Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

photon · 2013-10-14T14:34:01+0300

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
w=(z-|z|)/(z+|z|) για ποιες τιμες του z εχει νοημα ( οριζεται) ο w

Χωρίς μεγάλη σιγουριά : θα πρέπει $\left|z \right|+z\neq 0$ .
$\left|z \right|=-z$ Το πρώτο μέλος είναι θετικό άρα θα πρέπει να είναι και το δεύτερο. $-z>0\Leftrightarrow z<0$ Διάταξη στους μιγαδικούς δεν υπάρχει, υπάρχει όμως στους πραγματικούς.Αν $z=x+yi$ με $x,y \in R$ τότε $\begin{cases}Im(z)=0\Leftrightarrow y=0 \\Re(z)<0 \Leftrightarrow x<0\end{cases}$ O w δεν ορίζεται για κάθε z=x+yi με y=0 και x<0, άρα για να ορίζεται θα πρέπει να ισχύει για τον z=x+yi : $y\neq 0$ και $x\geq 0$

need4sheed · 2013-10-14T14:35:40+0300

και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος

photon · 2013-10-14T14:41:00+0300

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος

$w=-\bar{w}$ και βγήκε

need4sheed · 2013-10-14T14:42:36+0300

τωρα αρχισα μιγαδικους και δν τα πολυ καταφερνω αν μπορει ρε φιλε δωσε μια βοηθεια

photon · 2013-10-14T15:03:13+0300

Όταν θες να αποδείξεις ότι ο w είναι πραγματικός παίρνεις την ισότητα $w=\bar{w}$ . Όταν θες να αποδείξεις ότι είναι φανταστικός : $w=-\bar{w}$ Εσύ θες τώρα να αποδείξεις ότι είναι φανταστικός. Άμα αποδείξεις ότι $w=-\bar{w}$ τελείωσες. Χρειάζεται να εφαρμόσεις τις ιδιότητες των συζυγών και τις ιδιότητες $\left|z^{} \right|^{2}=z\bar{z}$ και $\left|z \right|=\left|\bar{z} \right|$ Για τις ιδιότητες δες και στο σχολικό βιβλίο.

Πάντως καλύτερα να ασχολείσαι με πιο απλές ασκήσεις μέχρι να καταλάβεις τη θεωρία και μετά να βλέπεις αυτές.

Civilara · 2013-10-14T15:08:02+0300

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος

Ο κλασικός τρόπος. Θεωρούμε z=x+yi όπου x=Re(z) και y=Im(z). Τότε είναι |z|=SQRT[(x^2)+(y^2)]. Αντικαθιστούμε στην έκφραση του w και έχουμε:

w=[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi]/[x+SQRT((x^2)+(y^2))+yi]
w={[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}/{[x+SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}
w={[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}/{[(x+SQRT((x^2)+(y^2)))^2]+(y^2)}
........
w={[2ySQRT((x^2)+(y^2))]/[((x+SQRT((x^2)+(y^2)))^2)+(y^2)]}i

Άρα ο w είναι φανταστικός.

need4sheed · 2013-10-14T15:12:42+0300

sqrt? τι φαση

rebel · 2013-10-14T15:20:51+0300

SQRT = Συντομογραφία του square root ( τετραγωνική ρίζα ).

Maria_Spring · 2013-10-15T15:28:33+0300

Μπορεί κανείς να βοηθήσει; :worry:

Μέχρι κάπου έχω φτάσει και εγώ σε όλες τις ασκήσεις, αλλά τα τελευταία υποερωτήματα δε μου βγαίνουν! Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον καθίσει και εργαστεί πάνω σε αυτές τις ασκήσεις! Κάθε ιδέα, πρόταση και προσπάθεια είναι αποδεκτή και σεβαστή!

rebel · 2013-10-16T00:49:42+0300

Αρχική Δημοσίευση από Maria_Spring:
Μπορεί κανείς να βοηθήσει; Μέχρι κάπου έχω φτάσει και εγώ σε όλες τις ασκήσεις, αλλά τα τελευταία υποερωτήματα δε μου βγαίνουν! Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον καθίσει και εργαστεί πάνω σε αυτές τις ασκήσεις! Κάθε ιδέα, πρόταση και προσπάθεια είναι αποδεκτή και σεβαστή!

Άσκηση 1----> Θέμα 5 από αυτό το φυλλάδιο
Άσκηση 2----> Θέμα 7 από το ίδιο φυλλάδιο
Άσκηση 88 Άσκηση 87

Ας δοκιμάσουμε και την 89:

α) Παίρνοντας συζυγείς έχουμε
$5\bar{z}^6+4z^6=9$
οπότε αφαιρώντας κατά μέλη από την δοθείσα παίρνουμε $\bar{z}^6=z^6$ οπότε αντικαθιστούμε στην δοθείσα και παίρνουμε $9z^6=9 \Rightarrow z^6=1 \Rightarrow |z|^6=1 \Rightarrow |z|=1$
Για το δεύτερο ερώτημα παίρνουμε και πάλι συζυγείς στην σχέση που δίνεται για το w και έχουμε:
$\frac{1}{\bar{w}-1}+\frac{1}{\bar{w}-2}+\frac{1}{\bar{w}-3}+\frac{1}{\bar{w}-4}+\frac{1}{\bar{w}-5}=1$
και αφαιρώντας την αρχική από αυτή κατά μέλη παίρνουμε
$\frac{w-\bar{w}}{|w-1|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-2|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-3|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-4|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-5|^2}=0 \Rightarrow \\ \left(w-\bar{w} \right)\left(\frac{1}{|w-1|^2}+\frac{1}{|w-2|^2}+\frac{1}{|w-3|^2}+\frac{1}{|w-4|^2}+\frac{1}{|w-5|^2} \right)=0 \Rightarrow \\ w-\bar{w}=0$

β) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
$z^9 \bar{z}^5=1 \Leftrightarrow z^4 \left(z \bar{z}\right)^5=1 \Leftrightarrow z^4 |z|^{10}=1 \Leftrightarrow z^4=1 \Leftrightarrow \\ (z^2-1)(z^2+1)=0 \Leftrightarrow (z-1)(z+1)(z+i)(z-i)=0 \Leftrightarrow z=1,-1,i,-i$

γ)
$u=\frac{wz\bar{z}+3zi}{wzi+3}=\frac{zi(3-iw\bar{z})}{wzi+3} \stackrel{w=\bar{w}}{=}\frac{zi \overline{(wzi+3)}}{wzi+3}$
οπότε $|u|=1$

δ) Είναι προφανές ότι ο γεωμετρικός τόπος του $z$ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος $AB$ με $A(0,w),B(0,1-w)$ που είναι η ευθεία $y=1/2$ . O $z$ ανήκει επίσης στον κύκλο κέντρου $(0,0)$ και ακτίνας $1$ οπότε αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής του με την ευθεία. Έχουμε
$y=\frac{1}{2},\,\,x^2+y^2=1 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2},\,\,x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
δηλαδή
$z= \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,\, -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$
Εκ των υστέρων διαπίστωσα με το mathematica ότι οι λύσεις αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική σχέση $5z^6+4\bar{z}^6=9$ ή την ισοδύναμή της $z^6=1$ .
Λογικό αφού στην λύση υποθέσαμε ότι η σχέση αυτή ικανοποιείται από όλα τα σημεία του κύκλου, πράγμα που δεν ισχύει. Άραγε η παραπάνω λύση να είναι αυτή που περιμένει η άσκηση;

dimidimi · 2013-10-16T23:31:16+0300

Οταν ένας αριθμός ανήκει στους πραγματικους.. συμπεριλαμβάνεται και το απειρο...σωστα?

rebel · 2013-10-17T00:10:21+0300

Το άπειρο δεν είναι πραγματικός αριθμός.

rebel · 2013-10-17T15:31:30+0300

Αρχική Δημοσίευση από Maria_Spring:
Μπορεί κανείς να βοηθήσει; Μέχρι κάπου έχω φτάσει και εγώ σε όλες τις ασκήσεις, αλλά τα τελευταία υποερωτήματα δε μου βγαίνουν! Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον καθίσει και εργαστεί πάνω σε αυτές τις ασκήσεις! Κάθε ιδέα, πρόταση και προσπάθεια είναι αποδεκτή και σεβαστή!

Άσκηση 86
α) Η σχέση γράφεται $|z-4|+|z+4|=10$ και από δω συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος του $z$ είναι μία έλλειψη με εξίσωση
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
η οποία γράφεται ισοδύναμα
$9x^2+25y^2=225,\,\,(1)$
β) Η ανισότητα γίνεται ισοδύναμα
$|3x+5y|\leq 15 \sqrt{2} \Leftrightarrow (3x+5y)^2 \leq 2 \cdot 225 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} (3x+5y)^2 \leq 2 \left(9x^2+25y^2\right) \Leftrightarrow 0 \leq 9x^2-30xy+25y^2 \Leftrightarrow (3x-5y)^2 \geq 0$
που ισχύει.

mary1269 · 2013-10-17T17:32:05+0300

|z-1|=|z-1|=|z-1|=3
(ειναι Ζ1-1,Ζ2-1,Ζ3-1) και ισχυει z1+z2+z3=3/2

νδο. |z1z2+z2z3+z3z1|=3|z1+z2+z3-3|

μπορει καποιος να με βοηθησει??

Σημείωση συντονιστή: Τα μηνύματα 7021 και 7022 προήλθαν από άλλο νήμα.

oneiricocelot · 2013-10-17T21:36:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από mary1269:
|z-1|=|z-1|=|z-1|=3
(ειναι Ζ1-1,Ζ2-1,Ζ3-1) και ισχυει z1+z2+z3=3/2

νδο. |z1z2+z2z3+z3z1|=3|z1+z2+z3-3|

μπορει καποιος να με βοηθησει??

HINT!
το |z -1 | = 3 αποτελεί γεωμετρικό τόπο κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο. Ζωγράφισε τα μέτρα για "βλεπεις" τα δεδομενα.

Επίσης μήπως στην πάνω σχέση εννοείς z1 z2 και z3?

xristospr · 2013-10-17T22:34:52+0300

ποιος ειναι ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας 2x + 8y - 2011? λιγο αναλιτικα αν γινεται

oneiricocelot · 2013-10-17T22:47:43+0300

Αρχική Δημοσίευση από xristospr:
ποιος ειναι ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας 2x + 8y - 2011? λιγο αναλιτικα αν γινεται

Μπορείς να την μετασχηματίσεις στην μορφη

, όπου $m$ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. Ή οπως την λέει το βιβλίο αν θυμάμαι καλά, $y = \lambda x + \beta$

Επειδή δεν βλέπω εξίσωση πάνω, συνεπώς δεν είναι εξίσωση ευθείας, υποθέτω ότι εννοείς = 0.
$2x + 8y - 2011 = 0$
$8y = 2011 - 2x$
$8y = -2x + 2011$
$y = \frac{-2x}{8} + \frac{2011}{8}$

$y = \frac{-x}{4} + \frac{2011}{8}$
Αν την συγκρίνεις με το αρχικό μοντέλο:

$y = \lambda x + b$

βρίσκεις ότι:
$\lambda = - \frac{1}{4}$
$\beta = 2011$
$\lambda = \frac{y}{x} = \frac{-1}{4}$

Πιστεύω πιο αναλυτικά δεν γίνεται!

mary1269 · 2013-10-18T00:08:19+0300

ναι ειναι |z1-1|=|z2-1|=|z3-1|=3

rebel · 2013-10-18T00:14:01+0300

Αρχική Δημοσίευση από mary1269:
|z-1|=|z-1|=|z-1|=3
(ειναι Ζ1-1,Ζ2-1,Ζ3-1) και ισχυει z1+z2+z3=3/2

νδο. |z1z2+z2z3+z3z1|=3|z1+z2+z3-3|

μπορει καποιος να με βοηθησει??

Σημείωση συντονιστή: Τα μηνύματα 7021 και 7022 προήλθαν από άλλο νήμα.

Ξεκίνα θέτοντας $w_1=z_1-1,\,\,w_2=z_2-1,\,\,w_3=z_3-1$ και μετά
$\left|w_1+w_2+w_3\right|=\left|\overline{w_1+w_2+w_3}\right|=\left|\frac{3^2}{w_1}+\frac{3^2}{w_2}+\frac{3^2}{w_3}\right|=\ldots$
και λοιπά.

mary1269 · 2013-10-18T00:17:57+0300

στη σχεση που μου ζηταει πως θα καταληξω?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος