Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

rebel · 31-05-11

Θα συμφωνήσω κι εγώ ότι το ερώτημα δεν απαντάται μονοσήμαντα αφού η συνθήκη ρ<δ<R δεν μας δίνει καμιά πληροφορία ως προς την σχέση μεταξύ δ και R-ρ. Για παράδειγμα

ξαροπ · 28 Ιουνίου 2011

Ίσως είναι λίγο αργά, αλλά δίνω το 4ο θεματάκι που έπεσε στις εξετάσεις φέτος στη Γεωμετρία, για όποιον θέλει να ασχοληθεί.

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α. Έστω ΑΚ (Κ ανήκει στη ΒΓ) ύψος και ΓΜ διάμεσος (Μ ανήκει στην ΑΒ) του τριγώνου, κι έστω Σ το σημείο τομής τους. Αν ΑΕ κάθετη προς τη ΓΜ (Ε ανήκει στη ΒΓ), να αποδείξετε ότι

(ii) ΑΣ = BE
(ii) 3ΒΕ = ΒΓ

Να σημειώσω επίσης ότι υπήρχε και ένα (i) ερώτημα, που ζητούσε την απόδειξη ισότητας δυο συγκεκριμένων γωνιών, αλλά δεν θυμάμαι ποιών (έτσι κι αλλιώς προέκυπτε άμεσα από το θεώρημα που υποστηρίζει ότι αν δυο γωνίες έχουν κάθετες τις πλευρές τους, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές, επομένως δεν χάσατε και τίποτα). Η απάντηση του (i) μάλλον διευκόλυνε την απάντηση του (ii) αλλά έτσι ήδη έδωσα ένα hint.

Να σημειώσω επίσης ότι όταν έγραφα, δεν μου πέρασε καν από το μυαλό να λύσω το (ii) όπως το έλυσαν οι περισσότεροι, σε δυο γραμμές και απλά. Κατάφερα να βρω μια λύση λίγο ό,τι-να-'ναι, αλλά με άρεσε. Θα την ανεβάσω αργότερα, αν χρειαστεί.

akis95 · 29-06-11

Δυστυχώς εγω απο το τελικό διαγώνισμα θυμάμαι μόνο το 3ο θέμα.Ας το βάλω.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 3α . Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ λαμβάνουμε σημεία
Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ = ΖΔ =α . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο
Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμνει την ευθεία ΕΖ στο σημείο Λ, τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: ΑΛ ⊥ ΕΖ
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συναρτήσει του α .

rebel · 24 Ιουνίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Ίσως είναι λίγο αργά, αλλά δίνω το 4ο θεματάκι που έπεσε στις εξετάσεις φέτος στη Γεωμετρία, για όποιον θέλει να ασχοληθεί.

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α. Έστω ΑΚ (Κ ανήκει στη ΒΓ) ύψος και ΓΜ διάμεσος (Μ ανήκει στην ΑΒ) του τριγώνου, κι έστω Σ το σημείο τομής τους. Αν ΑΕ κάθετη προς τη ΓΜ (Ε ανήκει στη ΒΓ), να αποδείξετε ότι

(ii) ΑΣ = BE
(ii) 3ΒΕ = ΒΓ

Να σημειώσω επίσης ότι υπήρχε και ένα (i) ερώτημα, που ζητούσε την απόδειξη ισότητας δυο συγκεκριμένων γωνιών, αλλά δεν θυμάμαι ποιών (έτσι κι αλλιώς προέκυπτε άμεσα από το θεώρημα που υποστηρίζει ότι αν δυο γωνίες έχουν κάθετες τις πλευρές τους, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές, επομένως δεν χάσατε και τίποτα). Η απάντηση του (i) μάλλον διευκόλυνε την απάντηση του (ii) αλλά έτσι ήδη έδωσα ένα hint.

Να σημειώσω επίσης ότι όταν έγραφα, δεν μου πέρασε καν από το μυαλό να λύσω το (ii) όπως το έλυσαν οι περισσότεροι, σε δυο γραμμές και απλά. Κατάφερα να βρω μια λύση λίγο ό,τι-να-'ναι, αλλά με άρεσε. Θα την ανεβάσω αργότερα, αν χρειαστεί.

Με την έγκριση του θεματοθέτη βάζω την λύση μου.

ii) Στο $\triangle B\Sigma\Gamma$ το $\Sigma K$ είναι ύψος και διάμεσος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Αυτό σημαίνει ότι $\angle \Sigma B\Gamma=\angle B\Gamma\Sigma \, (1)$ . Επίσης $\angle EAK=\angle B\Gamma\Sigma \, (2)$ αφού είναι γωνίες με πλευρές κάθετες.
Από (1),(2) έπεται ότι $\angle \Sigma B \Gamma=\angle EAK \, (3)$ . Ακόμη $AK=BK \, (4)$ αφού η $AK$ στο ορθογώνιο τρίγωνο $\triangle AB\Gamma$ είναι η διάμεσος που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας.
Aπό (3),(4) έπεται ότι τα ορθογώνια τρίγωνα $\triangle B\Sigma K$ και $\triangle EAK$ είναι ίσα. Άρα
$BE=BK-EK=AK-\Sigma K=A\Sigma$ .

iii) $BE=A\Sigma=\frac{2}{3}AK=\frac{2}{3}BK=\frac{2}{3}\frac{B\Gamma}{2}=\frac{B\Gamma}{3}$ αφού το Σ είναι το βαρύκεντρο του $\triangle AB\Gamma$

Υ.Γ.: ξαροπ ωραία λύση

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Δυστυχώς εγω απο το τελικό διαγώνισμα θυμάμαι μόνο το 3ο θέμα.Ας το βάλω.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 3α . Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ λαμβάνουμε σημεία
Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ = ΖΔ =α . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο
Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμνει την ευθεία ΕΖ στο σημείο Λ, τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: ΑΛ ⊥ ΕΖ
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συναρτήσει του α .

Δες εδώ σελίδα 6(Αλήθεια αν σας έβαλε 3ο θέμα απο Ευκλείδη, το 4ο από που το έβαλε; Από IMO; ) :confused:

akis95 · 30-06-11

Ωχ τον απατεώνα. :mad:

Πάντως το τελευταίο θέμα ηταν πιο δύσκολο θα το βάλω σε λιγο γιατί τώρα βαριέμαι ίσα ίσα τελείωσα τα θέματα στο δίωρο.

anta1996 · 4 Σεπτεμβρίου 2011

Λοιπον δινονται ν ευθειες (οι οποιες τεμνονται ανα 2 και ανα 3 δεν διερχονται απο το ιδιο σημειο... Να βρεθει το πληθος των σημειων τομης που οριζουν αυτες( ευκλειδια γεωμετρια) καλη επιτυχια

ας απαντησει καποιος που τελειωσε την α λυκειου....

αν γινεται καποια πιθανη λυση το συντομοτερο δυνατο....

:/:

sos

Dias · 04-09-11

Αρχική Δημοσίευση από anta1996:
δινονται ν ευθειες (οι οποιες τεμνονται ανα 2 και ανα 3 δεν διερχονται απο το ιδιο σημειο... Να βρεθει το πληθος των σημειων τομης που οριζουν αυτες

Κάθε ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες σε (ν-1) σημεία, άρα έτσι θα είχαμε ν(ν-1) σημεία. Όμως, έτσι κάθε σημείο το έχουμε πάρει 2 φορές. Άρα τα σημεία είναι: ½ν(ν-1) .
Εντελώς ίδιο είναι το πρόβλημα: "Πόσες χειραψίες θα κάνουν αν συναντηθούν ν άνθρωποι?".

anta1996 · 04-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Κάθε ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες σε (ν-1) σημεία, άρα έτσι θα είχαμε ν(ν-1) σημεία. Όμως, έτσι κάθε σημείο το έχουμε πάρει 2 φορές. Άρα τα σημεία είναι: ½ν(ν-1) .
Εντελώς ίδιο είναι το πρόβλημα: "Πόσες χειραψίες θα κάνουν αν συναντηθούν ν άνθρωποι?".

χιλια ευχαριστωωωω!!! τελικα κοντα επεσα!!!

Giasmin... · 14-11-11

Χρειαζομαι τις ιδιοτητες των ισοσκελων τριγωνων...Μπορει να βοηθησει κανεις...?

vimaproto · 15-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Giasmin...:
Χρειαζομαι τις ιδιοτητες των ισοσκελων τριγωνων...Μπορει να βοηθησει κανεις...?

εχουν 1)δύο πλευρές ίσες, 2) δύο γωνίες ίσες 3) Η διχοτόμος της τρίτης γωνίας είναι διάμεσος και ύψος 4)Οι διχοτόμοι των ίσων γωνιών είναι ίσοι 5) τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα 6) οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσες

qwerty111 · 20-11-11

Όλα τα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε έναν κύκλο δεν έχουν το ίδιο περίκεντρο που είναι το κέντρο του κύκλου;

vimaproto · 21-11-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Όλα τα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε έναν κύκλο δεν έχουν το ίδιο περίκεντρο που είναι το κέντρο του κύκλου;

Ασφαλώς. Απέχει από τις κορυφές ίσο με R

Αγγελική!!! · 20-01-12

Καμιά ιδέα για αυτήν την άσκηση? :confused:

rebel · 21-01-12

Εδώ . Αν δεν προλαβαίνεις διάβασε μόνο την λύση του Ionis. Απλά ΣΕΒΑΣΜΟΣ :worship:

Αγγελική!!! · 21-01-12

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια

Πραγματικά πολύ έξυπνη η λύση αυτή!!!

MyrtoG · 18-06-12

Αν Δ και Ε ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ κ' ΑΓ τριγωνου ΑΒΓ και Ζ τυχαιο σημειο της ΒΓ , να αποδει3ετε οτι η ΔΕ διχοτομει την ΑΖ.
Μπορει να με βοηθησει κανεις ??

sydney96 · 18-06-12

Αφού κάνεις το σχήμα ενώνεις το Δ με το Ε και λες ότι αφού Δ μέσο ΑΒ και Ε μέσο ΑΓ τότε ΔΕ//=ΒΓ/2.
Στο τριγωνάκι ΑΒΖ το Δ είναι το μέσο της ΑΒ, η ΔΜ είναι παράλληλη στη ΒΖ(Μ σημείο που τέμνει η ΔΕ την ΑΖ),άρα Μ μέσο ΑΖ και ΜΒ//=ΒΖ/2.
Και αφού Μ μέσο της ΑΖ,η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά.

Ricky · 18-06-12

Αρχική Δημοσίευση από MyrtoG:
Αν Δ και Ε ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ κ' ΑΓ τριγωνου ΑΒΓ και Ζ τυχαιο σημειο της ΒΓ , να αποδει3ετε οτι η ΔΕ διχοτομει την ΑΖ.
Μπορει να με βοηθησει κανεις ??

μηπως εννοεις η ΔΕ να περνα απο το μεσο της ΑΖ;

Dias · 18-06-12

Αρχική Δημοσίευση από MyrtoG:
... η ΔΕ διχοτομει την ΑΖ.

Αρχική Δημοσίευση από Ricky:
μηπως εννοεις η ΔΕ να περνα απο το μεσο της ΑΖ;

Δεν είναι ακριβώς το ίδιο?

MyrtoG · 18-06-12

Αρχική Δημοσίευση από sydney96:
,άρα Μ μέσο ΑΖ και ΜΒ//=ΒΖ/2.
Και αφού Μ μέσο της ΑΖ,η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά.

γιατι ΜΒ//=ΒΖ/2 ?

Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος