Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mpko · 12-01-12

Αρχική Δημοσίευση από dimijim:
Έτυχε να την κάνω χθες με τον καθηγητή μου στο μάθημα.
Ελπίζω να σε καλύψει...

Σήμερα την έκανα στο φροντιστήριο.

elenatpt · 13-01-12

Γεια σας παιδια συγνωμη που γραφω θεμα θεωριας εδω αλλα απ'οτι ειδα το αντιστοιχο τοπικ δεν εχει πολυ ''κινηση'' θελω να μου πειτε τη γνωμη σας για καποια Σ-Λ
α)Αν f παραγωγισιμη στο Χο τοτε η f' ειναι συνεχης στο Xo
β) Aν η f ειναι δυο φορες παρ/μη στο Χο τοτε η f' ειναι συνεχης στο Χο
γ) Αν η f παρ/μη στο Χο τοτε η Cf δεχεται εφαπτομενη ε στο Μ(χο,f(xo)) με λε=f(xo)
δ)Η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης μιας συναρτησης f στο σημειο της M(xo,f(xo)) δεν εχει αλλο κοινο σημειο μ'αυτην
ε) Η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της F(x)=ax+b σε ενα σημειο της M(xo,F(xo)) συμπιπτει με αυτην

mpko · 13-01-12

Αρχική Δημοσίευση από elenatpt:
Γεια σας παιδια συγνωμη που γραφω θεμα θεωριας εδω αλλα απ'οτι ειδα το αντιστοιχο τοπικ δεν εχει πολυ ''κινηση'' θελω να μου πειτε τη γνωμη σας για καποια Σ-Λ
α)Αν f παραγωγισιμη στο Χο τοτε η f' ειναι συνεχης στο Xo
β) Aν η f ειναι δυο φορες παρ/μη στο Χο τοτε η f' ειναι συνεχης στο Χο
γ) Αν η f παρ/μη στο Χο τοτε η Cf δεχεται εφαπτομενη ε στο Μ(χο,f(xo)) με λε=f(xo)
δ)Η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης μιας συναρτησης f στο σημειο της M(xo,f(xo)) δεν εχει αλλο κοινο σημειο μ'αυτην
ε) Η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της F(x)=ax+b σε ενα σημειο της M(xo,F(xo)) συμπιπτει με αυτην

Νομίζω..
α) Λ
β) Σ
γ) Σ
δ) Λ
ε) Σ

Athr · 13-01-12

Το γ λαθος δεν ειναι? :worry:

elenatpt · 13-01-12

νομιζω κι εγω γιατι ο ορισμος λεει το Μ να ειναι σημειο της Cf

rebel · 13 Ιανουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από elenatpt:
Γεια σας παιδια συγνωμη που γραφω θεμα θεωριας εδω αλλα απ'οτι ειδα το αντιστοιχο τοπικ δεν εχει πολυ ''κινηση'' θελω να μου πειτε τη γνωμη σας για καποια Σ-Λ
α)Αν f παραγωγισιμη στο Χο τοτε η f' ειναι συνεχης στο Xo

Ένα παράδειγμα μίας τέτοιας συνάρτησης που βρήκα στο βιβλίο "Διαφορικός και Oλοκληρωτικός λογισμός" (Michael Spivak) είναι η εξής
$f(x)=\begin{cases} x^2 \eta \mu \frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ με παράγωγο $f'(x)=\begin{cases} 2x \eta \mu \frac{1}{x}- \sigma \upsilon \nu \frac{1}{x}, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ η οποία δεν είναι συνεχής στο 0. Δεν ξέρω να το δείξω όμως σχολικά (μη σχολικά είναι δύο γραμμές).

jjoohhnn · 13-01-12

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Και μια άλλη άσκηση
Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R. Αν για κάθε χ διάφορο του y υπάρχει μοναδικό πραγματικό a τέτοιο ώστε $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(a)$ , να δείξετε ότι η f' είναι 1-1

Μία προσπάθεια (μάλλον λανθασμένη):

Έστω ότι $f΄$ δεν είναι 1-1. Τότε θα υπάρχει $x2$ τέτοιο ώστε $f'(a)=f'(x1)$ .
Άρα θα είναι και $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(x1)$ που είναι άτοπο καθώς από εκφώνηση υπάρχει μοναδικό a τέτοιο ώστε $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(a)$ . Άρα η $f΄$ είναι 1-1.

Αρχικά σκέφτηκα κάτι άλλο:

Από Θ.Μ.Τ. για την $f$ θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $χ1$ τέτοιο ώστε
$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(x1)$ . Καθώς υπάρχει μοναδικό a τέτοιο ώστε $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(a)$ η $f$ , με βάση τη γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Μ.Τ., η $f$ δεν θα πρέπει να έχει άλλη εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης: $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ . Άρα η $f$ θα πρέπει να μην παρουσιάζει σημείο καμπής. Επομένως η $f'$ θα είναι είτε αύξουσα, είτε φθίνουσα και άρα θα είναι 1-1.

αλλά μάλλον κάπου χάνει.

drosos · 14-01-12

Παραθετω το 3ο και 4ο θεμα στο διαγωνισμα μαθηματικων στο φροντιστηριο(μεχρι ρυθμο μεταβολης).
Θεμα 3ο
Δίνεται συνάρτηση $f$ συνεχης στο $R$ για την οπόια ισχύουν:
${(\sigma \upsilon \nu \chi -1)}^{2}-{x}^{4}\leq xf(x)\leq {(\sigma \upsilon \nu \chi -1)}^{2}+{x}^{4}$
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)+2}{x-1}=4$

α)Να δείξετε ότι $f(0)=0$
β)Να δείξετε ότι ο άξονας x'x εφάπτεται στην ${C}_{f}$ στο $Ο(0,0)$
γ)Αν $g(x)=f(x)-x+1$ να δείξετε ότι η ${C}_{g}$ και η γραφική παράσταση της $h(x)=x$ έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τετμημένη $\xi\in(0,1)$

Θεμα 4ο
Έστω συνάρτηση $f$ συνεχής και $1-1$ στο $[0,8]$ για την οποία ισχύουν:
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-9}{{x}^{2}-1}=0$ , η ${C}_{f}$ εφάπτεται της ευθείας $y=-6x+24$ στο σημείο με τεμημένη ${x}_{0}=4$ και $f(2)f(5)f(1)=-504$
Να αποδείξετε ότι
α.i) Η $f(x)=0$ έχει μοναδικη ρίζα την x0
ii) $f(x)>0$ για καθε $x \in [0,4)$ και $f(x)<0$ για καθε $x \in (4,8]$
β. Η ${C}_{f}$ τέμνει την ευθεία $y=2$ σε μοναδικό σημείο με τετμημένη στο (1,4)
γ. Υπάρχει χ1 τέτοιο ώστε $f(x1)+f'(4)=-x1$
δ. Υπάρχει ${x}_{2}\in[0,4)$ ώστε $f(x) \leq f({x}_{2})$
ε. $\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{f(2){x}^{2012}+5{x}^{2011}-7}{f(6){x}^{1961}+{x}^{28}+4{x}^{3}-1}=-oo$
Αν γινεται να τα λυσουν μαθητες γ λυκειου πρωτα

dimijim · 14-01-12

Επειδή μπορεί κάποιοι να μη διαβάζετε και τα δύο θέματα, κι επειδή είναι σχετικό και με εδώ, έχω ανεβάσει ενα διαγώνισμα σε αλλο θέμα του site για όσους θέλουν. Απορίες κτλ γραφτε τες σε αυτο το νημα.

antwwwnis · 14-01-12

Για να βρω το πεδίο ορισμού ολοκληρώματος, μου παίρνει πολλές σειρές(μισή σελίδα +), ενώ ο Μπάρλας το βγάζει σε μερικές γραμμές. Αυτός τα γράφει ακόμα πιο συμπυκνωμένα απ ότι συνήθως ή εγώ κάνω κάτι λάθος;;

OoOkoβοldOoO · 15-01-12

Έχω κολλήσει και δεν μπορώ να βγάλω αυτό το όριο: limx->0(lnx/e^1/x) με Delhospital παίρνω πρώτη παράγωγο βγαίνει απροσδιορ παίρνω χωριστά την παράγωγο του παρονομαστή βγαίνει πάλι απροσδιορ πως βγαίνει;

rebel · 15-01-12

H μορφή $\frac{0}{+\infty}$ δεν είναι απροσδιοριστία. Γίνεται $0\cdot \frac{1}{+\infty}=0 \cdot 0 = 0$ . (Μην το γράψεις αυτό στις πανελλήνιες)

jjoohhnn · 15-01-12

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Για να βρω το πεδίο ορισμού ολοκληρώματος, μου παίρνει πολλές σειρές(μισή σελίδα +), ενώ ο Μπάρλας το βγάζει σε μερικές γραμμές. Αυτός τα γράφει ακόμα πιο συμπυκνωμένα απ ότι συνήθως ή εγώ κάνω κάτι λάθος;;

Μάλλον το πρώτο.Και σε εμένα τόσο παίρνει.

Υ.Γ.: Μήπως έχει κανείς άποψη για την άσκηση στο 4556; :bounce:

Bemanos · 17-01-12

Αν $f'(x)+{f(x)}^{2}\times \cos x =0$ και f(0) = -1/2 να βρειτε την f ( στην σχεση που δινεται το τετραγωνο ειναι στην απλα δεν ηξερα πως το βαζω )

Α , και f(x) διαφορο του 0 για καθε χ ανηκει ρ

rebel · 17-01-12

Υπόδειξη:

$\left(\frac{1}{f(x)}\right)'=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$

Bemanos · 17-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Υπόδειξη:

$\left(\frac{1}{f(x)}\right)'=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$

Οκ ετσι το εκανα , απλα ηθελα να δω αν ειναι σωστο

drosos · 17-01-12

Aν εχω κανει σωστα τις πραξεις:
$f'(x)=-{f(x)}^{2}\sigma \upsilon \nu \chi \Leftrightarrow -\frac{f'(x)}{{f(x)}^{2}}=(\eta \mu \chi )'\Leftrightarrow f(x)=\frac{-1}{\eta \mu \chi +2}$

lostie · 18-01-12

f δυο φορες παρ/μη και η εφαπτομενη της Cf στο Α(α,f(α)) τεμνει Cf Β(β,f(β)).
Ν.δ.ο η f' δεν ειναι 1-1

2. f δυο φορες παρ/μη f(x)>0. α,β,γ διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου και f(a) , f(b) , f(γ) διαδοχικοι οροι γεωμ. προοδου. Ν.δ.ο υπαρχει ξ ε(α,γ) τετοιο ωστε [f'(ξ)]' = f(ξ)*f''(ξ)

Απο τη δευτερη πειτε μου μονο πως να ξεκινησω γιατι δεν θυμαμαι τιποτα

stelios1994-4 · 18-01-12

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
πως το ελυσες αυτο?

Σόρρυ που το επαναφέρω μετά από τοσες μέρες, αλλά ήμουν εκτός!
Θέτω:
$g\left(x \right)={f}^{3}\left(x \right)+3f\left(x \right)-5$
$g'\left(x \right)=3{f}^{2}\left(x \right)+3\succ 0$ άρα g γν αύξουσα στο πεδίο ορισμού της (βασικά αυτό βγαίνει με ορισμό γιατί δεν ξέρω αν η φ είναι παραγωγίσιμη)
και μετά:
έστω ${\chi }_{1}, {\chi }_{2}\epsilonR$ ανήκουν R, τέτοια ώστε ${\chi }_{1}\prec {\chi }_{2}$ τους πετάω μια g(f(x)) βγαίνει το g και τζι τζί

. Και το γ τελικά έβγαινε με Βolzano με α,β στα άπειρα...

soras7 · 18-01-12

Αρχική Δημοσίευση από lostie:
f δυο φορες παρ/μη και η εφαπτομενη της Cf στο Α(α,f(α)) τεμνει Cf Β(β,f(β)).
Ν.δ.ο η f' δεν ειναι 1-1

2. f δυο φορες παρ/μη f(x)>0. α,β,γ διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου και f(a) , f(b) , f(γ) διαδοχικοι οροι γεωμ. προοδου. Ν.δ.ο υπαρχει ξ ε(α,γ) τετοιο ωστε [f'(ξ)]' = f(ξ)*f''(ξ)

Απο τη δευτερη πειτε μου μονο πως να ξεκινησω γιατι δεν θυμαμαι τιποτα

Aπο την αριθμητικη προοδο παιρνω οτι β=(α+γ)/2
Απο την γεωμετρικη προοδο εχω οτι f(β)^2=f(α)f(γ)

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος