Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Eεε, έκανα ορθογραφικό λάθος. $\lim_{x\rightarrow +oo}f(x)=1$ ήθελα να πω.

Όχι.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^x). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->+oo)f(x)=-oo.

demetr · 21-01-13

2)Αν ισχύει

ν.δ.ο

και

όπου

πραγματικοί!

Άσκηση πολυωνύμων Β λυκείου!

JKaradakov · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση;

Όχι δεν είναι καν γν. μονότονη.

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Όχι.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^x). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->+oo)f(x)=-oo.

Οκ. Ευχαριστώ!

P@NT?LO$ · 21-01-13

εστω η συναρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποια εινα 2 φορες παραγωγισγιμη και ισχυει $2f({x}^{2})-{f}^{2}(x)\geq 1$ για καθε x που ανηκει στο R.Να δειξετε οτι:
i) Υπαρχει $x0\varepsilon \left(0,1 \right)$ τετοιο ωστε $f'(x0)=0$
ii) $f'(0)=f'(1)$
iii)Η εξισωση $f''(x)=0$ εχει 2 τουλαχιστον ριζες στο (0,1)

βοηθεια!!

rebel · 22 Ιανουαρίου 2013

i) Για $x=0$ στην αρχική παίρνουμε $f^2(0)-2f(0)+1 \leq 0 \Leftrightarrow \left(f(0)-1 \right)^2 \leq 0 \Leftrightarrow f(0)=1$ . Όμοια για $x=1$ προκύπτει ότι $f(1)=1$ . Από Rolle υπάρχει $x_0 \in (0,1)$ με $f'(x_0)=0$
ii) Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=2f(x^2)-f^2(x)-1$ παραγωγίσιμη στο $R$ σαν σύνθεση παραγωγίσιμων με $g'(x)=4xf'\left(x^2\right)-2f(x)f'(x)$ . Έχουμε λόγω της αρχικής σχέσης ότι $g(x) \geq 0,\,\, x \in \mathbb{R}$ και επίσης λόγω του πρώτου ερωτήματος $g(0)=0=g(1)$ . Άρα $g(x) \geq g(0)$ και $g(x) \geq g(1)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Δηλαδή η $g$ παρουσιάζει ελάχιστο στα σημεία $0,1$ οπότε από Fermat παίρνουμε $g'(0)=g'(1)=0$ . Όμως
$g'(0)=0 \Rightarrow f(0)f'(0)=0 \Rightarrow f'(0)=0$
$g'(1)=0 \Rightarrow 4f'(1)-2f(1)f'(1)=0 \Rightarrow f'(1)=0$
iii) Εύκολο από Rolle για την $f'$ στα διαστήματα $[0,x_0],[x_0,1]$ όπου $x_0$ το σημείο του ερωτήματος i)

JKaradakov · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Παιδιά αν έχω μια συνάρτηση $f:R\rightarrow (-oo,1)$ μπορώ να πω ότι $\lim_{x\rightarrow -oo}f(x)=1$ ;

Επανέρχομαι. Μπορώ όμως να πω πως $f(x)<1$ για κάθε x ανείκει στο R; :hmm:

Civilara · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Επανέρχομαι. Μπορώ όμως να πω πως $f(x)<1$ για κάθε x ανείκει στο R;

Φυσικά. Εφόσον το πεδίο ορισμού είναι το R και το πεδίο τιμών είναι το (-οο,1) τότε f(x)<1 για κάθε x ανήκει R.

JKaradakov · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Φυσικά. Εφόσον το πεδίο ορισμού είναι το R και το πεδίο τιμών είναι το (-οο,1) τότε f(x)<1 για κάθε x ανήκει R.

Οκ, ευχαριστώ!

angietrelaful15 · 21-01-13

Ευχαριστώ για τη βοήθεια styt_geia , vimaproto και civilara !

Civilara · 22 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
2)Αν ισχύει

ν.δ.ο

και

όπου

πραγματικοί!

Άσκηση πολυωνύμων Β λυκείου!

Θεωρούμε τα πολυώνυμα P(x)=f(x)+g(x) και Q(x)=f(x)g(x). Για να ισχύει P(x)=Q(x) για κάθε x ανήκει R πρέπει τα πολυώνυμα P και Q να έχουν τον ίδιο βαθμό nP=nQ.

α) Αν τα πολυώνυμα f και g έχουν τον ίδιο βαθμό nf=ng=n τότε nP=n και nQ=2n. Επομένως έχουμε:
n=2n <=> n=0
που σημαίνει ότι τα f και g είναι σταθερά πολυώνυμα, δηλαδή f(x)=α και g(x)=β για κάθε x ανήκει R όπου α,β ανήκουν R

f(x)+g(x)=f(x)g(x) <=> α+β=αβ

Αν α=1 τότε 1+β=β που είναι αδύνατη, οπότε α διάφορο 1
Αν β=1 τότε α+1=1 που είναι αδύνατη, οπότε β διάφορο 1

Άρα α διάφορο 1 και β διάφορο 1. Τότε έχουμε:

α+β=αβ <=> αβ-β=α <=> (α-1)β=α <=> β=α/(α-1)

β) Αν nf>=ng τότε nP=nf και nQ=nf+ng. Επομένως έχουμε
nf=nf+ng <=> ng=0 που σημαίνει ότι το g είναι σταθερό πολυώνυμο, δηλαδή g(x)=β για κάθε x ανήκει R όπου β ανήκει R. Έχουμε

P(x)=f(x)+g(x)=f(x)+β
Q(x)=f(x)g(x)=βf(x)

P(x)=Q(x) <=> f(x)+β=βf(x) <=> βf(x)-f(x)=β <=> (β-1)f(x)=β

(i) Αν β=1 τότε g(x)=1 για κάθε x ανήκει R και επομένως
P(x)=f(x)+1
Q(x)=f(x)

1>0 => f(x)+1>f(x) <=> P(x)>Q(x) για κάθε x ανήκει R

Άρα όταν g(x)=β=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο f ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R

(ii) Αν β διάφορο 1 τότε f(x)=β/(β-1)=α που σημαίνει ότι και το f είναι σταθερό πολυώνυμο (nf=0).

Τότε έχουμε P(x)=Q(x)=(β^2)/(β-1) για κάθε x ανήκει R

β) Αν nf<=ng τότε nP=ng και nQ=nf+ng. Επομένως έχουμε
ng=nf+ng <=> nf=0 που σημαίνει ότι το f είναι σταθερό πολυώνυμο, δηλαδή f(x)=α για κάθε x ανήκει R όπου α ανήκει R. Έχουμε

P(x)=f(x)+g(x)=g(x)+α
Q(x)=f(x)g(x)=αg(x)

P(x)=Q(x) <=> g(x)+α=αg(x) <=> αg(x)-g(x)=α <=> (α-1)g(x)=α

(i) Αν α=1 τότε f(x)=1 για κάθε x ανήκει R και επομένως
P(x)=g(x)+1
Q(x)=g(x)

1>0 => g(x)+1>g(x) <=> P(x)>Q(x) για κάθε x ανήκει R

Άρα όταν f(x)=α=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο g ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R

(ii) Αν α διάφορο 1 τότε g(x)=α/(α-1)=β που σημαίνει ότι και το g είναι σταθερό πολυώνυμο (ng=0).

Τότε έχουμε P(x)=Q(x)=(α^2)/(α-1) για κάθε x ανήκει R

Επομένως όταν f(x)=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο g ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R και η εξίσωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) είναι αδύνατη. Επίσης όταν g(x)=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο f ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R και η εξίσωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) είναι αδύνατη.

Επειδή ισχύει f(x)+g(x)=f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R τότε είναι αδύνατον να είναι f(x)=1 για κάθε x ανήκει R και g(x)=1 για κάθε ανήκει R. Επομένως σε αυτήν την περίπτωση όπως δείχτηκε είναι f(x)=α, α διάφορο 1 και g(x)=β, β διάφορο 1 όπου β=α/(α-1).

aris-bas · 23 Ιανουαρίου 2013

γεια σας!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω...?
$i)\int { x\eta \mu 2xdx } \\ ii)\int { { x }^{ 2 } } { e }^{ -x }dx\\ iii)\int { xln(x+1)dx } \\ iv)\int { \frac { x }{ { e }^{ x } } } dx\\ v)\int { { e }^{ { x }^{ 2 } } } \cdot { x }^{ 3 }dx\\ vi)\int { x\cdot { 3 }^{ x } } dx$

ζητω συγνωμη για το πληθος των ερωτηματων :redface:

ευχαριστω εκ των προτερων!!

aris-bas · 23 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
γεια σας!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω...?
$iii)\int { xln(x+1)dx } \\ iv)\int { \frac { x }{ { e }^{ x } } } dx\\ v)\int { { e }^{ { x }^{ 2 } } } \cdot { x }^{ 3 }dx\\ vi)\int { x\cdot { 3 }^{ x } } dx$

ζητω συγνωμη για το πληθος των ερωτηματων

ευχαριστω εκ των προτερων!!

και αλλη μια....
εστω z ε C με |z-8|=2|z-2|
α) να βρεθει ο γ.τ των εικονων του z
β)αν z1,z2 δυο μιγαδικοι που οι εικονες τους ανηκουν στο προηγουμενο γ.τ. ν.δ.ο [(z1^v)+(z2^v)]/[z1+z2)^v] ε R , v ε Ν*

antonisd95 · 23-01-13

και αλλη μια....
εστω z ε C με |z-8|=2|z-2|
α) να βρεθει ο γ.τ των εικονων του z
β)αν z1,z2 δυο μιγαδικοι που οι εικονες τους ανηκουν στο προηγουμενο γ.τ. ν.δ.ο [(z1^v)+(z2^v)]/[z1+z2)^v] ε R , v ε Ν*

Στο α, ύψωσε στο τετράγωνο (μιας και δεν έχεις πρόβλημα, αφού τα μέλη είναι μη-αρνητικά) και θα σου βγει.
Στο β, θυμήσου πως αν ένας μιγαδικός είναι ίσος με τον συζυγή του, τότε ανήκει στους πραγματικούς.Πάρε λοιπόν τον συζυγή ολόκληρης της παράστασης και κάνοντας τις πράξεις, θα σου βγει ίσος με την αρχική παράσταση.

rebel · 24-01-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
γεια σας!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω...?
$i)\int { x\eta \mu 2xdx } \\ ii)\int { { x }^{ 2 } } { e }^{ -x }dx\\ iii)\int { xln(x+1)dx } \\ iv)\int { \frac { x }{ { e }^{ x } } } dx\\ v)\int { { e }^{ { x }^{ 2 } } } \cdot { x }^{ 3 }dx\\ vi)\int { x\cdot { 3 }^{ x } } dx$

ζητω συγνωμη για το πληθος των ερωτηματων

ευχαριστω εκ των προτερων!!

Όλα είναι άμεσα από παραγοντική ολοκλήρωση.

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
και αλλη μια....
εστω z ε C με |z-8|=2|z-2|
α) να βρεθει ο γ.τ των εικονων του z
β)αν z1,z2 δυο μιγαδικοι που οι εικονες τους ανηκουν στο προηγουμενο γ.τ. ν.δ.ο [(z1^v)+(z2^v)]/[z1+z2)^v] ε R , v ε Ν*

Μήπως δίνει ότι οι $z_1,z_2$ είναι συζυγείς ή κάτι άλλο; Γιατί μου φαίνεται ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει πάντοτε.

vimaproto · 24 Ιανουαρίου 2013

1)
$\int xsin(2x)dx=\frac{1}{2}\int xsin(2x)d(2x)=-\frac{1}{2}\int xd(cos(2x))=-\frac{1}{2}xcos(2x)+\frac{1}{4}sin(2x)+C$

2)
$\int {x}^{2}{e}^{-x}dx=-\int {x}^{2}d{e}^{-x}=-{x}^{2}{e}^{-x}+\int {e}^{-x}2xdx=-{x}^{2}{e}^{-x}-2x{e}^{-x}+2\int x{e}^{-x}dx=-{x}^{2}{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-2\int xd({e}^{-x)}=\\=-{x}^{2}{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-2x{e}^{-x}+\int {e}^{-x}dx=-{x}^{2}{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-{e}^{-x}+C$

3)
$\int xln(x+1)dx=\frac{1}{2}\int ln(x+1)d{x}^{2}=\frac{1}{2}{x}^{2}ln(x+1)-\frac{1}{2}\int {x}^{2}\frac{dx}{x+1}=\frac{1}{2}{x}^{2}ln(x+1)-\frac{1}{2}\int [x-1+\frac{1}{x+1}]dx=\\=\frac{1}{2}{x}^{2}ln(x+1)-\frac{1}{2}.}{\frac{1}{2}}{x}^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}ln(x+1)+C$

4) Είναι μέρος της 2

5) Ονομάζεις χ²=y και έχεις την 4

$\int {e}^{{x}^{2}}{x}^{3}dx=\frac{1}{2}\int {e}^{{x}^{2}}{x}^{2}dx}=\frac{1}{2}\int {e}^{y}ydy=$

6)
Ονομάζεις y=3^x ==>lny= xln3 ==> dy/y=dx.ln3 ==>dx=dy/y.ln3 κλπ

t00nS · 24-01-13

Μια άσκηση
Εστω f(X),g(X),φ(Χ) συναρτήσεισ στο R.Αν η f(X) είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ(Χ) διπλά παραγωγίσιμη,όπου επίσησ ισχύουν και τα: g(x)=f(x)*φ΄(χ), για κάθε xeR,f΄(χ)#0,φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1, για κάθε xεR,τότε να δείξετε:Αν οι γραφικές παραστάσεις των f(x),g(x) έχουν κοινό σημείο,έστω Μ(χ0,ψ0),τότε στο κοινό τους αυτό σημείο δέχονται την ίδια εφαπτομένη.

Civilara · 24-01-13

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
Μια άσκηση
Εστω f(X),g(X),φ(Χ) συναρτήσεισ στο R.Αν η f(X) είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ(Χ) διπλά παραγωγίσιμη,όπου επίσησ ισχύουν και τα: g(x)=f(x)*φ΄(χ), για κάθε xeR,f΄(χ)#0,φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1, για κάθε xεR,τότε να δείξετε:Αν οι γραφικές παραστάσεις των f(x),g(x) έχουν κοινό σημείο,έστω Μ(χ0,ψ0),τότε στο κοινό τους αυτό σημείο δέχονται την ίδια εφαπτομένη.

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=f΄(x)φ΄(x)+f(x)φ΄΄(x), x ανήκει R

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(φ(x)^2)+(φ΄(x)^2)-1, x ανήκει R. Επειδή η φ είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η h είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

h΄(x)=2φ(x)φ΄(x)+2φ΄(x)φ΄΄(x)=2φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x)), x ανήκει R

Επειδή φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1 τότε ισχύει h(x)=0 για κάθε x ανήκει R οπότε και h΄(x)=0 για κάθε x ανήκει R. Άρα:

2φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x))=0 <=> φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x))=0 για κάθε x ανήκει R

Είναι f(x0)=g(x0)=y0, οπότε έχουμε
f(x0)=g(x0) <=> f(x0)=f(x0)φ΄(x0) <=> f(x)(φ΄(x0)-1)=0 <=> φ΄(x0)-1=0 (εφόσον f(x0) διάφορο 0) <=> φ΄(x0)=1
(φ(x0)^2)+(φ΄(x0)^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+(1^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+1=1 <=> (φ(x0)^2)=0 <=> φ(x0)=0
φ΄(x0)(φ(x0)+φ΄΄(x0))=0 <=> 1*(0+φ΄΄(x0))=0 <=> φ΄΄(x0)=0

Άρα έχουμε
g΄(x0)=f΄(x0)φ΄(x0)+f(x0)φ΄΄(x0)=f΄(x0)*1+f(x0)*0=f΄(x0) => g΄(x0)=f΄(x0)

Επειδή f(x0)=g(x0)=y0 και f΄(x0)=g΄(x0)=λ τότε οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο Μ(x0,y0) με εξίσωση:

y-y0=λ(x-x0) <=> y=λx+y0-λx0

t00nS · 24-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Είναι f(x0)=g(x0)=y0, οπότε έχουμε
f(x0)=g(x0) <=> f(x0)=f(x0)φ΄(x0) <=> f(x)(φ΄(x0)-1)=0 <=> φ΄(x0)-1=0 (εφόσον f(x0) διάφορο 0) <=> φ΄(x0)=1
(φ(x0)^2)+(φ΄(x0)^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+(1^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+1=1 <=> (φ(x0)^2)=0 <=> φ(x0)=0
φ΄(x0)(φ(x0)+φ΄΄(x0))=0 <=> 1*(0+φ΄΄(x0))=0 <=> φ΄΄(x0)=0

δηλαδή εδώ αποδείχθηκε ότι στο σημείο Μ(χ0,y0) αφού η φ ΄΄(χ0)=0 παρουσιάζει σημείο καμπής;

Civilara · 24-01-13

Αρχική Δημοσίευση από t00nS:
δηλαδή εδώ αποδείχθηκε ότι στο σημείο Μ(χ0,y0) αφού η φ ΄΄(χ0)=0 παρουσιάζει σημείο καμπής;

Δεν είναι σαφής η ερώτησή σου. Λογικά αναφέρεσαι στη γραφική παράσταση της φ. Το σημείο Μ(x0,y0) ανήκει στη Cφ εφόσον φ(x0)=y0 που δεν το γνωρίζουμε. Επομένως το σημείο (x0,φ(x0)) δεν συμπίπτει απαραίτητα με το Μ. Το (x0,φ(x0)) είναι σημείο καμπής της Cφ εφόσον αλλάζει το πρόσημο της φ '' εκατέρωθεν του x0 που επίσης δεν γνωρίζουμε. Η πληροφορία φ΄΄(x0)=0 δεν επαρκεί για να είναι το (x0,φ(x0)) είναι σημείο καμπής της Cφ.

P@NT?LO$ · 24-01-13

Ασκηση 22 μπαρλας σελ 164 β βιβλιο
i Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα και να βρειτε τις ριζες και το προσημο της συναρτησης $f(x)={e}^{x}+x-1$
ii Να μελετησετε ως προς τα ακροτατα τη συναρτηση $φ(x)=2{e}^{x}+{x}^{2}-2x$ και να βρειτε το προσημο της
iii Να αποδειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων $g(x)={e}^{x}-1$ και $h(x)=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x$ εχουν μονο ενα κοινο σημειο στο οποιο εχουν κοινη εφαπτομενη
την θελω για αυριο το μεσημερι...ας την λυσει καποιος,παρακαλω... :hmm:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος