Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

photon · 14 Οκτωβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
w=(z-|z|)/(z+|z|) για ποιες τιμες του z εχει νοημα ( οριζεται) ο w

Χωρίς μεγάλη σιγουριά : θα πρέπει $\left|z \right|+z\neq 0$ .
$\left|z \right|=-z$ Το πρώτο μέλος είναι θετικό άρα θα πρέπει να είναι και το δεύτερο. $-z>0\Leftrightarrow z<0$ Διάταξη στους μιγαδικούς δεν υπάρχει, υπάρχει όμως στους πραγματικούς.Αν $z=x+yi$ με $x,y \in R$ τότε $\begin{cases}Im(z)=0\Leftrightarrow y=0 \\Re(z)<0 \Leftrightarrow x<0\end{cases}$ O w δεν ορίζεται για κάθε z=x+yi με y=0 και x<0, άρα για να ορίζεται θα πρέπει να ισχύει για τον z=x+yi : $y\neq 0$ και $x\geq 0$

need4sheed · 14-10-13

και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος

photon · 14-10-13

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος

$w=-\bar{w}$ και βγήκε

need4sheed · 14-10-13

τωρα αρχισα μιγαδικους και δν τα πολυ καταφερνω αν μπορει ρε φιλε δωσε μια βοηθεια

photon · 14-10-13

Όταν θες να αποδείξεις ότι ο w είναι πραγματικός παίρνεις την ισότητα $w=\bar{w}$ . Όταν θες να αποδείξεις ότι είναι φανταστικός : $w=-\bar{w}$ Εσύ θες τώρα να αποδείξεις ότι είναι φανταστικός. Άμα αποδείξεις ότι $w=-\bar{w}$ τελείωσες. Χρειάζεται να εφαρμόσεις τις ιδιότητες των συζυγών και τις ιδιότητες $\left|z^{} \right|^{2}=z\bar{z}$ και $\left|z \right|=\left|\bar{z} \right|$ Για τις ιδιότητες δες και στο σχολικό βιβλίο.

Πάντως καλύτερα να ασχολείσαι με πιο απλές ασκήσεις μέχρι να καταλάβεις τη θεωρία και μετά να βλέπεις αυτές.

Civilara · 14-10-13

Αρχική Δημοσίευση από need4sheed:
και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος

Ο κλασικός τρόπος. Θεωρούμε z=x+yi όπου x=Re(z) και y=Im(z). Τότε είναι |z|=SQRT[(x^2)+(y^2)]. Αντικαθιστούμε στην έκφραση του w και έχουμε:

w=[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi]/[x+SQRT((x^2)+(y^2))+yi]
w={[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}/{[x+SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}
w={[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}/{[(x+SQRT((x^2)+(y^2)))^2]+(y^2)}
........
w={[2ySQRT((x^2)+(y^2))]/[((x+SQRT((x^2)+(y^2)))^2)+(y^2)]}i

Άρα ο w είναι φανταστικός.

need4sheed · 14-10-13

sqrt? τι φαση

rebel · 14-10-13

SQRT = Συντομογραφία του square root ( τετραγωνική ρίζα ).

Maria_Spring · 15-10-13

Μπορεί κανείς να βοηθήσει; :worry:

Μέχρι κάπου έχω φτάσει και εγώ σε όλες τις ασκήσεις, αλλά τα τελευταία υποερωτήματα δε μου βγαίνουν! Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον καθίσει και εργαστεί πάνω σε αυτές τις ασκήσεις! Κάθε ιδέα, πρόταση και προσπάθεια είναι αποδεκτή και σεβαστή!

rebel · 16 Οκτωβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από Maria_Spring:
Μπορεί κανείς να βοηθήσει; Μέχρι κάπου έχω φτάσει και εγώ σε όλες τις ασκήσεις, αλλά τα τελευταία υποερωτήματα δε μου βγαίνουν! Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον καθίσει και εργαστεί πάνω σε αυτές τις ασκήσεις! Κάθε ιδέα, πρόταση και προσπάθεια είναι αποδεκτή και σεβαστή!

Άσκηση 1----> Θέμα 5 από αυτό το φυλλάδιο
Άσκηση 2----> Θέμα 7 από το ίδιο φυλλάδιο
Άσκηση 88 Άσκηση 87

Ας δοκιμάσουμε και την 89:

α) Παίρνοντας συζυγείς έχουμε
$5\bar{z}^6+4z^6=9$
οπότε αφαιρώντας κατά μέλη από την δοθείσα παίρνουμε $\bar{z}^6=z^6$ οπότε αντικαθιστούμε στην δοθείσα και παίρνουμε $9z^6=9 \Rightarrow z^6=1 \Rightarrow |z|^6=1 \Rightarrow |z|=1$
Για το δεύτερο ερώτημα παίρνουμε και πάλι συζυγείς στην σχέση που δίνεται για το w και έχουμε:
$\frac{1}{\bar{w}-1}+\frac{1}{\bar{w}-2}+\frac{1}{\bar{w}-3}+\frac{1}{\bar{w}-4}+\frac{1}{\bar{w}-5}=1$
και αφαιρώντας την αρχική από αυτή κατά μέλη παίρνουμε
$\frac{w-\bar{w}}{|w-1|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-2|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-3|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-4|^2}+\frac{w-\bar{w}}{|w-5|^2}=0 \Rightarrow \\ \left(w-\bar{w} \right)\left(\frac{1}{|w-1|^2}+\frac{1}{|w-2|^2}+\frac{1}{|w-3|^2}+\frac{1}{|w-4|^2}+\frac{1}{|w-5|^2} \right)=0 \Rightarrow \\ w-\bar{w}=0$

β) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
$z^9 \bar{z}^5=1 \Leftrightarrow z^4 \left(z \bar{z}\right)^5=1 \Leftrightarrow z^4 |z|^{10}=1 \Leftrightarrow z^4=1 \Leftrightarrow \\ (z^2-1)(z^2+1)=0 \Leftrightarrow (z-1)(z+1)(z+i)(z-i)=0 \Leftrightarrow z=1,-1,i,-i$

γ)
$u=\frac{wz\bar{z}+3zi}{wzi+3}=\frac{zi(3-iw\bar{z})}{wzi+3} \stackrel{w=\bar{w}}{=}\frac{zi \overline{(wzi+3)}}{wzi+3}$
οπότε $|u|=1$

δ) Είναι προφανές ότι ο γεωμετρικός τόπος του $z$ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος $AB$ με $A(0,w),B(0,1-w)$ που είναι η ευθεία $y=1/2$ . O $z$ ανήκει επίσης στον κύκλο κέντρου $(0,0)$ και ακτίνας $1$ οπότε αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής του με την ευθεία. Έχουμε
$y=\frac{1}{2},\,\,x^2+y^2=1 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2},\,\,x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
δηλαδή
$z= \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,\, -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$
Εκ των υστέρων διαπίστωσα με το mathematica ότι οι λύσεις αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική σχέση $5z^6+4\bar{z}^6=9$ ή την ισοδύναμή της $z^6=1$ .
Λογικό αφού στην λύση υποθέσαμε ότι η σχέση αυτή ικανοποιείται από όλα τα σημεία του κύκλου, πράγμα που δεν ισχύει. Άραγε η παραπάνω λύση να είναι αυτή που περιμένει η άσκηση;

dimidimi · 16-10-13

Οταν ένας αριθμός ανήκει στους πραγματικους.. συμπεριλαμβάνεται και το απειρο...σωστα?

rebel · 17-10-13

Το άπειρο δεν είναι πραγματικός αριθμός.

rebel · 17-10-13

Αρχική Δημοσίευση από Maria_Spring:
Μπορεί κανείς να βοηθήσει; Μέχρι κάπου έχω φτάσει και εγώ σε όλες τις ασκήσεις, αλλά τα τελευταία υποερωτήματα δε μου βγαίνουν! Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον καθίσει και εργαστεί πάνω σε αυτές τις ασκήσεις! Κάθε ιδέα, πρόταση και προσπάθεια είναι αποδεκτή και σεβαστή!

Άσκηση 86
α) Η σχέση γράφεται $|z-4|+|z+4|=10$ και από δω συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος του $z$ είναι μία έλλειψη με εξίσωση
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
η οποία γράφεται ισοδύναμα
$9x^2+25y^2=225,\,\,(1)$
β) Η ανισότητα γίνεται ισοδύναμα
$|3x+5y|\leq 15 \sqrt{2} \Leftrightarrow (3x+5y)^2 \leq 2 \cdot 225 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} (3x+5y)^2 \leq 2 \left(9x^2+25y^2\right) \Leftrightarrow 0 \leq 9x^2-30xy+25y^2 \Leftrightarrow (3x-5y)^2 \geq 0$
που ισχύει.

mary1269 · 17 Οκτωβρίου 2013

|z-1|=|z-1|=|z-1|=3
(ειναι Ζ1-1,Ζ2-1,Ζ3-1) και ισχυει z1+z2+z3=3/2

νδο. |z1z2+z2z3+z3z1|=3|z1+z2+z3-3|

μπορει καποιος να με βοηθησει??

Σημείωση συντονιστή: Τα μηνύματα 7021 και 7022 προήλθαν από άλλο νήμα.

oneiricocelot · 17-10-13

Αρχική Δημοσίευση από mary1269:
|z-1|=|z-1|=|z-1|=3
(ειναι Ζ1-1,Ζ2-1,Ζ3-1) και ισχυει z1+z2+z3=3/2

νδο. |z1z2+z2z3+z3z1|=3|z1+z2+z3-3|

μπορει καποιος να με βοηθησει??

HINT!
το |z -1 | = 3 αποτελεί γεωμετρικό τόπο κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο. Ζωγράφισε τα μέτρα για "βλεπεις" τα δεδομενα.

Επίσης μήπως στην πάνω σχέση εννοείς z1 z2 και z3?

xristospr · 17-10-13

ποιος ειναι ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας 2x + 8y - 2011? λιγο αναλιτικα αν γινεται

oneiricocelot · 17 Οκτωβρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από xristospr:
ποιος ειναι ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας 2x + 8y - 2011? λιγο αναλιτικα αν γινεται

Μπορείς να την μετασχηματίσεις στην μορφη

, όπου $m$ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. Ή οπως την λέει το βιβλίο αν θυμάμαι καλά, $y = \lambda x + \beta$

Επειδή δεν βλέπω εξίσωση πάνω, συνεπώς δεν είναι εξίσωση ευθείας, υποθέτω ότι εννοείς = 0.
$2x + 8y - 2011 = 0$
$8y = 2011 - 2x$
$8y = -2x + 2011$
$y = \frac{-2x}{8} + \frac{2011}{8}$

$y = \frac{-x}{4} + \frac{2011}{8}$
Αν την συγκρίνεις με το αρχικό μοντέλο:

$y = \lambda x + b$

βρίσκεις ότι:
$\lambda = - \frac{1}{4}$
$\beta = 2011$
$\lambda = \frac{y}{x} = \frac{-1}{4}$

Πιστεύω πιο αναλυτικά δεν γίνεται!

mary1269 · 18-10-13

ναι ειναι |z1-1|=|z2-1|=|z3-1|=3

rebel · 18-10-13

Αρχική Δημοσίευση από mary1269:
|z-1|=|z-1|=|z-1|=3
(ειναι Ζ1-1,Ζ2-1,Ζ3-1) και ισχυει z1+z2+z3=3/2

νδο. |z1z2+z2z3+z3z1|=3|z1+z2+z3-3|

μπορει καποιος να με βοηθησει??

Σημείωση συντονιστή: Τα μηνύματα 7021 και 7022 προήλθαν από άλλο νήμα.

Ξεκίνα θέτοντας $w_1=z_1-1,\,\,w_2=z_2-1,\,\,w_3=z_3-1$ και μετά
$\left|w_1+w_2+w_3\right|=\left|\overline{w_1+w_2+w_3}\right|=\left|\frac{3^2}{w_1}+\frac{3^2}{w_2}+\frac{3^2}{w_3}\right|=\ldots$
και λοιπά.

mary1269 · 18-10-13

στη σχεση που μου ζηταει πως θα καταληξω?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος