Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

g1wrg0s · 07-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Chris1993:
1) Χρησιμοποιώ την (1) αφού αντικαθιστώ το x² + y² στην θέση του 4 (και απλώς έκανα αμέσως τις πράξεις)

νομιζα οτι χρησιμοποιησες τη (2) και εκανες αμεσως τις πραξεις.Βγαινει το ιδιο και γι αυτο δεν κοιταξα καν την περιπτωση να αντικατεστησες το 4. Τεσπα μια χαρα..Ο Μπαρλας να τα βλεπει!

qwerty111 · 07-09-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
το εχει και αυτο αλλά εχει και 2ο υποερωτημα αυτο που εγραψα
και εμενα εκδοση 2009 ειναι

Και εμένα είναι έκδοση 2009 αλλά δεν έχει αυτό το υποερώτημα

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
1. $2\geq |{z}^{2}+{(\frac{1}{z}})^{2}|=|{(z+\frac{1}{z})}^{2}-2|\geq |{|z+\frac{1}{z}|}^{2}-2|\geq{|z+\frac{1}{z}|}^{2}-2$
Επομένως ${|z+\frac{1}{z}|}^{2}\leq 4\Leftrightarrow |z+\frac{1}{z}|}\leq 2$

2. Ομοίως αλλά χρησιμοποιείς την ταυτότητα ${a}^{3}+{b}^{3}={(a+b)}^{3}-3ab(a+b)$
3. Δοκίμασε να ξεκινήσεις από τις σχέσεις που πρέπει να αποδείξεις και με ισοδυναμίες να καταλήξεις σε κάτι γνωστό. (Δε ξέρω αν βγαίνει έτσι)

Τελικά το τρίτο ερώτημα δεν μπόρεσα να το βγάλω. :/:

Ας το προσπαθήσει και κανείς άλλος

green day · 07-09-11

Εστω η συναρτηση f: απο R στο R με την ιδιοτητα fog=gof για ολες τις συναρτησεις g : απο R στο R. Να αποδειξετε οτι f(x)=x για καθε χ ανηκει στο R.

antwwwnis · 07-09-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
εχεις δικιο, αλλά παλι το ιδιο βγαινει
οριστε το θεμα:View attachment 39523

Κι εμένα του απρίλη 2009 ειναι αλλά έχει μόνο ένα υποερώτημα στο δ! ΜΕ ΚΛΕΨΑΝΕ!

qwerty111 · 07-09-11

Αρχική Δημοσίευση από green day:
Εστω η συναρτηση f: απο R στο R με την ιδιοτητα fog=gof για ολες τις συναρτησεις g : απο R στο R. Να αποδειξετε οτι f(x)=x για καθε χ ανηκει στο R.

Μήπως λέει για όλες τις σταθερές συναρτήσεις; :smartass:

green day · 07-09-11

Βασικα οχι δε λεει για σταθερες .... εχεις να προτεινεις κατι εστω κ για σταθερες ;

)

qwerty111 · 08-09-11

Έστω g(x)=c, όπου c τυχαίος πραγματικός αριθμός. Είναι f(g(x))=f(c) και g(f(x))=c
Επειδή f(g(x))=g(f(x)), έχουμε f(c)=c για κάθε cεR. επομένως f(x)=x, xεR

gkm · 8 Σεπτεμβρίου 2011

(το "^v" σημαίνει εις την v και το "ε" ανήκει)
Είναι απο το βοήθημα του Μπαρλα.
--------------------------------------------
Πως δουλεύουμε σε τέτοιες ασκήσεις; Γεωμετρική Πρόοδος δεν είναι; Ποιον τύπο θα χρησιμοποιήσω όμως; και πως;
ΑΣΚΗΣΗ:Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα, για τις διάφορες τιμές του νεN*
a) S=i+i^2+i^3+...+i^22
b) S=i^3-i^4+i^5-...+i^2v+1
c) P=i * i^2 * i^3 * ... * i^18
------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ:Αν x+yi=(2-5i)^v x,yεR και vεN*, να δείξετε ότι: x^2 +y^2=29^v
$x+yi=\begin{pmatrix}{2-5i}\end{pmatrix}^{v}\Leftrightarrow \frac{1}{x+yi}=\frac{1}{\begin{pmatrix}{2-5i}\end{pmatrix}^{v}}\Leftrightarrow \frac{x-yi}{{x}^{2}+{y}^{2}}={\begin{pmatrix}\frac{1}{2-5i}\end{pmatrix}}^{v}\Leftrightarrow \frac{x-yi}{{x}^{2}+{y}^{2}}={\begin{pmatrix}\frac{2+5i}{29}\end{pmatrix}}^{v}$
άρα αφού οι συζυγείς των αριθμητών είναι ίσοι αρα και οι αριθμητές ίσοι οπότε αφου αριθμητές ίσοι αρα και παρανομαστές ίσοι οποτε ${x}^{v}+{y}^{v}={29}^{v}$ . Αυτό έκανα εγώ, ισχύει;
Το βοήθημα προτείνει x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)=...
------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ:Αν vεN* και η ευκλείδεια διαίρεση του ν με το 4 είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A=(1+i)^v - (1-i)^v
Έχει τρείς τιμές το ν με τις οποίες κάνει τέλεια διαίρεση με το 4 το 1,2 και το 4. Εγώ πήρα ν= για το καθένα και βρήκα 2i 4i και 0 ποιά απο όλες αυτές είναι η λύση; Το βοήθημα λέει το 0 αλλα πώς;

rebel · 08-09-11

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ:Αν vεN* και η ευκλείδεια διαίρεση του ν με το 4 είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A=(1+i)^v - (1-i)^v
Έχει τρείς τιμές το ν με τις οποίες κάνει τέλεια διαίρεση με το 4 το 1,2 και το 4. Εγώ πήρα ν= για το καθένα και βρήκα 2i 4i και 0 ποιά απο όλες αυτές είναι η λύση; Το βοήθημα λέει το 0 αλλα πώς;

$A=(1+i)^n-(1-i)^n=(1+i)^{4k}-(1-i)^{4k} = \left[(1+i)^4 \right]^k- \left[(1-i)^4 \right]^k = \left[\left((1+i)^2\right)^2 \right]^k- \left[\left((1-i)^2\right)^2 \right]^k = \left[(2i)^2 \right]^k - \left[(-2i)^2 \right]^k = (-4)^k - (-4)^k=0$

gkm · 08-09-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
$A=(1+i)^n-(1-i)^n=(1+i)^{4k}-(1-i)^{4k} = \left[(1+i)^4 \right]^k- \left[(1-i)^4 \right]^k = \left[\left((1+i)^2\right)^2 \right]^k- \left[\left((1-i)^2\right)^2 \right]^k = \left[(2i)^2 \right]^k - \left[(-2i)^2 \right]^k = (-4)^k - (-4)^k=0$

αααααα ευχαριστώ πάρα πολύ για τον χρόνο σου! :clapup:

vassilis498 · 08-09-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
.............

Μπορείτε να κοιτάξετε λίγο αυτή

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Αν |z|=2 ποια ειναι η μεγιστη τιμη του |z²+z-4|;

και να πείτε γιατί είναι λάθος η λύση με τριγωνική ανιτότητα; που έτσι βγαίνει 10, ενώ η λύση που βγαίνει αλλιώς είναι 2*(ρίζα)17

catherine1994 · 08-09-11

Το μετρο z ειναι οντως μικροτερο του 10. Ομως για να αποδειξεις οτι αυτη ειναι η μεγιστη τιμη του πρεπει να δειξεις οτι υπαρχει z ώστε |z|=10
Γι'αυτο πιστευω οτι ειναι λαθος :/:

lowbaper92 · 08-09-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
και να πείτε γιατί είναι λάθος η λύση με τριγωνική ανιτότητα; που έτσι βγαίνει 10, ενώ η λύση που βγαίνει αλλιώς είναι 2*(ρίζα)17

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Το μετρο z ειναι οντως μικροτερο του 10. Ομως για να αποδειξεις οτι αυτη ειναι η μεγιστη τιμη του πρεπει να δειξεις οτι υπαρχει z ώστε |z|=10
Γι'αυτο πιστευω οτι ειναι λαθος

Η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο την ύπαρξη φραγμάτων και όχι μέγιστες ή ελάχιστες τιμές. Γι'αυτό σε ασκήσεις που ζητάει μέγιστη/ελάχιστη τιμή εργαζόμαστε γεωμετρικά.

Όσοι έχουν Στεργίου-Νάκη ας ρίξουν μια ματιά στη θεωρία σελ. 53 και στη λυμένη άσκηση 2.25(β,γ) σελ.72

rebel · 09-09-11

Βασίλη δεν έχω να προσθέσω κάτι. Η λύση της Catherine και του Chris είναι σωστή $2 \sqrt{17}$ (Τόσο βγάζει και το mathematica

). Και η χρήση της τριγωνικής ανισότητας για την εύρεση μεγίστου είναι λάθος για τους λόγους που αναφέρθηκαν στα προηγούμενα μηνύματα. Θα είχε πάντως ενδιαφέρον και μία γεωμετρική λύση :hmm:

gkm · 09-09-11

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
(το "^v" σημαίνει εις την v και το "ε" ανήκει)
Είναι απο το βοήθημα του Μπαρλα.
--------------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ:Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα, για τις διάφορες τιμές του νεN*
a) S=i+i^2+i^3+...+i^22
b) S=i^3-i^4+i^5-...+i^2v+1
c) P=i * i^2 * i^3 * ... * i^18
Πως δουλεύουμε σε τέτοιες ασκήσεις;
------------------------------------
ΑΣΚΗΣΗ:Αν x+yi=(2-5i)^v x,yεR και vεN*, να δείξετε ότι: x^2 +y^2=29^v
$x+yi=\begin{pmatrix}{2-5i}\end{pmatrix}^{v}\Leftrightarrow \frac{1}{x+yi}=\frac{1}{\begin{pmatrix}{2-5i}\end{pmatrix}^{v}}\Leftrightarrow \frac{x-yi}{{x}^{2}+{y}^{2}}={\begin{pmatrix}\frac{1}{2-5i}\end{pmatrix}}^{v}\Leftrightarrow \frac{x-yi}{{x}^{2}+{y}^{2}}={\begin{pmatrix}\frac{2+5i}{29}\end{pmatrix}}^{v}$
άρα αφού οι συζυγείς των αριθμητών είναι ίσοι αρα και οι αριθμητές ίσοι οπότε αφου αριθμητές ίσοι αρα και παρανομαστές ίσοι οποτε ${x}^{v}+{y}^{v}={29}^{v}$ . Αυτό έκανα εγώ, ισχύει;
Το βοήθημα προτείνει x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)=...
------------------------------------

Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει παρακαλώ :worry:

antwwwnis · 09-09-11

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει παρακαλώ

Για το πρώτο, πήγαινε ψάξε τους τύπους αθροίσματος ν όρων Γεωμετρικής προόδου, από το βιβλίο της Β λυκείου.

Joaquín · 09-09-11

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει παρακαλώ

Ισχύει η απάντηση σου, αλλά δε χρειάζεται(και ενδείκνυται) να το δικαιολογήσεις με έκθεση.Απλά προχώρα την ισότητα και φυσικά προκύπτει το σωστό.Ωραία η λύση σου πάντως.Την είχα λύσει τις προάλλες κάπως αλλιώς, αν προλάβω θα την ανεβάσω μετά.

vassilis498 · 09-09-11

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Το μετρο z ειναι οντως μικροτερο του 10. Ομως για να αποδειξεις οτι αυτη ειναι η μεγιστη τιμη του πρεπει να δειξεις οτι υπαρχει z ώστε |z|=10
Γι'αυτο πιστευω οτι ειναι λαθος

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο την ύπαρξη φραγμάτων και όχι μέγιστες ή ελάχιστες τιμές. Γι'αυτό σε ασκήσεις που ζητάει μέγιστη/ελάχιστη τιμή εργαζόμαστε γεωμετρικά.

Όσοι έχουν Στεργίου-Νάκη ας ρίξουν μια ματιά στη θεωρία σελ. 53 και στη λυμένη άσκηση 2.25(β,γ) σελ.72

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Βασίλη δεν έχω να προσθέσω κάτι. Η λύση της Catherine και του Chris είναι σωστή $2 \sqrt{17}$ (Τόσο βγάζει και το mathematica ). Και η χρήση της τριγωνικής ανισότητας για την εύρεση μεγίστου είναι λάθος για τους λόγους που αναφέρθηκαν στα προηγούμενα μηνύματα. Θα είχε πάντως ενδιαφέρον και μία γεωμετρική λύση

ok ευχαριστώ

να υποθέσω ότι θα ήταν σωστή η λύση αν (όντως ήταν το 10) και μετά επαιρνα |(ότι παράσταση είχε)|=10 και κατέληγα με ισοδυναμίες σε κάτι που ισχύει.

gkm · 9 Σεπτεμβρίου 2011

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Με βοηθήσατε αρκετά.

ΑΣΚΗΣΗ:Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα, για τις διάφορες τιμές του νεN*
$b) S={i}^{3}-{i}^{4}+{i}^{5}-...+{i}^{2v+1}$
$c) P=i*{i}^{2}*{i}^{3}*...*{i}^{18}$

Μπορεί κάποιος να μου τα λύσει; δεν μπορώ να τα καταλάβω

rebel · 9 Σεπτεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ok ευχαριστώ

να υποθέσω ότι θα ήταν σωστή η λύση αν (όντως ήταν το 10) και μετά επαιρνα |(ότι παράσταση είχε)|=10 και κατέληγα με ισοδυναμίες σε κάτι που ισχύει.

Μου φαίνεται λίγο δύσκολο να βγάλεις ισοδυναμία από μία σχέση με μέτρα. Νομίζω ότι θα έπρεπε με κάποιο τρόπο να μαντέψεις το/τα z για τα οποία η παράσταση πίανει μέγιστο και μετά να επαληθεύσεις τον ισχυρισμό σου αντικαθιστώντας αυτά τα z στην σχέση, πράγμα δύσκολο. Όσες τέτοιες ασκήσεις έχω δει λύνονται γεωμετρικά πάντως.

Αρχική Δημοσίευση από gkm:
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Με βοηθήσατε αρκετά.
Μπορεί κάποιος να μου τα λύσει; δεν μπορώ να τα καταλάβω

$S= i^3 \left( 1-i+i^2-i^3+...+i^{2 \nu-2} \right) = i^3 \frac{(-i)^{2\nu -1}-1}{-i-1} = -i \frac{(-i)^{2\nu-1}-1}{-i-1}= \frac{(-i)^{2\nu}+i}{-i-1}$

χρησιμοποιήθηκε ο τύπος για το πεπερασμένο άθροισμα $2\nu-1$ όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 και λόγο -i. Τώρα

$\nu= 2k , \, k\in \mathbb{Z} \rightarrow 2\nu=4k \rightarrow S=-1$
$\nu = 2k+1 , \, k\in \mathbb{Z} \rightarrow 2\nu = 4k+2 \rightarrow S= -i$

$P= i \cdot i^2 \cdot \ldots \cdot i^{18} = i^{1+\ldots+18} = i^{\frac{(1+18 ) 18 }{2}}= i^{171} = i^{42\cdot 4+3}=i^3=-i$

όπου χρησιμοποιήθηκε αυτή τη φορά ο τύπος αθροίσματος όρων αριθμητικής προόδου.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος