(x-1)g(x)$ . Είναι $g(1)=3,\,g(2)=-1$ κι έτσι από Θ. Bolzano υπάρχει $\rho \in (1,2):\,g(\rho)=0$ . Τώρα ισχύουν για την h οι προυποθέσεις του Θ.Rolle στο $[1,\rho] \subset [1,2]$ οπότε πράγματι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ώστε...

Kostas741 · 12-01-12

Παιδια οποτε μπορειτε βοηθειστε με λιγο στην ασκηση του Μπαρλα\Τευχος Β\σελ 60/ασκηση 16 γιατι δε ξερω τι να κανω

drosos · 12-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
Εγώ θεώρησα συνάρτηση g(x)=x*f(x)-f(x)-x^3+x^2 αλλα δεν μπόρεσα να στήσω Rolle
Βγαζει g(1)=0 και g(2)=-1...

Και σε μενα τα ιδια... Μαλλον λαθος νουμερα, αφου δεν μπορεις να κανεις bolzano ουτε να πας απο συνολο τιμων...

dimijim · 12-01-12

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Και σε μενα τα ιδια... Μαλλον λαθος νουμερα, αφου δεν μπορεις να κανεις bolzano ουτε να πας απο συνολο τιμων...

Τα νούμερα είναι ολόσωστα.
Τα τσεκάραμε και σήμερα στο σχολείο ξανά.
Μας άφησε κι άλλη μέρα για να τη σκεφτούμε την άσκηση...

lowbaper92 · 12-01-12

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Και σε μενα τα ιδια... Μαλλον λαθος νουμερα, αφου δεν μπορεις να κανεις bolzano ουτε να πας απο συνολο τιμων...

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
Τα νούμερα είναι ολόσωστα.
Τα τσεκάραμε και σήμερα στο σχολείο ξανά.
Μας άφησε κι άλλη μέρα για να τη σκεφτούμε την άσκηση...

Μάλλον είναι καιρός να πάτε μια βόλτα απ'τον οφθαλμίατρο. Η άσκηση έχει λυθεί απ'τον Κώστα 2 ποστ παραπάνω.

mpko · 12-01-12

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Μάλλον είναι καιρός να πάτε μια βόλτα απ'τον οφθαλμίατρο. Η άσκηση έχει λυθεί απ'τον Κώστα 2 ποστ παραπάνω.

Χαχαχα.:p Ναι ρε παιδιά ο Κώστας ανέβασε χθες τη λύση και μάλιστα ήταν και ιδιαίτερα έξυπνη.

dimijim · 14 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από mpko:
Χαχαχα.:p Ναι ρε παιδιά ο Κώστας ανέβασε χθες τη λύση και μάλιστα ήταν και ιδιαίτερα έξυπνη.

Σωστά...
Όταν μπήκα επεσα απευθείας κάτω και δεν είδα τη λύση πάνω!
Καλή ασκησούλα, είχε κόλπο...

Αρχική Δημοσίευση από Kostas741:
Παιδια οποτε μπορειτε βοηθειστε με λιγο στην ασκηση του Μπαρλα\Τευχος Β\σελ 60/ασκηση 16 γιατι δε ξερω τι να κανω

Έτυχε να την κάνω χθες με τον καθηγητή μου στο μάθημα.
Ελπίζω να σε καλύψει...

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Συνημμένα