rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Γενικά ανμε αφορμη το ποστ της κοπελας θα ηθελα να ρωτησω και γω με τη σειρα μου τι κανουμε στην περιπτωση που ο βαθμος του αριθμητη ειναι μεγαλυτερος απο του παρονομαστη..??
![]()
όπου είτε
Άρα λοιπόν
με
Συμπερασματικά αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος απ' του παρονομαστή κάνεις την διαίρεση των πολυωνύμων και σπας το ολοκλήρωμα σε δύο μέρη. Το ένα μέρος είναι ολοκλήρωμα ενός πολυωνύμου ( τετριμμένο )
και το άλλο είναι ένα ολοκλήρωμα μίας ρητής συνάρτησης με βαθμό αριθμητή μικρότερο του βαθμού παρονομαστή
οπότε γίνεται η γνωστή διάσπαση σε ρητά κλάσματα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(x^3)+x+2]/[(x^2)-4]=[(x^3)+x+2]/[(x-2)(x+2)] με πεδίο ορισμού το A=(-oo,-2)U(-2,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.
Η συνάρτηση f γράφεται ισοδύναμα για κάθε x ανήκει Α ως εξής:
f(x)=[(x^3)+x+2]/[(x-2)(x+2)]=[(x^3)+(x+2)]/[(x-2)(x+2)]
f(x)={(x^3)/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]={[(x^3)-8+8]/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x^3)-8]/[(x-2)(x+2)]}+8{1/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x-2)((x^2)+2x+4)]/[(x-2)(x+2)]}+2{[(x+2)-(x-2)]/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x^2)+2x+4]/(x+2)}+2[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]+[1/(x-2)]
f(x)={[x(x+2)+4]/(x+2)}+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)={[x(x+2)]/(x+2)}+[4/(x+2)]+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)=x+4[1/(x+2)]+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)=x+2[1/(x+2)]+3[1/(x-2)]
Άρα f(x)=x+3[1/(x-2)]+2[1/(x+2)] για κάθε x ανήκει A.
Ολοκληρώνοντας την f στο διάστημα Δ παίρνουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mary-blackrose
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x/[(x^2)-4]=x/[(x-2)(x+2)] με πεδίο ορισμού το A=(-oo,-2)U(-2,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.
Ολοκληρώνοντας την f στο Δ έχουμε:
![]()
γιατι θεωρησαμε την f(x)=x/[(x^2)-4]......
![hmmm :hmm: :hmm:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/hmmm.gif)
δεν θα επρεπε να θεωρησουμε την f(x)=x/[(x^2)-1].....???
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
γιατι θεωρησαμε την f(x)=x/[(x^2)-4]......???
δεν θα επρεπε να θεωρησουμε την f(x)=x/[(x^2)-1].....???
Ναι, έχεις δίκιο. Το ίδιο πράγμα είναι, δεν αλλάζει κάτι στη διαδικασία.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
angietrelaful15
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1)Δινεται η συνάρτηση : f(x) = 2ημ(9π-2x) - συν (21π/2 + 2x)
α) να απλοποιήσετε τον τύπο της f
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x'x
γ)να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτή
δ) να λύσετε την εξίσωση : f(π/4 - x) - f(x) = 0
2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2
Συγνωμη αν ειναι λιγο μεγαλες !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
οπότε
β)
γ)
Προφανώς
δ)
Η πρώτη περίπτωση δίνει
ενώ η δεύτερη είναι αδύνατη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vimaproto
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1η.Καλησπέρα σας! Εχω ένα φυλλάδιο με ασκήσεις στα μαθηματικά που πρέπει να παραδώσω οποσδήποτε αύριο!Μου εχουν μείνει δύο ασκήσεις που δεν μπορώ να κάνω!Σας παρακαλώ βοηθήστε με!
1)Δινεται η συνάρτηση : f(x) = 2ημ(9π-2x) - συν (21π/2 + 2x)
α) να απλοποιήσετε τον τύπο της f
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τον άξονα x'x
γ)να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτή
δ) να λύσετε την εξίσωση : f(π/4 - x) - f(x) = 0
2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2
Συγνωμη αν ειναι λιγο μεγαλες !
α)f(x)=2ημ(9π-2χ)-συν(21π/2+2χ)=2ημ(8π+π-2χ)-συν(20π/2+π/2+2χ)=2ημ(π-2χ)-συν(π/2+2χ)=2ημ2χ+ημ2χ=3ημ2χ
β)Για να βρω την περίοδο f[2(x+T)]=f(2x) ==> 3ημ2(χ+Τ)=3ημ2χ ==>2χ+2Τ=2κπ+2χ ==>Τ=π για κ=1
Κάθε Τ/=π/2 η συνάρτηση τέμνει τον χ'χ Αρα χ=0, (+-)π/2, (+-)2π/2, (+-)3π/2 ........=λ.π/2 ( όπου λ=... -3, -2, -1, 0,1,2,3,4.....)
γ) -1=<ημ2χ=<1 ===> -3=
![Love2 <3 <3](https://www.e-steki.gr/images/smilies/2018/love2.gif)
![Love2 <3 <3](https://www.e-steki.gr/images/smilies/2018/love2.gif)
![Love2 <3 <3](https://www.e-steki.gr/images/smilies/2018/love2.gif)
=λπ+3π/4 (λ=.... -3, -2 , -1, 0, 1,2 ......)
δ) f(π/4-χ)=f(x)
3ημ[2(π/4-χ)]=3ημ2χ ==> ημ(π/2-2χ)=ημ2χ ==> συν2χ=ημ2χ ==> εφ2χ=1=εφπ/4 ==> 2χ=κπ+π/4 ==> χ=κπ/2 + π/8 για συν2χ=0 κλπ
Καλύτερα να έλυνα τη δεύτερη. Ο Κώστας είναι πιο γρήγορο πιστόλι.
Μετά από αυτό στα γρήγορα
2η
1) α+1=3 ==> α=2
F(x+T)=F(x) Προκύπτει βπχ+βπΤ=2κπ+βπχ ==>Τ=2/β=4 ==>β=1/2
2)F(x)min=-3 χ=4κ+2 κ ανήκει στο Ζ
3) 3συνπχ/2=3/2 ==> συνπχ/2=1/2=συνπ/3 ==>χ=4κ+2/3 ή χ=4κ-2/3
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2
α) Επειδή α>0 τότε α+1>1>0. Για κάθε x ανήκει R ισχύει -1<=συν(βπx)<=1, οπότε έχουμε:
-1<=συν(βπx)<=1 <=> -(α+1)<=(α+1)συν(βπx)<=α+1 <=> -(α+1)<=f(x)<=α+1 για κάθε x ανήκει R
Η μέγιστη τιμή της f ισούται με (α+1). Επομένως έχουμε:
α+1=3 <=> α=2
Άρα f(x)=3συν(βπx) για κάθε x ανήκει R. Η f έχει τη μορφή f(x)=Aσυν(ωx) όπου Α=3 και ω=βπ με β>0. Επομένως η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π/ω=2π/(βπ)=2/β. Επειδή είναι Τ=4 τότε έχουμε:
2/β=4 <=> β=1/2
Άρα f(x)=3συν(πx/2), x ανήκει R
β) Για α=2 τότε από την ανισότητα -(α+1)<=f(x)<=α+1 προκύπτει ότι -3<=f(x)<=3 για κάθε x ανήκει R
Θα λύσουμε την εξίσωση f(x)=-3
f(x)=-3 <=> 3συν(πx/2)=-3 <=> συν(πx/2)=-1 <=> συν(πx/2)=συνπ <=> πx/2=(2κ+1)π <=> x=4κ+2 όπου κ ακέραιος
Η λύση πx/2=(2λ-1)π <=> x=4λ-2 όπου λ ακέραιος είναι ισοδύναμη με την πρώτη όταν λ=κ+1 και δίνει τις ίδιες λύσεις.
Επομένως f(4κ+2)=-3 για κάθε κ ανήκει Z.
γ) f(x)=3/2 <=> 3συν(πx/2)=3/2 <=> συν(πx/2)=1/2 <=> συν(πx/2)=συν(π/3) <=> πx/2=2κπ+(π/3) ή πx/2=2κπ-(π/3) όπου κ ανήκει Ζ
(i) πx/2=2κπ+(π/3) <=> x=4κ+(2/3) όπου κ ανήκει Z
(ii) πx/2=2κπ-(π/3) <=> x=4κ-(2/3) όπου κ ανήκει Ζ
Άρα f(4κ-(2/3))=f(4κ+(2/3))=3/2 για κάθε κ ανήκει Ζ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΣιΜοΣ
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το![]()
Είναι εκτός ύλης των μαθηματικών κατεύθυνσης.
με
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Leo 93
Εκκολαπτόμενο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το![]()
Λάθος απάντηση, την αποσύρω. Θα ξαναπροσπαθήσω αργότερα αν μπορέσω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
vimaproto
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
και το ολοκλήρωμα γίνεται
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έχει κάπως επίπονες πράξεις. Το πρώτο βήμα είναι η παραγοντοποίηση του παρονομαστή.Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το![]()
και μετά ακολουθεί η διάσπαση σε ρητά κλάσματα. Ψάχνω δηλαδή
Και αφού τα βρούμε αυτά, το καθένα από τα προηγούμενα κλάσματα θα σπάσει σε δύο κομμάτια. Το ένα θα είναι της μορφής
με ολοκλήρωμα
και το άλλο κομμάτι μετά από κατάλληλη αντικατάσταση θα έρθει στην μορφή
με ολοκλήρωμα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
P@NT?LO$
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
2)εστω η συναρτηση
i) Υπαρχει
ii)
iii)Η εξισωση
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
kiriazispao4ever
Δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
f παραγωγισιμη στο (2,+oo)
f(2)=0
f' γνησιως αυξουσα στο (2,+οο)
g(x)=f(x)/x-2
ΝΔΟ: g'(x)>0 για καθε χε(2,+οο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1)εστω η συναρτησηκαι
για καθε x που ανηκει στο R. Να δειξετε οτι η συναρτηση
εχει το πολυ ενα ακροτατο.
" />
Έστωf συνεχης στο [2,+οο]
f παραγωγισιμη στο (2,+oo)
f(2)=0
f' γνησιως αυξουσα στο (2,+οο)
g(x)=f(x)/x-2
ΝΔΟ: g'(x)>0 για καθε χε(2,+οο)
Επίσης
Όμως η
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
JKaradakov
Τιμώμενο Μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![hmmm :hmm: :hmm:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/hmmm.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Παιδιά αν έχω μια συνάρτησημπορώ να πω ότι
;
![]()
Όχι.
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^(-x)). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->-oo)f(x)=-oo.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
JKaradakov
Τιμώμενο Μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Όχι.
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^(-x)). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->-oo)f(x)=-oo.
![Embarrassment :redface: :redface:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/redface.gif)
![Embarrassment :redface: :redface:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/redface.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Guest 278211
Επισκέπτης
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Τα παρακάτω 0 μέλη και 10 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:Tα παρακάτω 270 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
- thepigod762
- Mariosm.
- soulatso
- oteletampis
- phleidhs
- *
- Hased Babis
- nearos
- AggelikiGr
- *
- sir ImPeCaBlE
- veiNqh
- Scandal
- alekos
- Debugging_Demon
- just some guy
- xristosgkm
- ismember
- Apocalypse
- arrow25
- *
- rempelos42
- *
- ggl
- *
- *
- GStef
- QWERTY23
- xrisamikol
- Σωτηρία
- nikoletaz57
- _Aggelos123
- Mariam38
- *
- SlimShady
- *
- strsismos88
- *
- Georgekk
- Lia 2006
- igeorgeoikonomo
- marian
- tsiobieman
- constansn
- Xristosdimitra
- Panagiotis849
- *
- ρενακι 13
- *
- Memetchi
- eukleidhs1821
- Nikkkpat
- Unboxholics
- korlef
- *
- kwstaseL
- Thanos_D
- *
- the purge
- T C
- Giii
- Papachrist
- liaiscool
- Αννα Τσιτα
- globglogabgalab
- Pharmacist01
- thanahss
- abcdefg12345
- nicole1982
- *
- *
- *
- thecrazycretan
- kvstas92
- KingOfPop
- *
- nPb
- maria301
- papa2g
- stefan
- *
- Κλημεντίνη
- TonyMontanaEse
- Athens2002
- Alexecon1991
- Μάρκος Βασίλης
- *
- Cortes
- το κοριτσι του μαη
- calliope
- *
- *
- *
- *
- ale
- panagiotis G
- *
- Kleanth
- aggelosst9
- BioChemical
- spring day
- nucomer
- Georgia110
- LeoDel
- pink_panther
- Alexandros973
- marsenis
- den antexw allh apotyxia
- KaterinaL
- kiyoshi
- drosos
- Λαμπρινηη
- Bill22
- Chrysablac.
- giorgosp97
- *
- Βλα
- Monster Hunter
- jul25
- xxxtolis
- Stroka
- *
- nicks1999
- totiloz
- *
- Earendil
- mitsakos
- tasost
- lnesb
- ssalex
- Vasilina93
- alan09
- *
- Livaja10
- χημεια4λαιφ
- *
- *
- Viedo
- UncleJ
- Kostakis45
- Infrared
- Zgian
- pepatogourounaki
- hirasawayui
- GeoCommand
- Eleni54
- American Economist
- EiriniS20
- Johny4Life
- ΘανάσοςG4
- *
- stamoul1s
- Αριάνα123
- uni77
- tasoss
- *
- PanosCh002
- Unseen skygge
- *
- Νικόλας Ραπ.
- *
- cel123
- The Limit Does Not Exist
- *
- don_vito
- suaimhneas
- Αλκης Κ.
- alexrami
- Baggelitsa36
- Νομικάριος13
- spinalgr1990
- d_th
- *
- Adolfo valencia
- Πα.Κ
- Vasilis25
- Johnman97
- Steffie88
- rekcoR
- *
- gwgw_5
- fockos
- Mariahj
- roud
- kostas83
- Cpt.Philips
- *
- Makis45
- *
- Χρησλου
- Panos_02
- Vold
- *
- *
- tymvorixos
- GiorgosAsi
- Neos167
- *
- *
- theodoraooo
- *
- George187
- Άρτεμις Α.
- Μαρία2222
- christos87
- Idontknoww
- jimis2001
- Metamorph
- Γατόπαρδος.
- Johnsk
- mitsos14
- johnsiak
- *
- Elel
- Dreamer_SW
- Γιαννης1987Θεσσ
- *
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.