Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

OoOkoβοldOoO · 08-11-11

To θέμα είναι ότι δεν έχω πχ g(x) παράγωγο για να χρησιμοποιήσω το Rolle αλλά έχω την εξίσωση g(a)=g(b) άρα πως χρησιμοποιώ το θεώρημα στην προκειμένη περίπτωση;

g1wrg0s · 8 Νοεμβρίου 2011

f(x)= $\sqrt{x+1}$ ,xo=0, L=1, ε=0.1
0<|x-xo|<δ => |f(x)-L| < ε και ζητα να βρω το δ, οπου δ>0

Κατεληξα σε δυο σχεσεις -0.19<x<0.21 και -δ<x<δ

το δ ποιο ειναι ;
Ευχαριστω για καθε βοηθεια.

rebel · 08-11-11

Αρχική Δημοσίευση από OoOkoβοldOoO:
To θέμα είναι ότι δεν έχω πχ g(x) παράγωγο για να χρησιμοποιήσω το Rolle αλλά έχω την εξίσωση g(a)=g(b) άρα πως χρησιμοποιώ το θεώρημα στην προκειμένη περίπτωση;

Θέλω να αποδείξω ότι $g(a) \neq g(b)$ . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε θα ισχύει η άρνησή του που είναι $g(a)=g(b)$ .
Ικανοποιούνται τότε οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την g , άρα υπάρχει $x_0 \in (a,b): g^\prime(x_0)=0$ άτοπο γιατί από υπόθεση έχω $g^\prime(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (a,b)$ . Κατέληξα σε άτοπο γιατί υπέθεσα ότι $g(a)=g(b)$ . Άρα τελικά $g(a) \neq g(b)$

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
f(x)= $\sqrt{x+1}$ ,xo=0, L=1, ε=0.1
0<|x-xo|<δ => |f(x)-L| < ε και ζητα να βρω το δ, οπου δ>0

Κατεληξα σε δυο σχεσεις 0.19<x<0.21 και -δ<x<δ

το δ ποιο ειναι ;
Ευχαριστω για καθε βοηθεια.

Αφού κατέληξες με διπλές ισοδυναμίες στην σχέση $-0,19<x<0,21$ , αυτό σημαίνει ότι για $\delta=0,19$ ή και ακόμα μικρότερο ικανοποιείται η σχέση $\left|\sqrt{x+1}-1\right|<0,1$ για κάθε $x\in (-\delta,0)\cup (0,\delta)$

OoOkoβοldOoO · 8 Νοεμβρίου 2011

Α κατάλαβα βγαίνει αμέσως! Ευχαριστώ πολύ!!

Σε μια άλλη άσκηση δίνει ότι f παραγωγίσημη στο R και λέει ότι η εφ σε οποιοδήποτε σημείο της ΔΕΝ είναι παράλληλη στην ε:2χ-ψ=1 και ζητάει νδο η ευθεία ψ=2χ έχουν ένα το πολύ κοινό σημείο
Έχω φτάσει μέχρι το σημείο θέτω g(x)=f(x)-2x kαι ξέρω ότι f'(x)-2διάφορο του 0.
Μετά πως αποδεικνύω αυτό που ζητάει όμως;

lowbaper92 · 08-11-11

Αρχική Δημοσίευση από OoOkoβοldOoO:
Σε μια άλλη άσκηση δίνει ότι f παραγωγίσημη στο R και λέει ότι η εφ σε οποιοδήποτε σημείο της ΔΕΝ είναι παράλληλη στην ε:2χ-ψ=1 και ζητάει νδο η ευθεία ψ=2χ έχουν ένα το πολύ κοινό σημείο
Έχω φτάσει μέχρι το σημείο θέτω g(x)=f(x)-2x kαι ξέρω ότι f'(x)-2διάφορο του 0.
Μετά πως αποδεικνύω αυτό που ζητάει όμως;

Έστω ότι η f και η ευθεία (ε) έχουν τουλάχιστον δύο κοινά σημεία x1 και x2. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω x1<x2.
Δηλαδή $g\left({x}_{1} \right)=f\left({x}_{1} \right)-2{x}_{1}=0$ και $g\left({x}_{2} \right)=f\left({x}_{2} \right)-2{x}_{2}=0$ .
Από Rolle (αφού γράψεις τις προϋποθέσεις) προκύπτει ${x}_{0}\in \left({x}_{1},{x}_{2} \right):g'\left({x}_{0} \right)=0\Leftrightarrow f'\left({x}_{0} \right)=2\; \left(\alpha \tau o\pi o \right)$ .
Άρα η f έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την (ε)

123τινκ · 08-11-11

Παιδιά ξέρω ότι το όριο της f(x)=-1
Για να βρω το όριο της g(x) η οποία είναι ίση με ριζα(4f(x)+7) απλα αντικαθιστώ το f(x) με -1;δηλαδη καταληγω ότι το όριο της g(x) είναι ριζα3;

OoOkoβοldOoO · 08-11-11

νομίζω ναι με μια γρήγορη ματιά που την έρηξα.
Και για την λύση στην απορία μου thanks!

Gver · 12 Νοεμβρίου 2011

Παιδια λιγη βοηθεια με αυτη..
λοιπον εστω f γνησιως αυξουσα στο [α,β]
νδο υπαρχει ξε(α,β) ωστε 3f(ξ)=f(α)+f(β)+f((α+β)/2)

εχω φτασει απο ΘΜΕΤ στο οτι υπαρχει το ξ στο κλειστο διαστημα πως μπορω να πω για το ανοιχτο?

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
Παιδια λιγη βοηθεια με αυτη..
λοιπον εστω f γνησιως αυξουσα στο [α,β]
νδο υπαρχει ξε(α,β) ωστε 3f(ξ)=f(α)+f(β)+f((α+β)/2)

εχω φτασει απο ΘΜΕΤ στο οτι υπαρχει το ξ στο κλειστο διαστημα πως μπορω να πω για το ανοιχτο?

ΑΚΥΡΟ τελικα το βρηκα με ατοπο παω θεωρωντας ξ=α και μετα ξ=β

rebel · 10-11-11

Βγαίνει σίγουρα με Βοlzano αν θεωρήσεις
$g(x)=f(x)-\frac{1}{3}\left(f(a)+f(b)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)$ και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα:

$g(a)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(a)-f(b)\right]+\left[f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}<0$
$g(b)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(b)-f(a)\right]+\left[f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}>0$

Με ΘΜΕΤ δεν βλέπω πως βγαίνει :hmm:

Επεξεργασία: Τώρα βλέπω

Gver · 10-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Βγαίνει σίγουρα με Βοlzano αν θεωρήσεις
$g(x)=f(x)-\frac{1}{3}\left(f(a)+f(b)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)$ και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα:

$g(a)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(a)-f(b)\right]+\left[f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}<0$
$g(b)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(b)-f(a)\right]+\left[f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}>0$

Με ΘΜΕΤ δεν βλέπω πως βγαίνει

με ΘΜΕΤ λες οτι αφου f συνεχης τοτε υπαρχουν m,M κτλ..
και μετα φρασεις καθε τιμη αναμεσα στα m,M και φτιαχνεις τη σχεση προσθετοντας τα,αφου πρωτα τα χεις πολ/σει με τους συντελεστες που εχουν στη σχεση
οποτε υπαρχει ξε[α,β]
και μετα με ατοπο δεδομενου οτι f γν αυξουσα δειχνεις οτι ξ#α και ξ#β
αρα τελικα το διαστημα γινεται (α,β)

Αντώνης · 12-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
με ΘΜΕΤ λες οτι αφου f συνεχης τοτε υπαρχουν m,M κτλ..
και μετα φρασεις καθε τιμη αναμεσα στα m,M και φτιαχνεις τη σχεση προσθετοντας τα,αφου πρωτα τα χεις πολ/σει με τους συντελεστες που εχουν στη σχεση
οποτε υπαρχει ξε[α,β]
και μετα με ατοπο δεδομενου οτι f γν αυξουσα δειχνεις οτι ξ#α και ξ#β
αρα τελικα το διαστημα γινεται (α,β)

Το τελευταίο κομμάτι με το άτοπο μήπως μπορείς να το γράψεις λίγο αναλυτικά;

rebel · 12-11-11

Ίσως δεν χρειάζεται άτοπο αφού λόγω μονοτονίας ισχύει

$f(a)<\frac{1}{3}\left(f(a)+f(b)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)<f(b)$

Με εφαρμογή του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών παίρνουμε το ζητούμενο.

lostie · 12 Νοεμβρίου 2011

Εχω καποιες ασκησεις στο ρυθμο μεταβολης τις οποιες δεν μπορω να βγαλω
μπαρλας σελ 348

24. Ενα κινητο Μ κινειται κατα μηκος της παραβολης ψ^2=4χ ωστε η παραβολη του Α στον αξονα χ'χ να απομακρυνεται απο το Ο με ταχυτητα 4. Να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης (ΜΑ) , οταν το Μ απεχει απο την αρχη των αξονων ριζα5 cm

g1wrg0s · 12 Νοεμβρίου 2011

Οι συναρτησεις σφχ και -1/(ημχ)^2 τεμνονται για χ ε(0,π) ;
Αν μπορει ας βοηθησει καποιος .Ευχαριστω

Διορθωση.

Or3st1s SOAD · 12-11-11

Δες αν ισχυουν οι προυποθεσεις Bolzano για την εξισωση σφχ=-1/(ημχ)^2 στο χ ε(0,π).
Δεν νομιζω να θελει κατι αλλο.

exc · 12-11-11

Αρχική Δημοσίευση από lostie:
Εχω καποιες ασκησεις στο ρυθμο μεταβολης τις οποιες δεν μπορω να βγαλω
μπαρλας σελ 348

24. Ενα κινητο Μ κινειται κατα μηκος της παραβολης ψ^2=4χ ωστε η προβολή του Α στον αξονα χ'χ να απομακρυνεται απο το Ο με ταχυτητα 4. Να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης (ΜΑ) , οταν το Μ απεχει απο την αρχη των αξονων ριζα5 cm

Έχεις ότι χ'(t)=4 (η ταχύτητα της προβολής στον άξονα χ είναι η χρονική παράγωγος του χ). Επίσης έχεις ότι y=±2sqrt(χ). Παραγωγίζεις ως προς t την τελευταία λαμβάνοντας υπόψη ότι το χ είναι συνάρτηση του t και άρα y'(t)=y'(x)*x'(t)=±4/sqrt(x). ΑΥτό που σου ζητείται είναι η y'(t) την στιγμή που η απόσταση από την αρχή των αξόνων θα είναι sqrt(5), δηλ.: χ^2+y^2=x^2+4x=5=>x=1=>y=±2, άρα |y'|=4.

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Οι συναρτησεις σφχ και 1/(ημχ)^2 τεμνονται για χ ε(0,π) ;
Αν μπορει ας βοηθησει καποιος .Ευχαριστω

σφχ=cotx=cosx/sinx εξίσωσέ τις δύο συναρτήσεις και θα δεις πολύ εύκολα ότι δεν υπάρχει χ που να ικανοποιεί την εξίσωση αυτή.

g1wrg0s · 12-11-11

Σας ευχαριστω . exc δεν ηξερα αν ισχυει ή οχι η εξισωση που βγαινει.

exc · 12-11-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Σας ευχαριστω . exc δεν ηξερα αν ισχυει ή οχι η εξισωση που βγαινει.

Να το αναλύσω λίγο, γιατί μάλλον δεν κατάλαβες τι εννοούσα ότι βγαίνει εύκολα:
$\cot x=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \sin (2x)=-2$ που είναι προφανώς άτοπο.

lowbaper92 · 12 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Or3st1s SOAD:
Δες αν ισχυουν οι προυποθεσεις Bolzano για την εξισωση σφχ=-1/(ημχ)^2 στο χ ε(0,π).
Δεν νομιζω να θελει κατι αλλο.

Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Bolzano τότε, όλα καλά, έχουμε τη ρίζα.
Αν όμως δεν ισχύουν, αυτό δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει ρίζα. Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] και έχει ρίζα στο (α,β) ,δεν ισχύει απαραίτητα ότι f(α)f(β)<0. Επίσης, αν μια συνάρτηση έχει ρίζα στο (α,β) και ισχύει ότι f(α)f(β)<0, δεν ισχύει απαραίτητα ότι είναι συνεχής.

g1wrg0s · 12-11-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Να το αναλύσω λίγο, γιατί μάλλον δεν κατάλαβες τι εννοούσα ότι βγαίνει εύκολα:
$\cot x=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \sin (2x)=-2$ που είναι προφανώς άτοπο.

Ενα βημα πριν τη δικια σου σχεση ημουν και δεν το εβλεπα. Δεν το πιστευω !
Τελοσπαντων, σε ευχαριστω.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος