Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 18-01-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
με αφορμη το ποστ της κοπελας θα ηθελα να ρωτησω και γω με τη σειρα μου τι κανουμε στην περιπτωση που ο βαθμος του αριθμητη ειναι μεγαλυτερος απο του παρονομαστη..??
$1)\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ x-1 } dx\\ } \\ 2)\int { \frac { { x }^{ 3 }+x+2 }{ { x }^{ 2 }-4 } } dx$

Γενικά αν $p(x), q(x)$ πολυώνυμα με $q(x) \neq 0$ τότε από την ταυτότητα της διαίρεσης υπάρχουν πολυώνυμα $\pi (x),\,\,\upsilon(x)$ τέτοια ώστε
$p(x)=q(x) \pi(x)+ \upsilon(x)$
όπου είτε $\upsilon(x)=0$ είτε ο βαθμός του $\upsilon(x)$ είναι μικρότερος από τον βαθμό του $q(x)$
Άρα λοιπόν
$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{q(x) \pi(x)+ \upsilon(x)}{q(x)}=\pi(x)+\frac{\upsilon(x)}{q(x)}$
με $\upsilon(x)=0$ ή $\deg \upsilon (x)< \deg q(x)$
Συμπερασματικά αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος απ' του παρονομαστή κάνεις την διαίρεση των πολυωνύμων και σπας το ολοκλήρωμα σε δύο μέρη. Το ένα μέρος είναι ολοκλήρωμα ενός πολυωνύμου ( τετριμμένο )
$\int \pi(x) dx$
και το άλλο είναι ένα ολοκλήρωμα μίας ρητής συνάρτησης με βαθμό αριθμητή μικρότερο του βαθμού παρονομαστή
$\int \frac{\upsilon(x)}{q(x)} dx$
οπότε γίνεται η γνωστή διάσπαση σε ρητά κλάσματα

Civilara · 18-01-13

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
$\int { \frac { { x }^{ 3 }+x+2 }{ { x }^{ 2 }-4 } } dx$

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(x^3)+x+2]/[(x^2)-4]=[(x^3)+x+2]/[(x-2)(x+2)] με πεδίο ορισμού το A=(-oo,-2)U(-2,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.

Η συνάρτηση f γράφεται ισοδύναμα για κάθε x ανήκει Α ως εξής:

f(x)=[(x^3)+x+2]/[(x-2)(x+2)]=[(x^3)+(x+2)]/[(x-2)(x+2)]
f(x)={(x^3)/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]={[(x^3)-8+8]/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x^3)-8]/[(x-2)(x+2)]}+8{1/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x-2)((x^2)+2x+4)]/[(x-2)(x+2)]}+2{[(x+2)-(x-2)]/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x^2)+2x+4]/(x+2)}+2[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]+[1/(x-2)]
f(x)={[x(x+2)+4]/(x+2)}+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)={[x(x+2)]/(x+2)}+[4/(x+2)]+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)=x+4[1/(x+2)]+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)=x+2[1/(x+2)]+3[1/(x-2)]

Άρα f(x)=x+3[1/(x-2)]+2[1/(x+2)] για κάθε x ανήκει A.

Ολοκληρώνοντας την f στο διάστημα Δ παίρνουμε:

$\int f(x)dx=\int xdx+3\int \frac{1}{x-2}dx+2\int \frac{1}{x+2}dx=\frac{{x}^{2}}{2}+3ln|x-2|+2ln|x+2|+c$

mary-blackrose · 19-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x/[(x^2)-4]=x/[(x-2)(x+2)] με πεδίο ορισμού το A=(-oo,-2)U(-2,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.

Ολοκληρώνοντας την f στο Δ έχουμε:

$\int f(x)dx=\int \frac{x}{{x}^{2}-4}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{{x}^{2}-4}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\left( {x}^{2}-4\right)'}{{x}^{2}-4}dx=\frac{1}{2}ln\left|{x}^{2}-4 \right|+c$

γιατι θεωρησαμε την f(x)=x/[(x^2)-4]...... :hmm:

???
δεν θα επρεπε να θεωρησουμε την f(x)=x/[(x^2)-1].....???

Civilara · 19-01-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
γιατι θεωρησαμε την f(x)=x/[(x^2)-4]......???
δεν θα επρεπε να θεωρησουμε την f(x)=x/[(x^2)-1].....???

Ναι, έχεις δίκιο. Το ίδιο πράγμα είναι, δεν αλλάζει κάτι στη διαδικασία.

angietrelaful15 · 20 Ιανουαρίου 2013

Καλησπέρα σας! Εχω ένα φυλλάδιο με ασκήσεις στα μαθηματικά που πρέπει να παραδώσω οποσδήποτε αύριο!Μου εχουν μείνει δύο ασκήσεις που δεν μπορώ να κάνω!Σας παρακαλώ βοηθήστε με!
1)Δινεται η συνάρτηση : f(x) = 2ημ(9π-2x) - συν (21π/2 + 2x)
α) να απλοποιήσετε τον τύπο της f
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x'x
γ)να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτή
δ) να λύσετε την εξίσωση : f(π/4 - x) - f(x) = 0

2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2

Συγνωμη αν ειναι λιγο μεγαλες !

rebel · 20-01-13

1) α)
$\eta \mu (9\pi-2x)= \eta \mu (4 \cdot (2 \pi) + \pi -2x)=\eta \mu (\pi-2x)=\eta \mu (2x)$
$\sigma \upsilon \nu \left( \frac{21 \pi}{2}+2x \right)= \sigma \upsilon \nu \left(5 \cdot (2 \pi)+\frac{\pi}{2}+2x \right)= \sigma \upsilon \nu \left(\frac{\pi}{2}+2x \right)=-\eta \mu (2x)$
οπότε
$f(x)=3 \eta \mu (2x)$
β)
$f(x)=0 \Leftrightarrow 3 \eta \mu (2x)=0 \Leftrightarrow 2x=k \pi \Leftrightarrow x =\frac{k \pi}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$
γ)
Προφανώς $f(x) \geq -3,\,\,x \in \mathbb{R}$ και το ελάχιστο πιάνεται για
$f(x)=-3 \Leftrightarrow \eta \mu (2x)=-1 \Leftrightarrow 2x=2k \pi +\frac{3 \pi}{2} \Leftrightarrow x=k \pi +\frac{3 \pi}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}$
δ)
$f(x)=f \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \Leftrightarrow \eta \mu (2x)= \eta \mu \left(\frac{\pi}{2}-2x\right) \Leftrightarrow \\ \begin{cases}2x= 2k \pi +\frac{\pi}{2}-2x \\ 2x = 2k \pi +\pi-\frac{\pi}{2}+2x \end{cases}\,k \in \mathbb{Z}$
Η πρώτη περίπτωση δίνει
$x= \frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{8},\,\,k \in \mathbb{Z}$
ενώ η δεύτερη είναι αδύνατη.

vimaproto · 20 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από angietrelaful15:
Καλησπέρα σας! Εχω ένα φυλλάδιο με ασκήσεις στα μαθηματικά που πρέπει να παραδώσω οποσδήποτε αύριο!Μου εχουν μείνει δύο ασκήσεις που δεν μπορώ να κάνω!Σας παρακαλώ βοηθήστε με!
1)Δινεται η συνάρτηση : f(x) = 2ημ(9π-2x) - συν (21π/2 + 2x)
α) να απλοποιήσετε τον τύπο της f
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x'x
γ)να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτή
δ) να λύσετε την εξίσωση : f(π/4 - x) - f(x) = 0

2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2

Συγνωμη αν ειναι λιγο μεγαλες !

1η.
α)f(x)=2ημ(9π-2χ)-συν(21π/2+2χ)=2ημ(8π+π-2χ)-συν(20π/2+π/2+2χ)=2ημ(π-2χ)-συν(π/2+2χ)=2ημ2χ+ημ2χ=3ημ2χ
β)Για να βρω την περίοδο f[2(x+T)]=f(2x) ==> 3ημ2(χ+Τ)=3ημ2χ ==>2χ+2Τ=2κπ+2χ ==>Τ=π για κ=1
Κάθε Τ/=π/2 η συνάρτηση τέμνει τον χ'χ Αρα χ=0, (+-)π/2, (+-)2π/2, (+-)3π/2 ........=λ.π/2 ( όπου λ=... -3, -2, -1, 0,1,2,3,4.....)
γ) -1=<ημ2χ=<1 ===> -3=

ημ2χ=

===> -3=<f(x)=

Αρα η ελάχιστη τιμή είναι -3 και την παίρνει όταν χ=3π/4, (+-)π+3π/4 .......
=λπ+3π/4 (λ=.... -3, -2 , -1, 0, 1,2 ......)
δ) f(π/4-χ)=f(x)
3ημ[2(π/4-χ)]=3ημ2χ ==> ημ(π/2-2χ)=ημ2χ ==> συν2χ=ημ2χ ==> εφ2χ=1=εφπ/4 ==> 2χ=κπ+π/4 ==> χ=κπ/2 + π/8 για συν2χ=0 κλπ
Καλύτερα να έλυνα τη δεύτερη. Ο Κώστας είναι πιο γρήγορο πιστόλι.

Μετά από αυτό στα γρήγορα
2η
1) α+1=3 ==> α=2
F(x+T)=F(x) Προκύπτει βπχ+βπΤ=2κπ+βπχ ==>Τ=2/β=4 ==>β=1/2
2)F(x)min=-3 χ=4κ+2 κ ανήκει στο Ζ
3) 3συνπχ/2=3/2 ==> συνπχ/2=1/2=συνπ/3 ==>χ=4κ+2/3 ή χ=4κ-2/3

Civilara · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από angietrelaful15:
2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2

α) Επειδή α>0 τότε α+1>1>0. Για κάθε x ανήκει R ισχύει -1<=συν(βπx)<=1, οπότε έχουμε:
-1<=συν(βπx)<=1 <=> -(α+1)<=(α+1)συν(βπx)<=α+1 <=> -(α+1)<=f(x)<=α+1 για κάθε x ανήκει R

Η μέγιστη τιμή της f ισούται με (α+1). Επομένως έχουμε:
α+1=3 <=> α=2

Άρα f(x)=3συν(βπx) για κάθε x ανήκει R. Η f έχει τη μορφή f(x)=Aσυν(ωx) όπου Α=3 και ω=βπ με β>0. Επομένως η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π/ω=2π/(βπ)=2/β. Επειδή είναι Τ=4 τότε έχουμε:
2/β=4 <=> β=1/2

Άρα f(x)=3συν(πx/2), x ανήκει R

β) Για α=2 τότε από την ανισότητα -(α+1)<=f(x)<=α+1 προκύπτει ότι -3<=f(x)<=3 για κάθε x ανήκει R
Θα λύσουμε την εξίσωση f(x)=-3

f(x)=-3 <=> 3συν(πx/2)=-3 <=> συν(πx/2)=-1 <=> συν(πx/2)=συνπ <=> πx/2=(2κ+1)π <=> x=4κ+2 όπου κ ακέραιος
Η λύση πx/2=(2λ-1)π <=> x=4λ-2 όπου λ ακέραιος είναι ισοδύναμη με την πρώτη όταν λ=κ+1 και δίνει τις ίδιες λύσεις.

Επομένως f(4κ+2)=-3 για κάθε κ ανήκει Z.

γ) f(x)=3/2 <=> 3συν(πx/2)=3/2 <=> συν(πx/2)=1/2 <=> συν(πx/2)=συν(π/3) <=> πx/2=2κπ+(π/3) ή πx/2=2κπ-(π/3) όπου κ ανήκει Ζ

(i) πx/2=2κπ+(π/3) <=> x=4κ+(2/3) όπου κ ανήκει Z
(ii) πx/2=2κπ-(π/3) <=> x=4κ-(2/3) όπου κ ανήκει Ζ

Άρα f(4κ-(2/3))=f(4κ+(2/3))=3/2 για κάθε κ ανήκει Ζ

ΣιΜοΣ · 21-01-13

Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το $\int 1/(x^4 + 1)dx$

Civilara · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από ΣιΜοΣ:
Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το $\int 1/(x^4 + 1)dx$

Είναι εκτός ύλης των μαθηματικών κατεύθυνσης.

$\int \frac{1}{{x}^{4}+1}dx=\frac{1}{4\sqrt{2}}ln\left(\frac{{x}^{2}+x\sqrt{2}+1}{{x}^{2}-x\sqrt{2}+1} \right)-\frac{1}{2\sqrt{2}}Arctan\left(\frac{x\sqrt{2}}{{x}^{2}-1} \right)+c$

με $-\frac{\pi }{2}<Arctanx<\frac{\pi }{2}$ για κάθε x ανήκει R.

Leo 93 · 21 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από ΣιΜοΣ:
Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το $\int 1/(x^4 + 1)dx$

Λάθος απάντηση, την αποσύρω. Θα ξαναπροσπαθήσω αργότερα αν μπορέσω.

vimaproto · 21-01-13

Leo 93 για το τρίτο ολοκλήρωμα
${x}^{2}=u\Rightarrow 2xdx=du\Rightarrow 2\sqrt{u}dx=du\Rightarrow dx=\frac{du}{2\sqrt{u}}$
και το ολοκλήρωμα γίνεται $\int{\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{4}}}dx=\int{\frac{u}{1+{{u}^{2}}}.\frac{du}{2\sqrt{u}}$

rebel · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από ΣιΜοΣ:
Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το $\int 1/(x^4 + 1)dx$

Έχει κάπως επίπονες πράξεις. Το πρώτο βήμα είναι η παραγοντοποίηση του παρονομαστή.
$x^4+1=x^4-2x^2+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-2x^2=\\ \left(x^2-\sqrt{2}x+1\right) \left(x^2+\sqrt{2}x+1\right)$
και μετά ακολουθεί η διάσπαση σε ρητά κλάσματα. Ψάχνω δηλαδή $A,B,C,D$ τέτοια ώστε
$\frac{1}{1+x^4}=\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}$
Και αφού τα βρούμε αυτά, το καθένα από τα προηγούμενα κλάσματα θα σπάσει σε δύο κομμάτια. Το ένα θα είναι της μορφής
$\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}$
με ολοκλήρωμα
$\ln \left( ax^2+bx+c \right)$
και το άλλο κομμάτι μετά από κατάλληλη αντικατάσταση θα έρθει στην μορφή
$\frac{1}{1+u^2}$
με ολοκλήρωμα $\epsilon \phi ^{-1} u$ . Όποιος έχει κουράγιο ας το γράψει αναλυτικά.

P@NT?LO$ · 21-01-13

1)εστω η συναρτηση $f:R\rightarrow R με <img src=$ και ${(f'(x))}^{2}\neq f(x)f''(x)$ για καθε x που ανηκει στο R. Να δειξετε οτι η συναρτηση $g(x)=lnf(x)$ εχει το πολυ ενα ακροτατο.

2)εστω η συναρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποια εινα 2 φορες παραγωγισγιμη και ισχυει $2f({x}^{2})-{f}^{2}(x)\geq 1$ για καθε x που ανηκει στο R.Να δειξετε οτι:
i) Υπαρχει $x0\varepsilon \left(0,1 \right)$ τετοιο ωστε $f'(x0)=0$
ii) $f'(0)=f'(1)$
iii)Η εξισωση $f''(x)=0$ εχει 2 τουλαχιστον ριζες στο (0,1)" />

kiriazispao4ever · 21-01-13

f συνεχης στο [2,+οο]
f παραγωγισιμη στο (2,+oo)
f(2)=0
f' γνησιως αυξουσα στο (2,+οο)
g(x)=f(x)/x-2

ΝΔΟ: g'(x)>0 για καθε χε(2,+οο)

rebel · 21 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
1)εστω η συναρτηση $f:R\rightarrow R με <img src=$ και ${(f'(x))}^{2}\neq f(x)f''(x)$ για καθε x που ανηκει στο R. Να δειξετε οτι η συναρτηση $g(x)=lnf(x)$ εχει το πολυ ενα ακροτατο.
" />

$<br /> Είναι παρόμοια με προηγούμενη που έχεις δημοσιεύσει. Έστω ότι έχει δύο ακρότατα στις θέσεις <img src=$ . Τότε από Fermat είναι $g'(a)=g'(b)=0$ και από Rolle υπάρχει $x_0 \in (a,b):g''(x_0)=0$ που όμως λόγω της αρχικής συνθήκης είναι άτοπο.

Αρχική Δημοσίευση από kiriazispao4ever:
f συνεχης στο [2,+οο]
f παραγωγισιμη στο (2,+oo)
f(2)=0
f' γνησιως αυξουσα στο (2,+οο)
g(x)=f(x)/x-2

ΝΔΟ: g'(x)>0 για καθε χε(2,+οο)

Έστω $x>2$ . Από ΘΜΤ υπάρχει $\xi \in (2,x):f'(\xi)=\frac{f(x)-f(2)}{x-2} \Rightarrow f(x)=f'(\xi)(x-2),\,\,(1)$
Επίσης
$g'(x)=\frac{f'(x)(x-2)-f(x)}{(x-2)^2} \stackrel{(1)}{=}\frac{f'(x)(x-2)-f'(\xi)(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{f'(x)-f'(\xi)}{x-2}$
Όμως η $g'$ είναι γνησίως αύξουσα άρα $\xi < x \Rightarrow f'(\xi)<f'(x)$ οπότε τελειώσαμε." />

JKaradakov · 21-01-13

Παιδιά αν έχω μια συνάρτηση $f:R\rightarrow (-oo,1)$ μπορώ να πω ότι $\lim_{x\rightarrow -oo}f(x)=1$ ; :hmm:

Civilara · 21 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Παιδιά αν έχω μια συνάρτηση $f:R\rightarrow (-oo,1)$ μπορώ να πω ότι $\lim_{x\rightarrow -oo}f(x)=1$ ;

Όχι.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^(-x)). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->-oo)f(x)=-oo.

JKaradakov · 21-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Όχι.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^(-x)). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->-oo)f(x)=-oo.

Eεε, έκανα ορθογραφικό λάθος. $\lim_{x\rightarrow +oo}f(x)=1$ ήθελα να πω. :redface:

Guest 278211 · 21-01-13

είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση;

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης